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2.2.1 等差数列的概念与通项公式课件(人教A版必修五)_图文

第二章

数列

2.2 等差数列

2.2.1 等差数列的概念与通项公式

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1.通过实例,理解等差数列的概念. 2.探索并掌握等差数列的通项公式.
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3.能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并能 用有关知识解决相应的问题.
4.体会等差数列与一次函数的关系.

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基础 梳理 1.(1)等差数列的定义:____________________. 定义的数学式表示为__________________________.

(2)判断下列数列是不是等差数列.
①2,4,6,8,10; ②1,3,5,8,9,10.
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答案: (1)从第二项起, 每一项与它前一项的差等于同一 个常数 an-an-1=d (与 n 无关的常数),n≥2,n∈N* (2)①是 ②不是
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基础 梳理 2 . (1) 首 项 为 a1 公 差 为 d 的 等 差 数 列 {an} 的 通 项 公 式 为 ____________. (2)写出下列数列的通项公式: ①2,4,6,8,10; ②0,5,10,15,20,…. 栏 答案:(1)an=a1+(n-1)d (2)①an=2n,n=1,2,3,4,5 ②an=5n-5,n∈N*
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基础 梳理 3.(1)等差中项的定义:______________________. (2)求下列各组数的等差中项:

①2,4;②-3,9.
答案:(1)如果a,A,b成等差数列,则A叫a与b的等差中项 (2)①所求等差中项为:3 ②所求等差中项为:3

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基础 梳理 4 . (1) 等差数列当公差 ______ 时,为递增数列;当公差 ______时,为递减数列. (2)判断下列数列是递增还是递减数列. ①等差数列3,0,-3,…; ②数列{an}的通项公式为:an=2n-100(n∈N*). 答案:(1)d>0 d<0 (2)①递减数列 ②递增数列
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基础 梳理 5.等差数列的图象的特点是________________.
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答案:一条直线上的一群孤立点

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1.{an}为等差数列,且a7-2a4=-1,a3=0,则公 差d=( ) 1 A.-2 B.- 2 1 C. D.2 2

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解析:由题意知 a1+6d-2(a1+3d)=-1,① a1+2d=0,② 1 由①②可得 d=- ,a1=1. 2 答案:B

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(

2.等差数列a-2d,a,a+2d,…的通项公式是 ) A.an=a+(n-1)d B.an=a+(n-3)d C.an=a+2(n-2)d D.an=a+2nd
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解析:数列的首项为 a-2d,公差为 2d, ∴an=(a-2d)+(n-1)· 2d=a+2(n-2)d. 答案:C

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3.已知数列{an}对任意的n∈N*,点Pn(n,an)都在直线y=2x +1上,则{an}为( A ) A.公差为2的等差数列 B.公差为1的等差数列 C.公差为-2的等差数列 D.非等差数列

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题型1 例1

等差数列的通项公式 等差数列{an}中,已知a9=3,a18=12,求a36、an.
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解析:由a9=3得:a1+8d=3, 由a18=12得:a1+17d=12. 解方程组得:d=1,a1=-5. ∴a36=-5+35=30; an=-5+(n-1)=n-6,n∈N*. 点评:先根据两个独立的条件解出两个量a1 和d,进而再写出an的表达式.

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1.已知等差数列{an}中,a15=33,a61=217,试判断153是不 是这个数列中的项.如果是,是第几项?

解析:解法一:设等差数列的公差为 d,则 an=a1+(n-1)d.∵a15=33,a61=217, ? ? ?33=a1+14d, ?a1=-23, ∴? 解得? ? ? ?217=a1+60d, ?d=4, ∴an=-23+(n-1)×4=4n-27. 令 an=153,则 4n-27=153,得 n=45∈N*, ∴153 是所给数列的第 45 项.

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解法二:∵{an}不是常数列, ∴{an}的通项公式是关于 n 的一次函数.假设 153 是该数列的第 n 项,则(15,33)、(61,217)、(n,153)三点 栏 目 共线. 链 接 217-33 153-33 * ∴ = ,解得 n=45∈N , 61-15 n-15 ∴153 是所给数列的第 45 项.

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题型2

等差中项的应用

例2 在-1 与 7 之间顺次插入三个数 a,b,c 使这五个数成等差数
列,求此数列.

解析:解法一:∵-1,a,b,c,7成等差数列, ∴b是-1与7 的等差中项, -1+7 ∴b= =3. 2 又a是-1与3的等差中项, -1+3 ∴a= =1. 2 又c是3与7的等差中项, 3+7 ∴c= =5. 2

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解法二:设a1=-1,a5=7, ∴7=-1+(5-1)d?d=2,an=-1+(n- 1)· 2=2n-3, 栏 ∴所求的数列为-1,1,3,5,7. 目 链 点评:若a、A、b成等差数列,即A= 接 a+b 1 ,则A就是a与b的等差中项,若A= (a+b) 2 2 时,则a、A、b成等差数列,这是判定三个数 成等差数列的条件.
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2.某办公室共有6个人,其年龄成等差数列,已知年 龄最大的为52岁,而6个人的年龄和为237岁,求年龄最小 的为多少岁?

解析:设等差数列的 a1=52,公差为 d,则 d<0, ∴a1+ (a1+ d)+ (a1+ 2d)+ (a1+ 3d)+ (a1+ 4d)+ (a1+ 5d)=237, ∴52×6+15d=237,∴d=-5, ∴a1+5d=52-5×5=27, ∴年龄最小的应为 27 岁.

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题型3

等差数列的判定

2an 例3 已知数列{an},满足 a1=2,an+1=a +2. n ?1 ? (1)数列?a ?是否为等差数列?说明理由. ? n? (2)求 an.

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1 分析:先将递推公式变形,推导 - 为常数. an+1 an

1

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? ?1 ? ? ? 解析:(1)数列 ?是等差数列,理由如下: ?an ? ? ?

2an ∵a1=2,an+1= , an+2 an+2 1 1 1 ∴ = = + , 栏 an+ 1 2an 2 an 目 1 1 1 链 ∴ - = . 接 an+ 1 an 2 ? ?1 ? ? 1 1 1 即? ?是首项为 = ,公差为d= 的等差数列. a1 2 2 ?an? ? ? 1 1 n (2)由上述可知 = +(n-1)d= , an a1 2 2 ∴an= . n www.gzjxw.net

点评:根据等差数列的定义可知,一个数列是否为等差数 列,要看任意相邻两项的差是否为同一常数,要判断一个数列为 等差数列,需证明an+1-an=d(d为常数)对n∈N*恒成立,若要判断 栏 目 一个数列不是等差数列,只需举出一个反例即可. 链


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3.在数列{an}中,若 a1=1,an+1=an+2(n≥1),则该数列 的通项 an=________.

解析:由 an+ 1=an+2(n≥1)可得数列{an}是公差为 2 的等差数列,又 a1=1,所以 an=2n-1. 答案:2n-1

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