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2014年高考辽宁理科科数学试题及答案(word解析版)

2014 年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁) 数学(理科)
第Ⅰ卷(共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 【2014 年辽宁,理 1,5 分】已知全集 U ? R, A ? {x | x ? 0}, B ? {x | x ? 1} ,则集合 ?U ( A ? B) ? ( ) (A) {x | x ? 0} (B) {x | x ? 1} (C) {x | 0 ? x ? 1} (D) {x | 0 ? x ? 1} 【答案】D 【解析】 A ? B ? ?x x ? 1或x ? 0? ,∴ ?U ( A ? B) ? ?x 0 ? x ? 1? ,故选 D. 【点评】本题考查了集合的并集、补集运算,利用数轴进行数集的交、并、补运算是常用方法. (2) 【2014 年辽宁,理 2,5 分】设复数 z 满足 ( z ? 2i)(2 ? i) ? 5 ,则 z ? ( ) (A) 2 ? 3i (B) 2 ? 3i (C) 3 ? 2i (D) 3 ? 2i 【答案】A 5?2 ? i? 5 ? ? 2 ? i ,∴ z ? 2 ? 3i ,故选 A. 【解析】由 ( z ? 2i)(2 ? i) ? 5 ,得: z ? 2i ? 2 ? i ? 2 ? i ?? 2 ? i ? 【点评】本题考查了复数代数形式的除法运算,是基础的计算题. 1 ? 1 1 (3) 【2014 年辽宁,理 3,5 分】已知 a ? 2 3 , b ? log 2 , c ? log 1 ,则( 3 2 3 (A) a ? b ? c 【答案】C 【解析】∵ 0 ? a ? 2
? 1 3

) (D) c ? b ? a

(B) a ? c ? b
? 20 ? 1 , b ? log2

(C) c ? a ? b

1 1 ? log2 1 ? 0 , c ? log 1 ? log 2 3 ? log 2 2 ? 1 ,∴ c ? a ? b ,故选 C. 3 2 3

【点评】本题考查指数的运算性质和对数的运算性质,在涉及比较两个数的大小关系时,有时借助于 0、1 这样 的特殊值能起到事半功倍的效果,是基础题. (4) 【2014 年辽宁,理 4,5 分】已知 m, n 表示两条不同直线, ? 表示平面,下列说法正确的是( ) (A)若 m / /? , n / /? ,则 m / / n (B)若 m ? ? , n ? ? ,则 m ? n (C)若 m ? ? , m ? n ,则 n / /? (D)若 m / /? , m ? n ,则 n ? ? 【答案】B 【解析】A:若 m / /? , n / /? ,则 m , n 相交或平行或异面,故 A 错; B.若 m ? ? , n ? ? ,则 m ? n ,故 B 正确; C.若 m ? ? , m ? n ,则 n / /? 或 n ? ? ,故 C 错; D.若 m / /? , m ? n ,则 n / /? 或 n ? ? 或 n ? ? ,故 D 错,故选 B. 【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系,考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质,记熟这些定理是迅 速解题的关键,注意观察空间的直线与平面的模型. (5) 【2014 年辽宁,理 5,5 分】设 a , b, c 是非零向量,已知命题 p :若 a ?b ? 0 , b?c ? 0 ,则 a ?c ? 0 ;命题 q : 若 a ? b , b ? c ,则 a ? c ,则下列命题中真命题是( ) (A) p ? q (B) p ? q (C) (?p) ? (?q) (D) p ? (?q) 【答案】A ? 0 不一定成立, b?0, 【解析】 若 a ?b ? 0 ,b?c ? 0 , 则 a ?b = b?c , 即 ? a ? c ?? 则 ac= 故命题 p 为假命题, 若a ? b,
b ? c ,则 a ? c ,故命题 q 为真命题,则 p ? q ,为真命题, p ? q ,(?p) ? (?q) , p ? (?q) 都为假命题, 故选 A. 【点评】本题主要考查复合命题之间的判断,利用向量的有关概念和性质分别判断 p , q 的真假是解决本题的关

键. (6) 【2014 年辽宁,理 6,5 分】6 把椅子摆成一排,3 人随机就座,任何两人不相邻的做法种数为( ) (A)144 (B)120 (C)72 (D)24 【答案】D 1

3 【解析】3 人全排,有 A3 ? 6 种方法,形成 4 个空,在前 3 个或后 3 个或中间两个空中插入椅子,有 4 种方法, 根据乘法原理可得所求坐法种数为 6× 4=24 种,故选 D. 【点评】本题考查排列知识的运用,考查乘法原理,先排人,再插入椅子是关键. (7) 【2014 年辽宁,理 7,5 分】某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

(A) 8 ? 2? 【答案】B

(B) 8 ? ?

(C) 8 ?

?
2

(D) 8 ?

?
4

1 圆柱,正方体的棱长为 2,切去的圆柱的底 4 1 面半径为 1,高为 2,∴几何体的体积 V ? 23 ? 2 ? ? ? ?12 ? 2 ? 8 ? ? ,故选 B. 4 【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积,根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的 几何量是解题的关键.
【解析】由三视图知:几何体是正方体切去两个 (8) 【2014 年辽宁,理 8,5 分】设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,若数列 2a1an 为递减数列,则( (A) d ? 0 【答案】C (B) d ? 0 (C) a1d ? 0

? ?



(D) a1d ? 0
2a1an?1 ? 2a1d ? 1 , ∴ a1d ? 0 , a1an 2

【解析】 ∵等差数列 ?an ? 的公差为 d , ∴ an?1 ? an ? d , 又数列 2a1an 为递减数列, ∴

? ?

故选 C. 【点评】本题考查了等差数列的通项公式、数列的单调性、指数函数的运算法则等基础知识与基本技能方法,属 于中档题. ?? ? ? (9) 【2014 年辽宁,理 9,5 分】将函数 y ? 3sin ? 2 x ? ? 的图象向右平移 个单位长度,所得图象对应的函数 3 2 ? ? ( ) ? ? 7? ? ? ? 7? ? (A)在区间 ? , ? 上单调递减 (B)在区间 ? , ? 上单调递增 12 12 ? ? ?12 12 ? ? ? ?? ? ? ?? (C)在区间 ? ? , ? 上单调递减 (D)在区间 ? ? , ? 上单调递增 6 3 ? ? ? 6 3? 【答案】B ?? ? ? 【解析】把函数 y ? 3sin ? 2 x ? ? 的图象向右平移 个单位长度,得到的图象所对应的函数解析式为: 3 2 ? ?
2? ? ? ? ?? ?? ? 2? ? ? y ? 3sin ? 2 ? x ? ? ? ? .即 y ? 3sin ? 2 x ? ? ? 2k? , ? .由 ? ? 2k? ? 2 x ? 3 ? 2 ? 3? 2 3 2 ? ? ? ? 7? ? 7? 得 ? k? ? x ? . ? k? , k ? Z .取 k ? 0 ,得 ? x ? 12 12 12 12 ? ? 7? ? ∴所得图象对应的函数在区间 ? , ? 上单调递增,故选 B. ?12 12 ? 【点评】本题考查了函数图象的平移,考查了复合函数单调性的求法,复合函数的单调性满足“同增异减”原则, 是中档题. (10) 【2014 年辽宁,理 10,5 分】已知点 A? ?2,3? 在抛物线 C : y 2 ? 2 px 的准线上,过点 A 的直线与 C 在第一

象限相切于点 B ,记 C 的焦点为 F ,则直线 BF 的斜率为( 1 2 3 (A) (B) (C) 2 3 4 【答案】D

) (D)

4 3

【解析】∵点 A? ?2,3? 在抛物线 C : y 2 ? 2 px 的准线上,即准线方程为: x ? ?2 ,∴ p ? 0 , ?

p ? ?2 即 p ? 4 , 2 ∴抛物线 C : y 2 ? 8 x ,在第一象限的方程为 y ? 2 2 x ,设切点 B ? m, n ? ,则 n ? 2 2 m ,又导数
2

1 1 2 n?3 2 y? ? 2 2 ? ? ? ,则在切点处的斜率为 ,∴ 即 2m ? 2 2 ? 2 2m ? 3 m , 2 x m ? 2 m m

2 8?0 4 舍去) ,∴切点 B ?8,8 ? ,又 F ? 2,0 ? ,∴直线 BF 的斜率为 ? ,故选 D. 2 8?2 3 【点评】本题主要考查抛物线的方程和性质,同时考查直线与抛物线相切,运用导数求切线的斜率等,是一道基 础题. (11【 )2014 年辽宁, 理 11, 5 分】 当 x ? [?2,1] 时, 不等式 ax3 ? x2 ? 4 x ? 3 ? 0 恒成立, 则实数 a 的取值范围是 ( )

解 m ?2 2

(?

(A) [?5, ?3]

9 (B) [?6, ? ] 8

(C) [?6, ?2]

(D) [?4, ?3]

【答案】C 【解析】当 x ? 0 时,不等式 ax3 ? x2 ? 4 x ? 3 ? 0 对任意 a ? R 恒成立;当 0 ? x ? 1 时, ax3 ? x2 ? 4 x ? 3 ? 0 可化为 ? x ? 9 ?? x ? 1? 1 8 9 1 4 3 1 4 3 (*) ,当 0 ? x ? 1 时, a ? ? 2 ? 3 ,令 f ? x ? ? ? 2 ? 3 ,则 f ? ? x ? ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? 4 x x x x x x x x x x ax3 ? x2 ? 4 x ? 3 ? 0 当 ?2 ? x ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 ,f ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增,f ? x ?max ? f ?1? ? ?6 ∴ a ? ?6 ; 可化为 a ?

1 4 3 ? ? ,由(*)式可知,当 ?2 ? x ? ?1 时, f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递减,当 ?1 ? x ? 0 时, x x 2 x3 f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递增, f ? x ?min ? f ? ?1? ? ?2 ,∴ a ? ?2 ;

综上所述,实数 a 的取值范围是 ?6 ? a ? ?2 ,即实数 a 的取值范围是 [?6, ?2] ,故选 C. 【点评】本题考查利用导数研究函数的最值,考查转化思想、分类与整合思想,按照自变量讨论,最后要对参数 范围取交集;若按照参数讨论则取并集. (12) 【2014 年辽宁, 理 12, 5 分】 已知定义在 [0,1] 上的函数 f ( x) 满足: ① f (0) ? f (1) ? 0 ; ②对所有 x, y ?[0,1] , 且 x ? y ,有 | f ( x) ? f ( y) |? (A) 【答案】B 【解析】 依题意, 定义在 [0,1] 上的函数 y ? f ? x ? 的斜率 k ? 满足 f ? 0? ? f ?1? ? 0 , f ? x ? ? f ? y ? ?
?kx 1? 1 ? , 不妨令 k ? 0 , 构造函数 f ? x ? ? ? ?0 ? k ? ?, 2? 2 ?k ? kx ?
1 2

1 | x ? y | .若对所有 x, y ?[0,1] , | f ( x) ? f ( y) |? k ,则 k 的最小值为( 2 1 1 1 (B) (C) (D) 4 2? 8



1 x? y . 2

1 1 1 ? 1? ? 1? 当 x ? ? 0, ? ,且 y ? ? 0, ? 时, f ? x ? ? f ? y ? ? kx ? ky ? k x ? y ? k ? 0 ? k ? ? ; 2 2 4 ? 2? ? 2?

k 1 ? 1? ?1 ? ? 1? 当 x ? ? 0, ? ,且 y ? ? ,1? , f ? x ? ? f ? y ? ? kx ? ? k ? ky ? ? k ? x ? y ? ? k ? k ?1 ? ? ? k ? ? ; 2 4 ? 2? ?2 ? ? 2?

1 ?1 ? ? 1? 当 x ? ? ,1? ,且 y ? ? 0, ? 时,同理可得, f ? x ? ? f ? y ? ? ; 4 ?2 ? ? 2? ?1 ? ?1 ? ? 1? k 1 当 x ? ? ,1? ,且 y ? ? ,1? 时, f ? x ? ? f ? y ? ? ? k ? kx ? ? ? k ? ky ? ? k x ? y ? k ? ?1 ? ? ? ? ; ?2 ? ?2 ? ? 2? 2 4 1 综上所述,对所有 x, y ??0,1? , f ? x ? ? f ? y ? ? , 4 1 1 ∵对所有 x, y ??0,1? , f ? x ? ? f ? y ? ? k 恒成立,∴ k ? ,即 k 的最小值为 ,故选 B. 4 4 【点评】本题考查函数恒成立问题,着重考查构造函数思想、分类讨论思想、函数方程思想与等价转化思想的综 合运用,考查分析、推理及运算能力,属于难题.

第 II 卷(共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 3

(13) 【2014 年辽宁,理 13,5 分】执行右侧的程序框图,若输入 x ? 9 ,则输出 y ? 29 【答案】 9 9 【解析】由程序框图知:第一次循环 x ? 9 , y ? ? 2 ? 5 , 5 ? 9 ? 4 ? 1 ; 3 4 5 11 11 第二次循环 x ? 5 , y ? ? 2 ? , ? 5 ? ? 1 ; 3 3 3 3 第三次循环 x ?



11 11 4 11 11 29 ? ?1, , y? ?2? . ?2? 9 3 9 3 9 9 29 满足条件 y ? x ? 1 ,跳出循环,输出 y ? . 9 【点评】本题考查了循环结构的程序框图,根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用 方法. (14) 【2014 年辽宁,理 14,5 分】正方形的四个顶点 A(?1, ?1), B(1, ?1), C (1,1), D(?1,1) 分别在抛物

线 y ? ? x 2 和 y ? x 2 上,如图所示,若将一个质点随机投入正方形 ABCD 中,则质点落在阴 影区域的概率是 . 2 【答案】 3 【解析】∵ A(?1, ?1), B(1, ?1), C (1,1), D(?1,1) ,∴正方体的 ABCD 的面积 S ? 2 ? 2 ? 4 ,根据积分的几何意义以及抛
1 1 ? ?? 1 ? ? 1 ?? 4 8 ? 物线的对称性可知阴影部分的面积 S ? 2? ?1 ? x 2 ? dx ? 2 ? x ? x3 ? 1 ?1 ? 2 ??1 ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? 2 ? ? , ?1 3 3 3 3 3 ? ? ? ? ?? ?? 8 2 则由几何槪型的概率公式可得质点落在图中阴影区域的概率是 3 ? . 4 3 【点评】本题主要考查几何槪型的概率的计算,利用积分求出阴影部分的面积是解决本题的关键. x2 y 2 (15) 【2014 年辽宁,理 15,5 分】已知椭圆 C : ? ? 1 ,点 M 与 C 的焦点不重合, 9 4 若 M 关 于 C 的 焦 点 的 对 称 点 分 别 为 A , B , 线 段 MN 的 中 点 在 C 上 , 则 | A N | ? | B N? | . 【答案】12 1 1 【解析】如图: MN 的中点为 Q ,易得 QF2 ? NB , QF1 ? AN ,∵ Q 在椭圆 C 上, 2 2 ∴ QF1 ? QF2 ? 2a ? 6 ,∴ | AN | ? | BN |? 12 .

【点评】本题考查椭圆的定义,椭圆的基本性质的应用,基本知识的考查. (16) 【2014 年辽宁, 理 16, 5 分】 对于 c ? 0 , 当非零实数 a , b 满足 4a 2 ? 2ab ? 4b2 ? c ? 0 , 且使 | 2a ? b | 最大时, 3 4 5 . ? ? 的最小值为 a b c 【答案】 ?2 【解析】∵ 4a 2 ? 2ab ? 4b2 ? c ? 0 ,∴
c 1 b ? 15 ? ? a 2 ? ab ? b2 ? ? a ? ? ? b2 ,由柯西不等式得, 4 2 4 ? 16 ?
2
2

2 2 ?? b ? 15 2 ? ? 2 ? 6 ? ? ? ? b? 15 6 ? 2 a ? ? b 2 ? b? ?? ?? ? ? 2a ? b ,故当 2a ? b 最大时, ? ? ? ? ? ?2 ? a ? ? ? 4 ? 16 ? 4? 4 15 ? ? 15 ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? b 15 2 2 a? b 3 4 5 3 4 5 1?1? 2 1?1 3 ? 4? 4 有 ,∴ a ? b , c ? 10b 2 ,∴ ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ?2, 6 2 a b c 3 b b 10b2 2 ? b ? b 2 ? b 2 ? 2 15 1 当 b ? 时,取得最小值为 ?2 . 2 4

【点评】本题考查了柯西不等式,以及二次函数的最值问题,属于难题. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

??? ? ??? ? 1 C 的对边 a , b, c , (17) 【2014 年辽宁, 理 17, 12 分】 在 ?ABC 中, 内角 A , 且a?c, 已知 BA ? BC ? 2 , cos B ? , B, 3 b ? 3 ,求: (1) a 和 c 的值; (2) cos( B ? C ) 的值. ??? ? ??? ? 1 解: (1)由 BA?BC ? 2 得 ac ? cos B ? 2 .又 cos B ? ,所以 ac ? 6 .由余弦定理得 a 2 ? c 2 ? b2 ? 2ac ? cos B . 3
?ac ? 6 ?a ? 2 ?a ? 3 ?a ? 3 1 ?? 又因为 b ? 3 , 所以 a 2 ? c 2 ? 32 ? 2 ? 6 ? ? 13 . 解? 2 得? 或? . 因为 a ? c , . 2 3 ?c ? 2 ?c ? 2 ?a ? c ? 13 ?c ? 3
1 2 2 b c (2)在 ?ABC 中, sin B ? 1 ? cos2 B ? 1 ? ( )2 ? .由正弦定理得 , ? 3 3 sin B sin C

所以 sin C ? c sin B ? b

2?

2 2 4 2 2 7 3 ?4 2. 因为 a ? c , 所以角 C 为锐角. cos C ? 1 ? sin 2 C ? 1 ? ( ) ? . 9 9 9 3

1 7 2 2 4 2 23 ? cos( B ? C ) ? cos B cos C ? sin B sin C ? ? ? . ? 3 9 3 9 27 【点评】此题考查了正弦、余弦定理,平面向量的数量积运算,以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌握定理 是解本题的关键. (18) 【2014 年辽宁,理 18,12 分】一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘 制了日销售量的频率分布直方图,如图所示:将日销售量落入各组的频率视为 概率,并假设每天的销售量相互独立. (1)求在未来连续 3 天里,有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另一天 的日销售量低于 50 个的概率; (2)用 X 表示在未来 3 天里日销售量不低于 100 个的天数,求随机变量 X 的 分布列,期望 E ? X ? 及方差 D ? X ? .

解: (1)设 A1 表示事件“日销售量不低于 100 个”, A2 表示事件“日销售量低于 50 个”,B 表示事件“在未来连续 3 天里,有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另一天的日销售量低于 50 个”. P( A1 ) ? (0.006 ? 0.004 ? 0.002) ? 50 ? 0.6 , P( A2 ) ? 0.003 ? 50 ? 0.15 . P( B) ? 0.6 ? 0.6 ? 0.15 ? 2 ? 0.108 .
0 1 (2) 相应概率为 P( X ? 0) ? C3 ? 0.60 ? 0.43 ? 0.064 ; P( X ? 1) ? C3 ? 0.6 ? 0.42 ? 0.288 ; X 可能取的值为 0,1,2,3. 2 3 P( X ? 2) ? C3 ? 0.62 ? 0.4 ? 0.432 ; P( X ? 3) ? C3 ? 0.63 ? 0.40 ? 0.216 . X 的分布列为: 0 1 2 3 X 0.064 0.288 0.432 0.216 P 因为 X ? B(3,0.6) ,所以期望 E ( X ) ? 3 ? 0.6 ? 1.8 及方差 D( X ) ? 3 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.72 .

【点评】 在 n 次独立重复试验中, 事件 A 发生的次数服从二项分布、 服从二项分布的随机变量的期望与方差公式, A 考查分布列的求法. ?ABC 和 ?BCD 所在平面互相垂直, (19) 【2014 年辽宁, 理 19, 12 分】 如图, 且 AB ? BC ? BD ? 2 , ?ABC ? ?DBC ? 120o , E 、 F 分别为 AC 、 DC 的中点. (1)求证: EF ? BC ; B (2)求二面角 E ? BF ? C 的正弦值. 解:解法一: F (1)过 E 作 EO ? BC ,垂足为 O ,连 OF .由 ABC≌ DBC , A D

E

C

?

可证出

? EOC≌? FOC .所以 ?EOC ? ?FOC ?

?

?

2

,即 FO ? BC ,又 EO ? BC ,
E B G F O C

因此 BC ? 面EFO .又 EF ? 面EFO ,所以 EF ? BC . (2)在图 1 中,过 O 作 OG ? BF ,垂足为 G ,连结 EG .由 平面ABC ? 平面BCD ,从 而 EO ? 面BCD ,又 OG ? BF ,由三垂线定理可知 EG ? BF ,因此, ?EGO 为二面 5
D

图1

角 E-BF-C 的平面角. 在
OG ?

1 ? EOC 中, EO ? 1 EC ? BC ? cos 30 2 2

?

?

3 ,由 2

? BGO∽? BFC 知,

BO 3 2 5 2 5 EO ?FC ? , 因此 tan ?EGO ? 从而 sin ?EGO ? , 即二面角 E-BF-C 正弦值为 . ?2, BC 4 5 5 OG
A z

解法二: (1)由题意,以 B 为坐标原点,在平面 DBC 内过 B 作垂直 BC 的直线为 x 轴, BC 所在直线为 y 轴,在平面 ABC 内过 B 作垂直 BC 的直线为 z 轴,建立如图所示 空间直角坐标系. 易得 B(0,0,0) , A(0, ?1, 3) , D( 3, ?1,0) , C (0,2,0) ,因而 ??? ? ??? ? 1 3 3 1 3 3 E (0, , ) , F( , ,0) ,所以 EF ? ( ,0, ? ) , BC ? (0,2,0) ,因此 2 2 2 2 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? EF ?BC ? 0 ,从而 EF ? BC, 所以EF ? BC . (2)在图 2 中,平面 BFC 的一个法向量为 n1 ? (0,0,1) ,设平面 BEF 的法向量 ??? ? ??? ? ??? ? ?n2 ?BF ? 0 3 1 1 3 ? n2 ? ( x, y , z ) ,又 BF ? ( , ,0), BE ? (0, , ) ,由 ? ??? ,得其中一个 ? 2 2 2 2 ? ?n2 ?BE ? 0 n2 ? (1, ? 3,1) .设二面角 E-BF-C 大小为 ? ,且由题意知 ? 为锐角, 则 cos? ? cos ? n1 , n2 ? =

E B(O) C F D x 图2

y

n1 ? n2 1 2 5 2 5 ? ,因此, sin ? ? ,即所求二面角正弦值为 . 5 5 n1 ? n2 5

【点评】本题主要考查空间点、线、面位置关系,二面角等基础知识,同时考查空间想象能力,空间向量的坐标 运算,推理论证能力和运算求解能力. y (20) 【2014 年辽宁,理 20,12 分】圆 x2 ? y 2 ? 4 的切线与 x 轴正半轴, y 轴正半轴围成一 个三角形,当该三角形面积最小时,切点为 P (如图) ,双曲线 C1 : 离心率为 3 . (1)求 C1 的方程; (2)椭圆 C2 过点 P 且与 C1 有相同的焦点,直线 l 过 C2 的右焦点且与 C2 交于 A , B 两 点,若以线段 AB 为直径的圆心过点 P ,求 l 的方程. x x 解: (1)设切点坐标为 ( x0 , y0 ) ( x0 ? 0, y0 ? 0 ) ,则切线斜率为 ? 0 ,切线方程为 y ? y0 ? ? 0 ( x ? x0 ) , y0 y0 1 4 4 8 即 x0 x ? y0 y ? 4, 此时两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为 S ? ? ? ? . 2 x0 y0 x0 y0
2 2 由 x0 即 S 有最小值, 因此 P 坐标为 ( 2, 2) , ? y0 ? 4 ≥ 2 x0 y0 知当且仅当 x0 ? y0 ? 2 时 x0 y0 有最大值,

x2 y 2 ? ? 1 过点 P 且 a 2 b2
O

P x

2 ?2 y2 ? 2 ? 2 ?1 由题意知 ? a b ,解得 a 2 ? 1, b2 ? 2 ,故 C1 方程为 x 2 ? ?1 . 2 ? a 2 ? b2 ? 3a 2 ? x2 y2 ? ? 1 , 其中b1 ? 0 , (2)由(1)知 C2 的焦点坐标为 (? 3,0),( 3,0) ,由此设 C2 的方程为 3 ? b12 b12

由 P ( 2, 2) 在 C2 上,得

2 2 x2 y 2 2 ? ? 1 C b ? 3 ,解得 ,因此 方程为 ? ? 1, 2 1 3 ? b12 b12 6 3

显然, l 不是直线 y ? 0 ,设 l 的方程为 x ? my ? 3 ,点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 )
? 2 3m ? x ? my ? 3 y1 ? y2 ? ? 2 ? ? ? m ?2 由 ? x2 y2 , 得 (m2 ? 2) y 2 ? 2 3my ? 3 ? 0, , 又 y1 , y2 是方程的根, 因此 ? ?1 ? ? ? y y ? ?3 3 ?6 ? 1 2 m2 ? 2 ? (1)


(2)

6

? 4 3 ? x1 ? x2 ? m( y1 ? y2 ) ? 2 3 ? 2 ? m ?2 由 x1 ? my1 ? 3, x2 ? my2 ? 3 得 ? 2 ? x x ? m2 y y ? 3m( y ? y ) ? 3 ? 6 ? 6m 1 2 1 2 1 2 ? m2 ? 2 ? ??? ? ??? ? 因 AP ? ( 2 ? x1 , 2 ? y1 ) , BP ? ( 2 ? x2 , 2 ? y2 ) , ??? ? ??? ? 由题意可知 AP ? BP ? 0 ,所以 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? y1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4 ? 0

(3) (4)

(5)
3 6 6 ? 1或 ? ?1 , 2 2

将(1) (2) (3) (4)代入(5)整理得, 2m2 ? 2 6m ? 4 6 ? 11 ? 0 ,解得 m ? 因此直线方程为 x ? (

6 3 6 ? 1) y ? 3 ? 0 或 x ? ( ? 1) y ? 3 ? 0 . 2 2 【点评】本题综合考查了圆锥曲线的标准方程及其性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、向量垂直与数量积的 关系、切线的斜率和切线的方程、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质、直线与椭圆相交问题转 化为方程联立可得根与系数的关系等基础知识与基本技能方法, 考查了推理能力和计算能力, 考查了转 化和化归能力,考查了解决问题的能力,属于难题. 8 (21) 【2014 年辽宁,理 21,12 分】已知函数 f ( x) ? (cos x ? x)(? ? 2x) ? (sin x ? 1) , 3 2x g ( x) ? 3( x ? x)cos x ? 4(1 ? sin x)ln(3 ? ) .证明:

(1)存在唯一 x0 ? (0, ) ,使 f ( x0 ) ? 0 ; 2 (2)存在唯一 x1 ? ( , ? ) ,使 g ( x1 ) ? 0 ,且对(1)中的 x0 ? x1 ? ? . 2 ? 2 ? ? ? ?? 解: (1)当 x ? ? 0, ? 时, f ?( x) ? ?(1 ? sin x)(? ? 2x) ? 2 x ? cos x ? 0 ,函数 f ( x ) 在 x ? ? 0, ? 上为减函数, 3 ? 2? ? 2? 8 ? 16 ? ?? 又 f (0) ? ? ? ? 0 , f ( ) ? ?? 2 ? ? 0 ,所以存在唯一 x0 ? ? 0, ? ,使得 f ( x0 ) ? 0 . 3 2 3 ? 2? (2)考虑函数 h( x) ?

?

?

?

3( x ? ? )cos x 2 ? ?? ?? ? ?? ? ? 4ln(3 ? x) , x ? ? , ? ? ,令 t ? ? ? x ,则 x ? ? , ? ? 时, t ? ? 0, ? , 1 ? sin x ? ? 2? ?2 ? ?2 ? 3 f (t ) 3t cos t 2 记 u(t ) ? h(? ? t ) ? ? 4ln(1 ? t ) ,则 u ?(t ) ? (? ? 2t )(1 ? sin t ) 1 ? sin t ?
由(1)得,当 t ? ? 0, x0 ? 时, u ?(t ) ? 0 ,当 t ? ( x0 , ) 时, u ?(t ) ? 0 , 2 在 ? 0, x0 ? 上 u ( t ) 是增函数,又 u (0) ? 0 ,从而当 t ? ? 0, x0 ? 时, u (t ) ? 0 ,所以 u ( t ) 在 ? 0, x0 ? 无零点. 在 ( x0 , ) 上 u ( t ) 是减函数,由 u( x0 ) ? 0 , u( ) ? ?4ln 2 ? 0 ,知存在唯一 t1 ? ( x0 , ) ,使 u ? t1 ? ? 0 . 2 2 2 所以存在唯一的 t1 ? (0, ) ,使 u ? t1 ? ? 0 ,因此存在唯一的 x1 ? ? ? t1 ? ( , ? ) , 2 2 使 h( x1 ) ? h(? ? t1 ) ? u(t1 ) ? 0 ,因为当 x ? ( , ? ) 时, 1 ? sin x ? 0 ,故 g ( x ) ? (1 ? sin x )h( x ) 与 h( x ) 有相同 2

?

?

?

?

?

?

?

的零点,所以存在唯一的 x1 ? ( , ? ) 使得 g ( x1 ) ? 0 .因为 x1 ? ? ? t1 , t1 ? x0 ,所以 x0 ? x1 ? ? . 2 【点评】本题考查了导数的综合应用问题,解题时应根据导数来研究函数的单调性与最值问题,利用函数的单调 性研究函数的零点问题,是较难的题目. 请考生在(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做第一个 B 题目计分,做答时,请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. D (22) 【2014 年辽宁,理 22,10 分】 (选修 4-1:几何证明选讲)如图, EP 交圆于 E 、 C 两 点, PD 切圆于 D , G 为 CE 上一点且 PG ? PD ,连接 DG 并延长交圆于点 A ,作弦 AB 垂直 EP ,垂足为 F . (1)求证: AB 为圆的直径; F G E C 7
A

?

P

(2)若 AC ? BD ,求证: AB ? ED . B 解: (1)? PD ? PG ??PDG ? ?PGD ? PD 为圆的切线,??PDA ? ?DBA D 又? ?PGD ? ?EGA ??DBA ? ?EGA ??DBA ? ?BAD ? ?EGA ? ?BAD , ??BDA ? ?PFA ? AF ? EP ??PFA ? 90???BDA ? 90?? AB 为直径. (2)连接 BC , DC ? AB是直径 ??BDA ? ?ACB ? 90? ,在 Rt ?BDA与Rt ?ACB中 , AB ? BA, AC ? BD , Rt ?BDA ? Rt ?ACB ,??DAB ? ?CBA ? ?DCB ? ?DAB E F G C ??DAB ? ?CBA ? DC / / AB ? AB ? EP ? DC ? EP, ?DCE ? 90? ? ED为直径 , A 由(1) AB ? ED . 【点评】本题考查圆的切线的性质,考查三角形全等的证明,考查直径所对的圆周角为直角,属于中档题. (23) 【2014 年辽宁,理 23,10 分】(选修 4-4:坐标系与参数方程)将圆 x2 ? y 2 ? 1 上每一点的横坐标保持不 变,纵坐标变为原来的 2 倍,得曲线 C . (1)写出 C 的参数方程; (2)设直线 l : 2 x ? y ? 2 ? 0 与 C 的交点为 P 1, P 2 ,以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系, 求过线段 P1 P2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程.
? x ? x1 解: (1)设 ( x1 , y1 ) 为圆 x2 ? y 2 ? 1 上任意一点,按题中要求变换后的点 ( x, y ) .根据题意得 ? , ? y ? 2 y1 ? x1 ? x 2 ? x ? cos ? y ? 2 2 2 x ? ? 1 .故 C 的参数方程为 ? 所以 ? .由 得 ( ? 为参数) . x ? y ? 1 y 1 1 4 y1 ? ? y ? 2sin ? ? ? 2 2 ?4 x ? y 2 ? 4 ?x ? 1 ?x ? 0 1 (2)由 ? 解得 ? 或? .不妨设 P 2 (0, 2) ,则线段中点坐标 ( ,1) . 1 (1,0) , P 2 ?y ? 0 ?y ? 2 ?2 x ? y ? 2 ? 0

P

1 1 1 ,于是所求直线方程为 y ? 1 ? ( x ? ) ,即 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 . 2 2 2 3 化为极坐标方程为 2 ? cos? ? 4 ? sin ? ? 3 ? 0 ,即 ? ? . 4sin ? ? 2cos? 【点评】 本题主要考查求点的轨迹方程的方法, 极坐标和直角坐标的互化, 用点斜式求直线的方程, 属于中档题. (24) 【2014 年辽宁,理 24,10 分】 (选修 4-5:不等式选讲)设函数 f ( x) ? 2 | x ? 1| ? x ? 1 , g ( x) ? 16 x2 ? 8x ? 1 , 记 f ( x) ? 1 的解集为 M , g ( x) ? 4 的解集为 N . (1)求 M ; 1 (2)当 x ? M ? N 时,证明: x2 f ( x) ? x[ f ( x)]2 ? . 4 ?3x ? 3, x ? [1, ??) 4 解: (1) f ( x) ? 2 | x ? 1| ? x ? 1 ? ? .当 x ? 1 时, f ( x) ? 3x ? 3 ? 1 ,解得 1 ? x ? ; 1 ? x , x ? ( ?? ,1) 3 ?
所求直线的斜率为 k ?
4 当 x ? 1 时, f ( x) ? 1 ? x ? 1 ,解得 0 ? x ? 1 .所以 f ( x) ? 1 的解集为 M ? {x | 0 ? x ? } . 3 1 3 3 M ? N ? {x | 0 ? x ? } . (2) 解得 N ? {x | ? ? x ? } . 当 x ? M ? N 时,f ( x) ? 1 ? x . g ( x) ? 16 x2 ? 8x ? 1 ? 4 , 4 4 4 1 1 3 1 x2 f ( x) ? x[ f ( x)]2 ? x2 (1 ? x) ? x(1 ? x)2 ? x ? x 2 ? ? ( x ? )2 , x ?{x | 0 ? x ? } . ? x2 f ( x) ? x[ f ( x)]2 ? . 4 2 4 4 【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法,体现了分类讨论、等价转化的数学思想,属于中档题.

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