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人教A版高中数学选修2-1课件1.1.2《四种命题》1.1.3《四种命题间的相互关系》_图文

高中数学课件
(金戈铁骑 整理制作)

1.1 命题及其关系
1.1.2 四种命题 1.1.3 四种命题间的相互关系

本课件以一个关于毛驴的故事为背景提炼出三个命 题,引出四种命题的定义.以学生自主探究为主,探 讨四种命题的组成,每个命题的条件与结论之间的关 系以及它们之间的联系。通过例1探讨四种命题的相 互转化,通过例2探讨四种命题的真假关系。
本节课内容较为简单,在教学中可以贯穿教学的连 贯性,同时多借助实例等激发学生学习的积极性。

下面是一个关于毛驴的故事: 甲丢失一头跛腿毛驴,四处寻找,恰 好看见乙牵着一头跛腿毛驴经过,甲上前 对乙说:“这是我的毛驴,请还给我.” 乙说:“这明明是我的毛驴,怎么会是你 的呢?”甲说:“我的毛驴是跛腿的,你 牵的毛驴若没有请跛同学腿们,想就想不这三是个我的.但你 牵的毛驴跛命关了题系腿之呢,间?当有什然么是样我的 的.” “从上述两人的对话中,你能判断出毛
驴的主人是谁吗?” 先从甲、乙的对话中提炼出如下三个
命题: (1)甲的毛驴是跛腿的;

1 四种命题

目 标

2 四种命题的关系

3 四种命题的真假判断

请将命题“正弦函数是周期函数”
改写成“若p,则q”的形式.

若f ( x)是正弦函数,则f ( x)是周期函数.

条件

结论

四种命题:
(1)若 f ( x)是正弦函数,则 f ( x)是周期函数.
(2)若f ( x)是周期函数,则f ( x)是正弦函数. (3)若 f ( x)不是正弦函数,则 f ( x)不是周期函数. (4)若f ( x)不是周期函数,则f ( x)不是正弦函数.
思考:上面四个命题中,命题(1)与 命题(2)(3)(4)的条件和结论之 间分别有什么关系?

(I)观察命题(1)与命题(2)的条件和结论之间分别有什么关系?
(1)若f(x)是正弦函数,p 则f(x)是周期函数; q (2)若f(x)是周期函数,q 则f(x)是正弦函数; p
一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,这两个命 题叫做互逆命题.(即条件和结论互换) 我们称(1)和(2)互为逆命题。 或者(2)是(1)的逆命题;这时(1)为原命题。
即 原命题:若p,则q 逆命题:若q,则p
例如,命题“同位角相等,两直线平行”的逆命题是 “两直线平行,同位角相等”.

(II)观察命题(1)与命题(3)的条件和结论之间分别有什么关系?
(1)若f(x)是正弦函数,p 则f(x)是周期函数; q (3)若f(x)不是正弦函数,┐p 则f(x)不是周期函数. ┐q
一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否 定,这两个命题叫做互否命题.(即条件和结论同时否定) 我们称(1)和(3)互为否命题。 或者(3)是(1)的否命题;这时(1)为原命题。
即 原命题:若p,则q 否命题:若┐p,则┐q
例如,命题“同位角相等,两直线平行”的否命 题是“同位角不相等,两直线不平行”.

(III)观察命题(1)与命题(4)的条件和结论之间分别有什么关系?
(1)若f(x)是正弦函数, p 则f(x)是周期函数; q (4)若f(x)不是周期函数,┐q则f(x)不是正弦函数. ┐p
一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否 定,这两个命题叫做互为逆否命题.(即条件和结论同时否定且互换) 我们称(1)和(3)互为逆否命题。 或者(3)是(1)的逆否命题;这时(1)为原命题。
即 原命题: 若p, 则q 逆否命题: 若┐q, 则┐p
例如,命题“同位角相等,两直线平行”的逆否命题 是“两直线不平行,同位角不相等”.

三个概念
1.互逆命题:一般地,对于两个命题,如果一个命题的条件和结论 分别是另一个命题的结论和条件,那么我们把这样的两个命题叫做 互逆命题.其中一个命题叫做原命题,另一个叫做原命题的逆命题. 2.互否命题:对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰好是另 一个命题的条件的否定和结论的否定,我们把这样的两个命题叫做 互否命题.如果把其中的一个命题叫做原命题,那么另一个叫做原命 题的否命题. 3.互为逆否命题:对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰好 是另一个命题的结论的否定和条件的否定,我们把这样的两个命题 叫做互为逆否命题.如果把其中的一个命题叫做原命题,那么另一个 叫做原命题的逆否命题.

典例展示
例1.写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题. (1)若k>0,则方程x2+2x-k=0有实根;
逆命题:若方程x2+2x-k=0有实根,则k>0. 否命题:若k≤ 0,则方程x2+2x-k=0没有实根. 逆否命题:若方程x2+2x-k=0没有实根,则k≤0.

(2)四条边都相等的四边形是正方形.
原命题改写为:若四边形的四条边都相等,则它是正方形. 逆命题:若四边形是正方形,则它的四条边都相等. 否命题:若四边形的四条边不都相等,则它不是正方形. 逆否命题:若四边形不是正方形,则它的四条边不全相等.

四种命题的真假关系
(1)原命题为真,则其逆否命题一定为真。但其逆命题、 否命题不一定为真。
(2)若其逆命题为真,则其否命题一定为真。但其原命题、 逆否命题不一定为真。
即:原命题与逆否命题的真假是等价的。 逆命题与否命题的真假是等价的。

在同一个命题的四种命题中,真命题的个数是多少?

0个

2个

4个

四种命题的关系:

原命题

互逆 逆命题

若p则q

若q则p

互否 互为

逆否 互否

否命题

互逆 逆否命题

若 p则 q

若 q则 p

例2 若m≤0或n≤0,则m+n≤0.写出其逆命题、 否命题、逆否命题,并分别指出其真假.

分析:搞清四种命题的定义及其关系,注意“且” “或”

的否定为“或” “且”.

解:逆命题:若m+n≤0,则m≤0或n≤0. 否命题:若m>0且n>0, 则m+n>0. 逆否命题:若m+n>0, 则m>0且n>0.

(真) (真) (假)

小结:在判断四种命题的真假时,只需判断两种命题 的真假.因为逆命题与否命题真假等价,逆否命题与原 命题真假等价.

写出下列四组命题的逆命题、否命题及逆否命题,并 判断四种命题的真假.

(1)原 命 题 : 若 a ? b, 则 a ? c ? b ? c



逆 命 题 : 若 a ? c ? b ? c, 则 a ? b



否 命 题 : 若 a ? b, 则 a ? c ? b ? c



逆 否 命 题 : 若 a ? c ? b ? c, 则 a ? b



(2 )原 命 题 : 若 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0, 则 x ? 2



逆 命 题 : 若 x ? 2, 则 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0



否 命 题 : 若 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0, 则 x ? 2



逆 否 命 题 : 若 x ? 2, 则 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0



例3. 证明:若x2+y2=0,则x=y=0.
证明:若x,y中至少有一个不为0,不妨设x≠0,则 x2>0,所以x2+y2 >0,
也就是说x2+y2 ≠0. 因此,原命题的逆否命题为真命题,从而原命题 为真命题.
【提升】因为原命题和它的逆否命题有相同的真假性,所以 当直接证明某一命题为真命题有困难时,可以通过证明它的 逆否命题为真命题,来间接证明原命题为真命题.

1.判断下列说法是否正确: (1)一个命题的逆命题为真,它的逆否命题不一定为真.
正确
(2)一个命题的否命题为真,它的逆命题一定为真.
正确

2
2.如果一个命题的逆命题为假命题,则它的否命 题( A ) A. 一定是假命题 B. 不一定是假命题 C. 一定是真命题 D. 有可能是真命题 3.判断命题“若x- 2 不是有理数,则x不是无理数” 的真假. 逆否命题:若x是无理数,则x- 2是有理数. “假命题”

通过这节课的学习,你学到了哪些知识呢?
1.四种命题的概念及其形式:
原命题: 若p,则q. 逆命题:若q,则p. 否命题:若?p,则?q. 逆否命题:若?q,则?p.
2.四种命题的真假
(1)两个命题互为逆否命题,他们有相同的真假性; (2)两个命题为互逆命题或互否命题,他们的真假性没有关系; (3)原命题与它的逆否命题等价;否命题与逆命题等价.

课后练习 课后习题


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