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2012年大连市高三双基考试数学(文)试题


2013 年 7 月 31 日星期三

大连市 2012 年高三双基测试卷 数学(文)试题
第Ⅰ卷(选择题共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.已知 A= {x | x ? 3}, B ? {x | ?1 ? x ? 5}, 则 A ? B 等于 A. {x | x ? 5} C. {x | x ? ?1或x ? 3} 2.复数 z ? ? A. ? B. {x | x ? ?1或x ? 3} D. {x | x ? 5} ( ) ( )

1 1 ? i 的虚部是 2 2
B.

1 2
1 x

1 i 2

C.

1 2

D. ?

1 2
( )

3.下列函数中,在其定义域内既是增函数又是奇函数的是 A. y ? ? B. y ? ? log 1 x
3

C. y ? 2x

D. y ? x3 ? x

4.已知 cos ? ? ? A.

8 5

4 sin 2? , ? 为第二象限角,则 5 cos ? 6 8 B.一 C.一 5 5

( D.



6 5

5.一个路口的红绿灯,红灯的时间为 30 秒,黄灯的时间为 5 秒,绿灯的时间为 40 秒,当某人到达路口时 看见的是红灯的概率是 ( ) A.

1 5

B.

2 5

C.

3 5

D.

4 5

6.在△ABC 中,a、b、c 分别为三个内角 A、B、C 所对的边,设向量 m ? (b ? c, c ? a), n ? (b, c ? a) , 若 m ? n ,则角 A 的大小为 ( C. D. )

? 2 1 1 7.为了得到函数 y=3( )x 的图象,可以把函数 y=( )x 的图象 3 3
A. B.

? 6

? 3

2? 3
( )

A.向左平移 3 个单位长度 B.向右平移 3 个单位长度 C.向左平移 1 个单位长度 D.向右平移 1 个单位长度 8.工人月工资 y(元)与劳动生产率 z(千元)变化的回归直线方程为 y=80x+50,则下列判断正确的是 ( ) ①劳动生产率为 1 千元时,工资约为 130 元; ②劳动生产率每提高 1 千元时,工资平均提高 80 元; ③劳动生产率每提高 1 千元时,工资平均提高 130 元;

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④当月工资为 210 元时,劳动生产率约为 2 千元. A.①② B.③④ C.①②④ 9.程序框图如图所示,其输出结果是 A.0 B.

D.②③④

3 2 3 2

C.一

D. 3 10.下列四个命题: ①如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行.那么另一条直线也与这个平面平行; ②若两个平面平行,则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一平面; ③如果一个平面内的无数条直线平行于另一个平面,则这两个平面平行; ④如果一个平面内的任何一条直线都平行另一个平面,则这两个平面平行. 则真命题是 ( ) A.①② B.②④ C.①③ I) .②③ 11.已知函数 f ( x) ? 9x ? a? ? a2 ? 3, 则函数 f ( x ) 有两个相异零点的充要条件是 3 A. 3 ? a ? 2 B. 3 ? a ? 2 C. 3 ? a ? 2 D. ?2 ? a ? 2 ( )

x2 y 2 12.双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2 离心率为 e.过 F2 的直线与双曲线的右支 a b
交于 A、B 两点,若△F1AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形,则 e2 的值是( A.1+2 2 B.3+2 2 C.4-2 2 D.5 一 2 2 )

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答.第 22 题~ 第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.如图所示是一个几何体的三视图(单位:cm),则这个几何体的表面积 cm2.

数学文科

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14.若函数 y ? 2 tan ? x 的最小正周期为 2 ? ,则函数 y-sin ? x ? 3 cos ? x 的最小正周期为 15.设坐标原点为 O,抛物线 y 2 ? 2 x 上 A、B 两点,则 OA ? OB 的值为 16.若函数 f ( x) ? ( x2 ? 2x)e x 的最小值是 f ( x0 ), 则x0 值为 .



??? ?



三、解答题:本大题共 6 题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知数列 1,3,6,?的各项是由一个等比数列{ a n}和一个等差数列{ bn }的对应项相加而得到,其中 等差数列的首项为 0. (I)求{ an }与{ b0 }的通项公式; (Ⅱ)求数列{ an ? bn }的前 n 项和 Sn。 18. (本小题满分 12 分) 一个盒子中装有标有号码分别为 1、2、3、5,且形状完全相同的 4 个小球,从盒子中有放回的先后住 取两个小球. (I)写出这个事件的基本事件空间; (Ⅱ)求“两次取出的小球号码相同”的概率; (Ⅲ)求“取出的两个小球上的号码之和是 6”的概率. 19. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱锥 P—ABC 中,PB⊥平面 ABC,△ABC 是直角三角形,∠ABC,= 90°,AB=BC=2,∠ PAB=45°,点 D、E、F 分别为 AC、AB、BC 的中点. (I)求证:EF⊥PD; (Ⅱ)求三棱锥 D—PEF 的体积;

20. (本小题满分 l2 分) 设函数 f ( x) ? x ? 3ax ? 3bx 的图象与直线 12x+y 一 1=0
3 2

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相切于点(1,-11) . (I)求 a,b 的值; (II)如果函数 g ( x) ? f ( x) ? c 有三个不同零点,求 c 的取值范围. 21. (本小题满分 12 分)

x2 y 2 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , 1、 2 分别为椭圆 c 的左右焦点, P 在椭圆 C 上 F F 点 (不是顶点) , a b
△PF1F2 内一点 G 满足 3PG ? PF ? PF , 其中 OG ? ( a, 1 1 (I)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)若椭圆 C 短轴长为 2 3 , 过焦点 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点 (A、 不是左右顶点) B , 若 AF2 ? 2F2 B ,求△F1AB 面积, 请考生在 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时,用 2B 铅笔 在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图所示,已知⊙O1 和⊙O2 相交于 A、B 两点,过 A 点作⊙O1 的切线交⊙O2 于点 C,过点 B 作两圆 的割线,分别交⊙O1、⊙O2 于点 D、E,DE 与 AC 相交于点 P. (I)求证:AD∥EC; (Ⅱ)若 AD 是⊙O2 的切线,且 PA=6,PC=2,BD=9,求 AD 的长. 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 曲 线 C1 的 参 数 方 程 为

??? ?

???? ????

????

1 9

6 a) . 9

???? ?

???? ?

? x ? a cos ? .在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2 的极坐标 (1 ? a ? 6, ? 为参数) ? ? y ? sin ?
方程为 P=6cos ? . 射线 Z 的极坐标方程为 ? ? ? ,l 与 C1 的交点为 A, 与 C2 除极点外一个交点为 B. a=0 l 当 时,|AB|=4. (Ⅰ)求 C1,C2 直角坐标方程; (Ⅱ)设 C1 与 y 轴正半轴交点为 D,当 ? ? 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知对于任意非零实数 m,不等式 | 4m ? 1| ? | 1 ? m |?| m | (| 2 x ? 3 | ? | x ? 1|) 恒成立,求实数 x 的取 值范围.

?
4

时,求直线 BD 的参数方程。

2012 年大连市双基考试参考答案及评分标准
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2013 年 7 月 31 日星期三



学(文科)

说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内 容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对解答题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答末改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答 有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一.选择题 1.A;2.C;3.D;4.D;5.B ;6.B;7.D;8.C;9.B;10.B;11.A;12. D. 二.填空题 13. 16 2 ? 16 ;14. 4? ;15. ? 三.解答题 17.解:(Ⅰ)设数列 ?an ? 的公比为 q ,数列 ?bn ? 的的公差为 d .

3 ;16. 2 . 4

?b1 ? 0, ? a ? b ? 1, ? 1 1 ∴? ··········· ··········· ·········· ···· 分 ··········· ·········· ··········· ··· 2 ·········· ··········· ··········· ··· aq ? b1 ? d ? 3, ? ? a q 2 ? b ? 2d ? 6. ? 1 1 解得, d ? 1 , q ? 2 , a1 ? 1 . ······················ 5 分
∴ an ? 2n?1 , bn ? n ? 1.································ 8 分 ··········· ·········· ··········· ·········· ··········· ··········· (Ⅱ) Sn ? ? a1 ? a2 ????? an ? ? ?b1 ? b2 ????? bn ?

? ?1 ? 2 ? ??? ? 2n?1 ? ? ?0 ? 1 ? ??? ? ? n ? 1? ? . ? ?

S n ? 2n ? 1 ?

n ? n ? 1? . ······························· 12 分 ··········· ·········· ·········· ·········· ··········· ·········· 2

18.解: (Ⅰ)这个事件的基本事件空间是

? ={ ( 1 , 1 ), ( 1 , 2 ), ( 1 , 3 ), ( 1 , 5 ) ( 2 , 1 ), ( 2 , 2 ), ( 2 , 3 ), ( 2 , 5 ),( 3 , 1 ),( 3 , 2 ),( 3 , 3 ),( 3 , 5 ),( 5 , 1 ),( 5 , 2 ),( 5 , 3 ),( 5 , 5 )}, 基 本事件空间容量为 16,即 n ? 16 . ···················· 4 分
( Ⅱ ) 设 “ 两 次 取 出 的 小 球 是 同 一 个 小 球 ” 为 事 件 A , 则 事 件 A={( 1 , 1 ),( 2 , 2 ),( 3 , 3 ),( 5 , 5 )},事件 A 中的基本事件数量为 4,即 m =4,据概率公式有

P ( A) ?

m 4 1 ? ? . ························· 8 分 n 16 4

(Ⅲ)取出的两个小球上的数字之和是 6,说明取出的小球上的数字为 1,5 或 3,3,若设事件 B=“取 ( 出的两个小球上的数字之和是 6” ,则有 B={( 1 , 5 ),( 5 , 1 ), 3 , 3 )},共有 3 个基本事件, 即 m =3,

m 3 ? . ··················· 12 分 n 16 ? 19.证明: (Ⅰ) 连结 BD.在 ?ABC 中, ?B ? 90 .∵ AB ? BC ,点 D 为 AC 的中点,∴ BD ? AC .又
据概率公式有 P ( B ) ? ∵ PB ? 平面ABC ,而 AC ? 平面ABC ,∴ PB ? AC .又因为 BD 、 PB ? 平面 PBD ,且

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2013 年 7 月 31 日星期三

BD ? PB ? B ,∴ AC ? 平面 PBD .
、 又 ? PD ? 平 面 PBD , ∴ AC ? PD . ∵ E、F 分 别 为 A B B C的 中 点 , ∴ EF // AC , ∴
EF ? PD . ···························· 6 分
? (Ⅱ)解:由题有: PB ? 面 DEF ,又 ?PAB ? 45 ,故 PB ? 2 , ··········· 分 ··········· ·········· 8

而 VD? PEF ? VP ? DEF . ······························· 10 分 ··········· ·········· ·········· ·········· ··········· ··········

1 1 1 1 ? S ?DEF ? | PB |? ? ? 1 ? 1 ? 2 ? . ··········· ····· 分 ··········· ····· ··············· 12 3 3 2 3 20.解: (Ⅰ) f / ? x ? ? 3x2 ? 6ax ? 3b . VP ? DEF ?
由于 f ? x ? 的图象与直线 12 x ? y ? 1 ? 0 相切于点 ?1, ?11? , ∴ f ?1? ? ?11 , f / ?1? ? ?12 . 即?

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, g / ? x ? ? 3x2 ? 6x ? 9 ,令 g / ? x ? ? 0 得, x1 ? ?1, x2 ? 3 所以 x 在 R 上变化时, g ( x) 及 g / ? x ? 的变化情况如下:

?1 ? 3a ? 3b ? ?11 ?a ? 1 ,解得 ? . ················· 4 分 ?3 ? 6a ? 3b ? ?12 ?b ? ?3

x
g ( x) g ( x)
/

(??, ?1)

? ?

?1 0

(?1,3) ? ?

3

(3, ??)

5?c

0 c ? 27

? ?

由上表易知: g ( x) 的极大值为 5 ? c ; g ( x) 的极小值为 c ? 27 . ······· 10 分 因为 g ? x ? 有三个不同零点,所以 (5 ? c)( c ? 27) ? 0 ,解得 ?5 ? c ? 27 . ··· 12 分 21. (Ⅰ) OG ? ( a, 解: 由

??? ???? ???? ? ? 6 1 6 ( a, 又 故 a) 知,G 点的坐标为 a) , 3PG ? PF1 ? PF2 , G 是 ?PF1 F2 9 9 9 的重心.令 P 点的坐标是 ( x0 , y0 ) ,则有:
1 9
? ? ? ? ? ? ?

a ? x 1 a? 0 ? x0 ? 3 9 3 ,则? ······················· 2 分 ? y0 6 6 ?y ? a? a ? 0 9 3 3 ?

a2 6a 2 ? 2 ? 1, 9a 2 9b 1 2 2 2 2 则 3a ? 4b , 可得: 4c ? a , 则 e ? . ················· 4 分 2 2 2 (Ⅱ)因为椭圆短轴长为 2b ? 2 3 ,所以由(Ⅰ)知 3a ? 4b , 得
又点 P 点在椭圆上,则有

a ? 2, b ? 3, c ? 1
y1 ? ?2 y2

设 A(x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则由 AF2 ? 2F2 B 易知 (1) ························· 6 分

???? ?

???? ?

x2 y 2 ? ? 1 联立消去 x 得 设直线 AB 的方程为 x ? my ? 1 ,与 4 3
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(3m2 ? 4) y 2 ? 6my ? 9 ? 0 ,所以 y1 ? y2 ? ?
y1 y2 ? ? 9 3m ? 4
2

6m 3m 2 ? 4

(2)

(3)

由(1)(2)(3)消去 y1 , y2 ,求得 m ? ? 、 、 即 y1 ? y2 ? ?

2 5 . ············ 10 分 5

45 3 5 , y1 y2 ? ? . 32 8
2 2

? 3 5? ? 45 ? 9 5 所以 y1 ? y2 ? ( y1 ? y2 ) ? 4 y1 y2 ? ? ? . ? ? 4?? ? ? ? ? 8 ? 8 ? 32 ? ? ?
所以 ?F1 AB 面积 S ?

1 1 9 5 9 5 . ······· 12 分 y1 ? y2 F1F2 ? ? ?2 ? 2 2 8 8

22.解:(Ⅰ)证明:连结 AB , ∵ AC 是⊙ O1 的切线,∴ ?BAC ? ?D . ················· 2 分 又∵ ?BAC ? ?E ,∴ ?D ? ?E .∴ AD ∥ EC . ············· 4 分 (Ⅱ)设 BP ? x , PE ? y ,∵ PA ? 6 , PC ? 2 , ∴ xy ? 12 =12. ∵ AD ? EC ,∴ ①

DP AP 9? x 6 ? ? ,∴ ② ·············· 6 分 PE PC y 2

由①②可得 ?

? x ? 3 ? x ? ?12 或? (舍去) . ················ 8 分 ? y ? 4 ? y ? ?1

∴ DE ? 9 ? x ? y ? 16 .∵ AD 是⊙ O2 的切线,
2 ∴ AD ? DB ? DE =9×16.∴ AD ? 12 . ··············· 10 分

2 2 2 2 23.解: (I)曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 6cos ? 可化为:? ? 6? cos ? ,又 x ? y ? ? ,?

? x ? ? cos? , ? y ? ? sin ?

∴曲线 C2 的直角坐标方程为: x ? 6 x ? y ? 0 .
2 2

....3 分 ...

x2 2 曲线 C1 的直角坐标方程为: 2 ? y ? 1 , a
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当 ? ? 0 时,射线 l 与 C1 , C2 交点的直角坐标分别为 ( a , 0) , (6, 0) ,∵ AB ? 4 ,∴ a ? 2 .∴

x2 ? y 2 ? 1. ···································· 分 ··········· ·········· ··········· ··· 6 ·········· ··········· ··········· ··· 4
? x 2 ? 6x ? y 2 ? 0 (II) ? ? 时, ? 当 由 , B 3 得 ( ,) 4 ( x ? 0) ?y ? x

?

或 B(0,0) , B 不是极点, B 点的坐标为 (3,3) , 又 故

由(I)得 D(0,1) .

设直线 DB 的参数方程为 ?

? x ? t cos ? ( t 为参数) ,因经过点 B (3,3) , ? y ? 1 ? t sin ?

? 3 13 ?cos ? ? ? 13 , 得? ?sin ? ? 2 13 ? 13 ? ? 3 13 t ?x ? ? 13 ∴求直线 DB 的参数方程为 ? ( t 为参数) ·········· 10 分 . 2 13 ? y ? 1? t ? 13 ?
24.解:不等式 4m ?1 ? 1 ? m ? m ( 2x ? 3 ? x ?1) 恒成立等价于

2x ? 3 ? x ?1 ?


4m ? 1 ? 1 ? m m ? m

恒成立

4m ?1 ? 1 ? m m

4m ?1 ? 1 ? m

? 3 . ················ 2 分

∴原不等式等价于 2x ? 3 ? x ?1 ? 3 . ① 当 x ? 1 时,原不等式变为 ?2 x ? 3 ? x ? 1 ? 3 ,∴ x ? ?1 , ∴ x 的解集为 ? 1 ? x ? 1 . ······················ 4分

3 1 ② 当 1 ? x ? 时,原不等式变为 ?2 x ? 3 ? x ? 1 ? 3 ,∴ x ? , 2 3 3 ∴ 1 ? x ? . ···························· 6 分 2 3 ③ 当 x ? 时,原不等式变为 2 x ? 3 ? x ? 1 ? 3 , 2 3 ∴ x ? 5 ,∴ ? x ? 5 . ······················ 8 分 2
综上 x 的取值范围为 [?1,5] . ····················· 10 分

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