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我的高考数学错题本:我的高考数学错题本——第9章 复数易错题


我的高考数学错题本
第 9 章 复数易错题 易错点 1.对复数的相关概念混淆不清 【例 1】 以下有四个命题: (1)两个共轭复数的差是纯虚数; (2)若 z ? C ,则 z ? 0 ; (3) 若 z1 , z 2 ? C ,
2

且 z1 ? z 2 ? 0 ,则 z1 ? z 2 ;(4) ( z1 ? z2 )2 ? ( z2 ? z3 )2 ? 0 ,则 z1 ? z2 ? z3 .其中正确的有 【错解】4 个 【错因】 (1)当得到 z ? z ? 2bi 时就认为是纯虚数,忽略了 b 可以为 0 的条件.

个.

(2)认为任何一个实数的平方大于等于 0 可以推广到复数中. (3)认为两个实数之差大于 0 等价于前一 个实数大于后一个实数可推广到复数中. (4)把等式性质错误的推广到复数中. 【正解】 (1)错,设互为共轭复数的两个复数分别为 z ? a ? bi 及 z ? a ? bi ( a, b ? R ) ,则 z ? z ? 2bi 或 z ? z ? ?2bi ,当 b ? 0 时, z ? z , z ? z 是纯虚数,当 b ? 0 时, z ? z ? 0, z ? z ? 0 ; (2)错,反例设

z ? i 则 z 2 ? i 2 ? ?1 ? 0 ; (3)错,反例设 z1 ? 3 ? i, z 2 ? 2 ? i 满足 z1 ? z 2 ? 1 ? 0 但 z1 , z 2 不能比较大
小; (4)错,设 z1 ? 1 , z2 ? i , z3 ? ?1 ,则 ( z1 ? z2 )2 ? ( z2 ? z3 )2 ? 0 ,但它们并不相等.故答案是 0 个.

易错点 2.对复数的几何意义理解不够 【例 2】 【2016 高考新课标 2 理数】已知 z ? (m ? 3) ? (m ? 1)i 在复平面内对应的点在第四象限,则实数 m 的取值范围是( )

, (A) (?31)

, 3) (B) (?1

(C) (1, +?)

? 3) (D) (-?,

【错解】要使复数 z 对应的点在第四象限应满足: ?

?m ? 3 ? 0 ,无解. ?m ? 1 ? 0

【错因】没有理解复数的几何意义,不知道如何将复数与复平面内的点对应. 【正解】要使复数 z 对应的点在第四象限应满足: ?

?m ? 3 ? 0 ,解得 ?3 ? m ? 1 ,故选 A. ?m ? 1 ? 0

易错点 3.对复数的模理解不透 【例 3】.【2016 新课标理】设 x(1 ? i)=1+yi, 其中 x , y 实数,则 x ? yi = ( (A)1 (B) 2 (C) 3 (D)2 )

【错解】因为 x(1 ? i)=1+yi, 所以 x ? xi =1+yi,x=1,y ? x ? 1, , x ? yi =1 ? 1 ? 2 ,故选 D.

【答案】不理解复数的模的公式 【正解】因为 x(1 ? i)=1+yi, 所以 x ? xi=1+yi,x=1,y ? x ? 1,|x ? yi | =|1+i |? 2, 故选 B.

易错点 4.复数相等的条件应用出错 【例 4】已知 x 是实数, y 是纯虚数,且满足 (2 x ? 1) ? i ? y ? ( y ? 1)i ,求 x 与 y 的值. 【错解】根据复数相等的充要条件,可得 ?
1 ? ?2 x ? 1 ? y ?x ? ,解得 ? 2. ?1 ? y ? 1 ? ?y ? 2

【错因】误把等式两边看成复数标准的代数形式加以求解。 【正解】依题意设 y ? bi(b ? R, b ? 0) ,带入关系式 (2 x ? 1) ? i ? y ? ( y ? 1)i ,整理得:
3 3 ? ? ? 2 x ? 1 ? ?b ?x ? ? ?x ? ? (2 x ? 1) ? i ? ?b ? (b ? 1)i ,根据根据复数相等的充要条件,可得 ? ,解得 ? 2 ,则有 ? 2. ?1 ? b ? 1 ? ? b ? 2 y ? 2 i ? ?

易错点 5.复数的“模”与“绝对值”混淆出错 【例 5】在复数范围内解不等式 z 2 ? 4z ? 3 ? z ?1 . 【错解】原不等式 ? z ? 3 z ? 1 ? z ? 1 ? z ? 1 ( z ? 3 ? 1) ? 0 ,? z ?1 ? 0 ,? z ? 3 ? 1 .
??1 ? z ? 3 ? 1即有 ?2 ? z ? 4 .

【错因】把实数中绝对值的性质“ x ? a ? ?a ? x ? a(a ? 0) ”生搬硬套到复数模中来. 【正解】原不等式 ? z ? 3 z ? 1 ? z ? 1 ? z ? 1 ( z ? 3 ? 1) ? 0 ,? z ?1 ? 0 ,? z ? 3 ? 1 ,且 z ? 1 . 其解为以点(3,0)为圆心,1 为半径的圆内部,且去除点(1,0) .

易错点 6.方程有解的条件判断出错 【例 6】已知关于 x 的方程 x 2 ? (k ? 2i) x ? 2 ? ki ? 0 有实数根,求实数 k 应满足的条件. 【错解】由于方程有实数根,得 ? ? (k ? 2i) ? 4(2 ? ki) ? 0 ,解得 k ? 2 3 或 k ? ?2 3
2

【错因】误运用系数为实数情况下方程有根的充要条件 ? ? 0 ,方程有实数根时,可把实数根 x ? x0 代入 方程整理成复数的标准形式,再根据复数相等的充要条件解出 x0 和 k 的值即可. 【正解】设 x ? x0 是方程的实数根,代入方程并整理得 ( x0 ? kx0 ? 2) ? (2x0 ? k )i ? 0 ,
2 ? ? ? x0 ? kx0 ? 2 ? 0 ? x0 ? ? 2 ? ? x0 ? 2 由复数相等的充要条件,得 ? ,解得 ? 或? . ? ? ? k ? 2 2 k ? ? 2 2 ?2 x0 ? k ? 0 ? ?

2

易错点 7.对复数的运算不熟悉致错 【例 7】 【2016 高考新课标 3 理数】若 z ? 1 ? 2i ,则 (A)1 【错解】 (B) -1 (C) i

4i ?( z z ?1

) (D) ?i

4i 4i 4i ? ? ? ?i ,选 D. z z ? 1 (1 ? 2i)(1 ? 2i) ? 1 1 ? 4 ? 1
2

【错因】计算出现错误,将 i ? 1 带入了计算. 【正解】

4i 4i ? ? i ,故选 C. z z ? 1 (1 ? 2i)(1 ? 2i) ? 1


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