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2015-2016学年山东省威海市文登市九年级上学期期中数学试卷.doc


山东省威海市文登市 2016 届九年级上学期期中数学试卷 (五 四学制)
一.选择: 1.已知反比例函数 y=﹣ ,下列结论不正确的是( 1,2) >1,则﹣2<y<0 ) A. 图象必经过点 (﹣

B.y 随 x 的增大而增大 C.图象分布在第二、四象限内 D.若 x

2.如图,过原点的一条直线与反比例函数 y= (k≠0)的图象分别交于 A,B 两点.若 A 点的坐标为(a,b),则 B 点的坐标为( )

A. (a,b)B. (b,a)C. (﹣b,﹣a)D. (﹣a,﹣b)

3.如图,抛物线 y=ax2+bx+c 的图象,根据图象回答,当 ax2+bx+c<1 时,x 的取值范围是 ( )

A.﹣1<x<3

B.x<﹣1 或 x>3

C.x<﹣1

D.x>3

4.如图,点 A 为∠α 边上的任意一点,作 AC⊥BC 于点 C,CD⊥AB 于点 D,下列用线段 比表示 cosα 的值,错误的是( )

A D. B C . . . 5.如图,某水渠的横断面是等腰梯形,已知其斜坡 AD 的坡度为 1:1.2,斜坡 BC 的坡度为 1:
0.8,现测得放水前的水面宽 EF 为 3.8 米,当水闸放水后,水渠内水面宽 GH 为 6 米.则放水 后水面上升的高度是( )米.

A.1.2

B.1.1

C.0.8

D.2.2

6.如图,某天然气公司的主输气管道从 A 市的北偏东 60° 方向直线延伸,测绘员在 A 处测得 要安装天然气的 M 小区在 A 市的北偏东 30° 方向, 测绘员沿主输气管道步行 1000 米到达点 C 处,测得 M 小区位于点 C 的北偏西 75° 方向,试在主输气管道上寻找支管道连接点 N, 使到该小区铺设的管道

最短,此时 AN 的长约是()



A.350 米 B.650 米 C.634 米 D.700 米

7.某超市有一种商品,进价为 2 元,据市场调查,销售单价是 13 元时,平均每天销售量是 50 件,而销售价每降低 1 元,平均每天就可以多售出 10 件.若设降价后售价为 x 元,每天利 润为 y 元,则 y 与 x 之间的函数关系为() A.y=10x2﹣100x﹣160 2340 B.y=﹣10x2+200x﹣360C.y=x2﹣20x+36D.y=﹣10x2+310x﹣

8.抛物线 y=ax2+bx+c 上部分点的横坐标 x,纵坐标 y 的对应值如表所示.给出下列说法: ①抛物线的对称轴是直线 x=1;②抛物线一定经过点(3,0);③在对称轴左侧,y 随 x 增大而 减小;④ 若 A(﹣ ,y1) 、B( ,y2)两点在此抛物线上,则 y1>y2.上述说法正确的个数有()

﹣3 ﹣2 ﹣1 … x ﹣6 … y 0 4 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

1 6

2 4

… …

9.如图,已知双曲线 y1= (x>0),y2= (x>0),点 P 为双曲线 y2= 上的一点,且 PA⊥x 轴于点 A,PA,PO 分别交双曲线 y1= 于 B,C 两点,则△PAC 的面积为()

A.1

B.1.5

C .2

D.3

10.当﹣2<x<2 时,下列函数:①y=2x;② 值y 随自变量 x 增大而增大的有( A.①② )

;③

;④y=x2+6x+8,函数

B.①②③C.①②④D.①②③④

11.如图,将抛物线 l:y=ax2﹣2x+a2﹣4(a 为常数)向左并向上平移,使顶点 Q 的对应点 Q′,抛物线 l 与 x 轴的右交点 P 的对应点 P′分别在两坐标轴上,则抛物线 l 与 x 轴的交 点 E 的对应点的坐标为()

A. (﹣1, )

B. (0,0)C. (﹣ ,1)

D. (﹣ ,0)

12.如图,已知△ABC 为等边三角形,AB=2,点 D 为边 AB 上一点,过点 D 作 DE∥AC, 交 BC 于 E 点;过 E 点作 EF⊥DE,交 AB 的延长线于 F 点.设 AD=x,△DEF 的面积为 y, 则能大致反映 y 与 x 函数关系的图象是( )

A. 二.填空题 13.函数 y=

B.

C.

D.

中自变量 x 的取值范围是



14. 如图所示, 有一块四边形菜地 ABCD, 其中∠ABC=60° , AB=40m, BC=50m, CD=20m, AD=50m, 则这块菜地的面积是 m2(结果保留根号).

15.用长为 20 米的篱笆,一面靠墙(墙的长度是 8 米),围成一个长方形花圃,如图,设 AB 边的长为 x 米,花圃的面积为 y 平方米,则当 x= . 时,y 最大=

16.如图,已知函数 y=ax2+bx+c 与 y=﹣ 的图象交于 A(﹣4,1)、B、C(1,﹣4)三点,

根据图象可求得关于 x 的不等式 ax2+bx+c<﹣ 的解集为



17.已知点(x1,﹣7)和点(x2,﹣7)(x1≠x2)均在抛物线 y=ax2 上,则当 x=x1+x2 时,y 的值是 .

18.如图,在反比例函数 y= (x>0)的图象上,有点 P1,P2,P3,…,P2010,它们的横 坐标依次为 1,2,3,…,2015.分别过这些点作 x 轴与 y 轴的垂线,图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为 S1,S2,S3,…, S2010,则 S1+S2+S3+…+S2015= .

三.解答题(共 7 小题) 19.计算:sin60° ﹣4cos230° ﹣sin45°?tan60°﹣ .

20.如图,在△ABC 中,∠B=45° ,∠BAC=75° ,AC=8.求 AB 和 BC 的长.

21.如图,一次函数 y=kx+b(b<0)的图象与反比例函数 y=

的图象交于点 P,点 P 在第一

,=1 PA⊥x 轴于点 A, PB⊥y 轴于点 B. 一次函数的图象分别交 x 轴 、 y 轴于点 C、 D, 且S△PAC 象限, = ,tan∠ACP= . (1)求点 D 的坐标; 求一次函数与反比例函数的解析式.

22.某公园草坪的护栏是由 50 段形状相同的抛物线形组成的、抛物线的顶点到地面距离为 0.5 米,为牢固起见,每段护拦需按间距 0.4m 加设不锈钢管(如图)作成的立柱. ①建立平面直角坐标系,求该抛物线的解析式; ②计算所需不锈钢管立柱的总长度.

23. 如图, 某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆高度. 已知小明的眼睛与地面的距离 (AB) 是 1.7m,看旗杆顶部 M 的仰角为 45° ;小红的眼睛与地面的距离(45° )是 1.5m,看旗杆顶部 M 的仰角为 30° .两人相距 23m 且位于旗杆两侧(点 B,N,D)在同一条直线上).请求出旗 杆 MN 的高度.(参考数据:,,结果保留整数)

24.如图(1),等边三角形 ABC 的边长为 8,点 P 由点 B 开始沿 BC 以每秒 1 个单位长的速 度作匀速运动,到点 C 后停止运动;点 Q 由点 C 开始沿 C﹣A﹣B 以每秒 2 个单位长的速 度作匀速运动, 到点 B 后停止运动. 若点 P, Q 同时开始运动, 运动的时间为 t( 秒) (t>0) . 求 当点P、Q 运动时, △PCQ 的面积 S 与 t 的函数关系式,并指出自变量 t 的取值范围.

25.如图,已知抛物线 P:y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在 x 轴的正半轴 上) , 与 y 轴交于点 C, 矩形 DEFG 的一条边 DE 在线段 AB 上, 顶点 F、G 分别在线段 BC、

AC 上,抛物线 P 上部分点的横坐标对应的纵坐标如下: x y … … ﹣3 ﹣2 ﹣4 1 2 0 … …

(1)求抛物线表达式及 A、B、C 三点的坐标; 若点 D 的坐标为(m,0) ,矩形 DEFG 的面积为 S,求 S 与 m 的函数关系,并求出面积的最 大值及 m 的取值范围.

山东省威海市文登市 2016 届九年级上学期期中数学试卷(五四学制) 参考答案与试题解析

一.选择: 1.已知反比例函数 y=﹣ ,下列结论不正确的是( 1,2) >1,则﹣2<y<0 【考点】反比例函数的性质. 【分析】根据反比例函数 y= 的性质,当 k>0 时,在每一个象限内,函数值 y 随自变量 x 的 增大而减小;当 k<0 时,在每一个象限内,函数值 y 随自变量 x 增大而增大,即可作出判 断. 【解答】解:A、(﹣1,2)满足函数的解析式,则图象必经过点(﹣1,2);B、在每个象限 内 y 随 x 的增大而增大,在自变量取值范围内不成立,则命题错误;C、命题正确; D、命题正确.故选 B. ) A. 图象必经过点 (﹣

B.y 随 x 的增大而增大 C.图象分布在第二、四象限内 D.若 x

【点评】本题考查了反比例函数的性质,对于反比例函数

(k≠0),(1)k>0,反比例函数

图象在一、三象限;k<0,反比例函数图象在第二、四象限内.

2.如图,过原点的一条直线与反比例函数 y= (k≠0)的图象分别交于 A,B 两点.若 A 点的坐标为(a,b),则 B 点的坐标为( )

A. (a,b)B. (b,a)C. (﹣b,﹣a)D. (﹣a,﹣b) 【考点】反比例函数图象的对称性. 【专题】计算题. 【分析】此题由题意可知 A、B 两点关于原点对称,则根据对称性即可得到 B 点坐标. 【解答】解:根据图象,A、B 两点关于原点对称.A 点的坐标为 (a,b) ,则 B 点坐标为 (﹣a, ﹣ b) . 故选 D. 【点评】本题考查了反比例函数图象的对称性,解决这类题目的关键是掌握两点的对称中心为 原点. 3.如图,抛物线 y=ax2+bx+c 的图象,根据图象回答,当 ax2+bx+c<1 时,x 的取值范围是 ( )

A.﹣1<x<3

B.x<﹣1 或 x>3

C.x<﹣1

D.x>3

【考点】二次函数的图象. 【专题】压轴题;数形结合. 【分析】观察图象,直接写出值域在 y<1 上所对应的定义域即可. 【解答】解:根据图象知,当 y=1 时,x=﹣1 或 3, ∴当函数值 y=ax2+bx+c<1 时,﹣1<x<3,故选 A. 【点评】本题考查了二次函数的图象.解题时,利用了“数形结合”的数学思想,使问题变得直 观化,降低了题的难度.

4.如图,点 A 为∠α 边上的任意一点,作 AC⊥BC 于点 C,CD⊥AB 于点 D,下列用线段 比表示 cosα 的值,错误的是( )

A D. B . .

C .

【考点】锐角三角函数的定义. 【分析】利用垂直的定义以及互余的定义得出∠α=∠ACD,进而利用锐角三角函数关系得出 答案. 【解答】解:∵AC⊥BC,CD⊥AB, ∴∠α+∠BCD=∠ACD+∠BCD,

∴∠α=∠ACD, ∴cosα=cos∠ACD= = = ,只有选项 C 错误,符合题意.故选:C.

【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义,得出∠α=∠ACD 是解题关键.

5.如图,某水渠的横断面是等腰梯形,已知其斜坡 AD 的坡度为 1:1.2,斜坡 BC 的坡度为 1: 0.8,现测得放水前的水面宽 EF 为 3.8 米,当水闸放水后,水渠内水面宽 GH 为 6 米.则放水 后水面上升的高度是( )米.

A.1.2

B.1.1

C.0.8

D.2.2

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题. 【分析】 过点 E 作 EM⊥GH 于点 M, 过点 F 作 FN⊥GH 于点 N, 可得四边形 EFNM 为矩形, 可得 MN=EF,然后设 ME=FN=x,分别在 Rt△GME 和 Rt△NHF 中表示出 GM 和 HN 的长 度,最后根据 GH=6 米,列出方程求出 x 的值. 【解答】解:过点 E 作 EM⊥GH 于点 M,过点 F 作 FN⊥GH 于点 N,可得四边形 EFNM 为 矩形, 则 MN=EF, 设 ME=FN=x, 在 Rt△GME 中, ∵斜坡 AD 的坡度为 1:1.2, ∴ME:GM=1:1.2, ∴GM=1.2x, 在 Rt△NHF 中, ∵斜坡 BC 的坡度为 1:0.8, ∴NF:NH=1:0.8,

∴NH=0.8x, 则 GH=1.2x+0.8x+3.8=6, 解得:x=1.1.故选 B.

【点评】此题考查了解直角三角形的应用,用到的知识点是坡度、矩形的性质,关键是根据 题意画出图形,作出辅助线,构造直角三角形.

6.如图,某天然气公司的主输气管道从 A 市的北偏东 60° 方向直线延伸,测绘员在 A 处测得 要安装天然气的 M 小区在 A 市的北偏东 30° 方向, 测绘员沿主输气管道步行 1000 米到达点 C 处,测得 M 小区位于点 C 的北偏西 75° 方向,试在主输气管道上寻找支管道连接点 N, 使到该小区铺设的管道 最短,此时 AN 的长约是() .

A.350 米 B.650 米 C.634 米 D.700 米 【考点】解直角三角形的应用-方向角问题. 【分析】首先过点 M 作 MN⊥AC 于点 N,由题意可求得∠MAN=30° ,∠MCN=45° ,然后设 MN=x,由三角函数的性质,可表示出 AN 与 CN,继而可得方程: 程即可求得答案. 【解答】解:如图:过点 M 作 MN⊥AC 于点 N, 根据题意得:∠MAN=60° ﹣30° =30° ,∠BCM=75° ,∠DCA=60° , ∴∠MCN=180° ﹣75° ﹣60° =45° , 设 MN=x 米, x+x=1000,解此方

在 Rt△AMN 中,AN= 在 Rt△CMN 中,CN= ∵AC=1000 米, ∴

=x(米) , =x(米) ,

x+x=1000,解得:x=500( x≈634(米).故选 C.

﹣ 1) ,

∴AN=

【点评】此题考查了方向角问题.此题难度适中,注意能构造直角三角形,并能借助于解直 角三角形的知识求解是关键,注意数形结合思想与方程思想的应用.

7.某超市有一种商品,进价为 2 元,据市场调查,销售单价是 13 元时,平均每天销售量是 50 件,而销售价每降低 1 元,平均每天就可以多售出 10 件.若设降价后售价为 x 元,每天利 润为 y 元,则 y 与 x 之间的函数关系为() A.y=10x2﹣100x﹣160 2340 【考点】根据实际问题列二次函数关系式. 【分析】根据等量关系“利润=(售价﹣进价)× (50+10× 降价)”列出函数关系式即可. 【解答】解:根据题意得:y=(x﹣2)[50+10(13﹣x)整理得:y=﹣10x2+200x﹣360. 故选:B. 【点评】此题考查了从实际问题中抽象出二次函数关系式,掌握销售问题中的基本数量关系 是解决问题的关键. 8.抛物线 y=ax2+bx+c 上部分点的横坐标 x,纵坐标 y 的对应值如表所示.给出下列说法: ①抛物线的对称轴是直线 x=1;②抛物线一定经过点(3,0);③在对称轴左侧,y 随 x 增大而 B.y=﹣10x2+200x﹣360C.y=x2﹣20x+36D.y=﹣10x2+310x﹣

减小;④ 若 A(﹣ ,y1) 、B( ,y2)两点在此抛物线上,则 y1>y2.上述说法正确的个数有()

﹣3 ﹣2 ﹣1 … x ﹣6 … y 0 4 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【考点】二次函数的性质.

1 6

2 4

… …

【分析】利用表中的对称点求得对称轴,利用对称性以及增减性逐项判定得出答案即可. 【解答】解:∵抛物线经过点(﹣1,4) , ∴对称轴 x= = ①错误;

∴(﹣2,0)的对称点为(3,0) ,也就是抛物线一定经过点(3,0)②正确; ∵在对称轴左侧 y 随着 x 的增大而增大,在对称轴右侧 y 随着 x 的增大而减小, ∴③是错误的; ∵点 A(﹣ ,y1)的对称点为 A′( ,y1) ,B( ,y2) , > > , ∴y1<y2,④错误.正确的只有 1 个.故选:A. 【点评】此题考查了二次函数的性质.要熟练掌握函数的特殊值对应的特殊点.解题关键是 根据表格中数据找到对称性以及数据的特点求出对称轴,图象与 x,y 轴的交点坐标等.

9.如图,已知双曲线 y1= (x>0),y2= (x>0),点 P 为双曲线 y2= 上的一点,且 PA⊥x 轴于点 A,PA,PO 分别交双曲线 y1= 于 B,C 两点,则△PAC 的面积为()

A.1

B.1.5

C .2

D.3

【考点】反比例函数系数 k 的几何意义. 【专题】常规题型. 【分析】作 CH⊥x 轴于 H,根据反比例函数 y= (k≠0)系数 k 的几何意义得到 S△OCH= ,S 2 △OPA=2,由 CH∥PA,判断△OCH∽△OPA,利用相似的性质得到 S△OCH:S△OPA=OH : OA2= :2, 则 OH:OA=1:2,所以 S△OCA=2S△OCH=1,然后利用△PAC 的面积=S△OPA ﹣S△OCA 进行计算. 【解答】解:作 CH⊥x 轴于 H,如图,

S△OCH= ∵CH∥PA,

× 1=

,S△OPA= × 4=2,

∴△OCH∽△OPA, ∴S△OCH:S△OPA=OH2:OA2= :2, ∴OH:OA=1:2, ∴S△OCA=2S△OCH=1, ∴△PAC 的面积=S△OPA﹣S△OCA=1.故选 A.

【点评】本题考查了反比例函数 y= (k≠0)系数 k 的几何意义:从反比例函数 y=kx(k≠0) 图象上任意一点向 x 轴和 y 轴作垂线,垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|.

10.当﹣2<x<2 时,下列函数:①y=2x;② 值y

;③

;④y=x2+6x+8,函数

随自变量 x 增大而增大的有() A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④

【考点】二次函数的性质;一次函数的性质;正比例函数的性质;反比例函数的性质. 【分析】根据一次函数,反比例函数,二次函数的增减性,逐一判断. 【解答】解: :①y=2x 中 k>0,故 y 随自变量 x 增大而增大,满足题意; ② ③ k>0,故 y 随自变量 x 增大而增大,满足题意; 中在每一个象限 y 随自变量 x 增大而增大,不满足题意;

④y=x2+6x+8,对称轴为 x=﹣3,当 x>﹣3 时,y 随自变量 x 增大而增大,故满足题意,故 选 C. 【点评】本题综合考查二次函数、一次函数、反比例函数、正比例函数的增减性(单调性),是 一道难度中等的题目.

11.如图,将抛物线 l:y=ax2﹣2x+a2﹣4(a 为常数)向左并向上平移,使顶点 Q 的对应点 Q′,抛物线 l 与 x 轴的右交点 P 的对应点 P′分别在两坐标轴上,则抛物线 l 与 x 轴的交 点 E 的对应点的坐标为()

A. (﹣1,)

B. (0,0)C. (﹣,1)

D. (﹣,0)

【考点】二次函数图象与几何变换. 【分析】根据图示知,该抛物线经过原点,则易求得该抛物线的解析式,根据该抛物线的解 析式和

图形可以求得平移规律:该抛物线向上平移了 个单位、向左平移了 1 个单位,不难求得点 E 的对应点了. 【解答】解:∵抛物线 y=ax2﹣2x+a2﹣4 经过原点, ∴0=a2﹣4,解得 a=± 2, ∵抛物线的开口方向向上, ∴a>0,则 a=2. ∴该抛物线的解析式为:y=2x2﹣2x+22﹣4=2x(x﹣1) ,或 y=2(x﹣ )2﹣ . ∴该抛物线与 x 轴的交点坐标是 O(0,0)、P(1,0),顶点坐标( ,﹣ )依题意得该抛物 线向上平移了 个单位、向左平移了 1 个单位, ∴抛物线 l 与 x 轴的交点 E(0,0)的对应点的坐标为(﹣1, )故选:A.

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换.解题时,利用已知条件得到抛物线的平移规 律是解题的难点.

12.如图,已知△ABC 为等边三角形,AB=2,点 D 为边 AB 上一点,过点 D 作 DE∥AC, 交 BC 于 E 点;过 E 点作 EF⊥DE,交 AB 的延长线于 F 点.设 AD=x,△DEF 的面积为 y, 则能大致反映 y 与 x 函数关系的图象是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】动点问题的函数图象. 【分析】根据平行线的性质可得∠EDC=∠B=60° ,根据三角形内角和定理即可求得∠F=30° , 然后证得△EDC 是等边三角形, 从而求得 ED=DC=2﹣x, 再根据直角三角形的性质求得 EF, 最后根据三角形的面积公式求得 y 与 x 函数关系式,根据函数关系式即可判定. 【解答】解:∵△ABC 是等边三角形, ∴∠B=60° , ∵DE∥AB, ∴∠EDC=∠B=60° , ∵EF⊥DE, ∴∠DEF=90° , ∴∠F=90° ﹣∠EDC=30° ; ∵∠ACB=60° ,∠EDC=60° , ∴△EDC 是等边三角形. ∴ED=DC=2﹣x, ∵∠DEF=90° ,∠F=30° , ∴EF= ED= . ,

∴y= ED?EF= ? 即 y=

(x﹣2)2,(x<2),故选 A.

【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质,以及直角三角形的性质,特殊角的三角函数、 三角形的面积等.

二.填空题

13.函数 y=

中自变量 x 的取值范围是 x<1



【考点】函数自变量的取值范围. 【分析】根据被开方数大于等于 0,分母不等于 0 列式求解即可. 【解答】解:由题意得,1﹣x>0,解得 x<1. 故答案为:x<1. 【点评】本题考查了函数自变量的范围,一般从三个方面考虑: (1)当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数; 当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为 0; (3)当函数表达式是二次根式时,被开方数非负.

14. 如图所示, 有一块四边形菜地 ABCD, 其中∠ABC=60° , AB=40m, BC=50m, CD=20m, AD=50m, 则这块菜地的面积是 m2(结果保留根号).

【考点】解直角三角形的应用. 【分析】此题可通过割补法求四边形的面积. 【解答】解:如图: Rt△ABE 中,∠ABE=60° ,AB=40, ∴BE=20m,AE=20 m, ﹣x,DG=30+y,则有: ,

设 DF=GE=x,CF=y,则 AG=20

解得

(负值舍去) ,

∴S 四边形 ABCD=S△ABE+S 梯形 AEFD﹣S△CFD= × 20× 20 × =500 × +100 (m2) . +100 )平方米.

+ (30+

)﹣

即这块菜地的面积是(500

【点评】不规则图形的面积一定要转化为规则图形的面积来求.

15.用长为 20 米的篱笆,一面靠墙(墙的长度是 8 米),围成一个长方形花圃,如图,设 AB 边的长为 x 米,花圃的面积为 y 平方米,则当 x= 48m2 . 6m 时,y 最大=

【考点】二次函数的应用. 【分析】由于靠墙的一边不需要篱笆,即篱笆只用做三方,AB=x,则 BC=20﹣2x,用矩形面 积公式可表示函数式;但 0<BC≤8,于是得到结论. 【解答】解:根据已知得,AB=x,则 BC=20﹣2x,所以,矩形面积 y=x, 即 y=﹣2x2+20x=﹣2(x﹣5)2+50, ∵a=﹣2<0,当 x<5 时,y 随 x 的增大, ∵墙的长度是 8 米, ∴当 x=6 时,y 最大=48m2.故答案为:6m,48m2. 【点评】本题考查了矩形的面积公式的运用,二次函数的解析式的运用,由函数值求自变量

的值的运用,二次函数的性质的运用,解答时求出函数的解析式是关键.

16.如图,已知函数 y=ax2+bx+c 与 y=﹣ 的图象交于 A(﹣4,1)、B、C(1,﹣4)三点, 根据图象可求得关于 x 的不等式 ax2+bx+c<﹣ 的解集为﹣4<x<0 或 1<x<2.

【考点】二次函数与不等式(组) . 【分析】求关于 x 的不等式 ax2+bx+c<﹣ 的解集,实质上就是根据图象找出函数 y=ax2+bx+c 的值小于 y=﹣ 的值时 x 的取值范围,由两个函数图象的交点及图象的位置, 可求范围. 【解答】解:依题意得关于 x 的不等式 ax2+bx+c<﹣ 的解集,实质上就是根据图象找出函 数 y=ax2+bx+c 的值小于 y=﹣ 的值时 x 的取值范围,由两个函数图象的交点及图象的位置 可以得到 x 的取值是范围:﹣4<x<0 或 1<x<2.故填空答案:﹣4<x<0 或 1<x<2. 【点评】解答此题的关键是把解不等式的问题转化为比较函数值大小的问题,然后结合两个 函数图象的交点坐标解答,本题锻炼了学生数形结合的思想方法.

17.已知点(x1,﹣7)和点(x2,﹣7( )x1≠x2)均在抛物线 y=ax2 上,则当 x=x1+x2 时,y 的值是 0 .

【考点】二次函数图象上点的坐标特征. 【专题】计算题. 【分析】根据抛物线的对称性得到点(x1,﹣7)和点(x2,﹣7)是抛物线上的对称点,而 抛物线 y=ax2 的对称轴为 y 轴,则 x1+x2=0,然后计算自变量为 0 时的函数值即可.

【解答】解:∵抛物线 y=ax2 的对称轴为 y 轴,而点(x1,﹣7)和点(x2,﹣7)(x1≠x2) 均在抛物线上, ∴x1+x2=0, ∴当 x=0 时,y=0.故答案为 0. 【点评】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征: 二次函数图象上点的坐标满足其解析式.

18.如图,在反比例函数 y= (x>0)的图象上,有点 P1,P2, P3,…,P2010,它们的横 坐标依次为 1,2,3,…,2015.分别过这些点作 x 轴与 y 轴的垂线,图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为 S1,S2,S3,…, S2010,则 S1+S2+S3+…+S2015= .

【考点】反比例函数系数 k 的几何意义. 【专题】规律型. 【分析】 求出 P1、P2、P3、P4…的纵坐标,从而可计算出 S1、S2、S3、S4…的高,进而求 出 S1、S2、S3、S4…,从而得出 S1+S2+S3+…+Sn 的值. 【解答】解:当 x=1 时,P1 的纵坐标为 2,当 x=2 时,P2 的纵坐标 1, 当 x=3 时,P3 的纵坐标 ,当 x=4 时,P4 的纵坐标 ,当 x=5 时,P5 的纵坐标 , … 则 S1=1× =2﹣1; S2=1× (1﹣ )=1﹣ ;S3=1× ( ﹣ )= ﹣ ;S4=1× ( ﹣ )= ﹣ ; … Sn= ﹣ ; ﹣+ , ﹣+…+ ﹣=2﹣= ,

S1+S2+S3+…+Sn=2﹣1+1﹣+ ∴S1+S2+S3+…+S2015=

故答案为:



【点评】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,根据坐标求出个阴影的面积表达式是 解题的关键.

三.解答题(共 7 小题) 19.计算: sin60° ﹣4cos230° ﹣sin45°?tan60°﹣ . 【考点】实数的运算;特殊角的三角函数值. 【专题】计算题;实数. 【分析】原式利用特殊角的三角函数值及二次根式性质计算即可得到结果. 【解答】解:原式= . 【点评】此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键. × ﹣4× ﹣ × ﹣| ﹣ |= ﹣3﹣ ﹣ + =﹣ ﹣

20.如图,在△ABC 中,∠B=45° ,∠BAC=75° ,AC=8.求 AB 和 BC 的长.

【考点】解直角三角形.

【分析】 作AD⊥BC, 根据特殊角三角函数值可以求得 CD, AD 的长, 即可求得 BC 的长, 根据△ABD 为等腰直角三角形可求得 AB 的长,即可解题. 【解答】解:作 AD⊥BC,

∵∠B=45° ,∠BAC=75° , ∴∠BAD=45° ,∠CAD=30° , ∴AC=2CD,AD=BD, ∴CD=4,BD=AD=4 ∴BC=BD+CD=4 , +4,AB= AD=4 .

【点评】本题考查了特殊角的三角函数值,考查了直角三角形中三角函数的运用,本题中求 AD 的长是解题的关键.

21.如图,一次函数 y=kx+b(b<0)的图象与反比例函数 y=

的图象交于点 P,点 P 在第一

,=1 PA⊥x 轴于点 A, PB⊥y 轴于点 B. 一次函数的图象分别交 x 轴 、 y 轴于点 C、 D, 且S△PAC 象限, = ,tan∠ACP= . (1)求点 D 的坐标; 求一次函数与反比例函数的解析式.

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题. 【分析】(1)利用三角形面积求法结合锐角三角函数关系得出 AP 的长,进而得出 OD 的长; 利用(1)中所求,利用待定系数法求出一次函数与反比例函数解析式即可. 【解答】解: (1)∵S△PAC=1,tan∠ACP= , ∴设 AP=x,则 AC=2x,故 x?2x=1,解得:x=1, 即 OB=AP=1,AC=2, ∵ = ,

∴DO=2, ∴D(0,﹣2) ;

∵tan∠ACP=tan∠OCD= , ∴ = ,由(1)得:DO=2,则 CO=4,

∴OA=6, P(6,1) , 将 P 点代入 y= , 解得:m=6,故反比例函数解析式为:y= , 将 D(0,﹣2) ,P(6,1)代入 y=kx+b 得:



解 .故一次函数解析式为:y= x﹣2. 得:

【点评】此题主要考查了待定系数法求函数解析式以及锐角三角函数关系,根据题意得出 P 点坐标是解题关键.

22.某公园草坪的护栏是由 50 段形状相同的抛物线形组成的、抛物线的顶点到地面距离为 0.5 米,为牢固起见,每段护拦需按间距 0.4m 加设不锈钢管(如图)作成的立柱. ①建立平面直角坐标系,求该抛物线的解析式; ②计算所需不锈钢管立柱的总长度.

【考点】二次函数的应用. 【分析】①根据所建坐标系特点可设解析式为 y=ax2+c 的形式,结合图象易求 B 点和 C 点坐 标,代入解析式解方程组求出 a,c 的值得解析式; ②根据对称性求 B3、B4 的纵坐标后再求出总长度. 【解答】解:①由题意得 B(0,0.5) 、C(1,0)设抛物线的解析式为:y=ax2+c(a≠0) , ,

代入得:

故解析式为:y=﹣ x2+ ;

②∵当 x=0.2 时,y=0.48,当 x=0.6 时,y=0.32, ∴B1C1+B2C2+B3C3+B4C4=2× (0.48+0.32)=1.6(米) , ∴所需不锈钢管的总长度为:1.6× 50=80(米) .

【点评】本题考查了二次函数的应用,数学建模思想是运用数学知识解决实际问题的常规手 段,建立恰当的坐标系很重要.

23. 如图, 某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆高度. 已知小明的眼睛与地面的距离 (AB) 是 1.7m,看旗杆顶部 M 的仰角为 45° ;小红的眼睛与地面的距离(45° )是 1.5m,看旗杆顶部 M 的仰角为 30° .两人相距 23m 且位于旗杆两侧(点 B,N,D)在同一条直线上).请求出旗 杆 MN 的高度.(参考数据:,,结果保留整数)

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题. 【专题】应用题. 【分析】首先分析图形:根据题意构造直角三角形;本题涉及到两个直角三角形,应利用其 公共边构造三角关系,进而可求出答案. 【解答】 解: 过点 A 作 AE⊥MN 于 E, 过点 C 作 CF⊥MN 于 F, 则 EF=AB﹣CD=1.7﹣1.5=0.2 在 Rt△AEM 中,∠AEM=90° ,∠MAE=45° 则 AE=ME 设 AE=ME=x 则 MF=x+0.2,FC=23﹣x

在 Rt△MFC 中,∠MFC=90° ,∠MCF=30° 则 MF=CF?tan∠MCF,则 解得 x≈8.2 故 MN=8.2+1.7≈10 米 答:旗杆高约为 10 米.

【点评】本题考查了解直角三角形的问题.该题是一个比较常规的解直角三角形问题,建立 模型比较简单,但求解过程中涉及到根式和小数,算起来麻烦一些.

24.如图(1),等边三角形 ABC 的边长为 8,点 P 由点 B 开始沿 BC 以每秒 1 个单位长的速 度作匀速运动,到点 C 后停止运动;点 Q 由点 C 开始沿 C﹣A﹣B 以每秒 2 个单位长的速 度作匀速运动, 到点 B 后停止运动. 若点 P, Q 同时开始运动, 运动的时间为 t( 秒) (t>0) . 求 当点P、Q 运动时, △PCQ 的面积 S 与 t 的函数关系式,并指出自变量 t 的取值范围.

【考点】动点问题的函数图象. 【分析】 分两种情况讨论: ①当 0<t≤4 时 , 作QD⊥BC 于 D, 则BP=t, PC=8﹣t, CQ=2t, 在 Rt△CDQ 中,利用含 30 度的直角三角形三边的关系得到 DC 的长,利用三角形面积公式即可得出结

论; ②当 4≤t≤8,作 QD⊥BC 于 D,则 BP=t,PC=8﹣t,AQ+AC=2t,BQ=16﹣2t,在 Rt△BDQ 中,利用含 30 度的直角三角形三边的关系得到 BD=BQ,QD=BD,然后根据三角形面积公式 得到 S 的表达式. 【解答】解:①当点 Q 在 CA 上运动时,即 0<t≤4 时,作 QD⊥BC 于 D,如图 1,BP=t, PC=8﹣t,CQ=2t, ∵△ABC 为等边三角形, ∴∠C=60° , 在 Rt△CDQ 中,DC= CQ=t, ∴QD= ∴S= CD= t, t?(8﹣t)=﹣t2+4 t, t2+4t(0<t≤4) ;

QD?PC= ?

即△PCQ 的面积 S 与 t 的函数关系式为 S=﹣

②当点 Q 在 AB 上运动时, 即 4≤t≤8, 作 QD⊥BC 于 D, 如图 2, BP=t, PC=8﹣t, AQ+AC=2t, 则 BQ=16﹣2t, ∵△ABC 为等边三角形, ∴∠B=60° , 在 Rt△BDQ 中,BD= BQ= (16﹣2t)=8﹣t, ∴QD= BD= (8﹣t) , ? (8﹣t)?(8﹣t)=t2﹣8t+32,

∴S= QD?PC=

即△PCQ 的面积 S 与 t 的函数关系式为 S=t2﹣8

t+32

(4≤t≤8) .

【点评】本题考查的是动点问题的函数图象,在解答此题时要注意分两种情况进行讨论,同 时要作出辅助线,构造出直角三角形求解.

25.如图,已知抛物线 P:y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在 x 轴的正半轴 上) , 与 y 轴交于点 C, 矩形 DEFG 的一条边 DE 在线段 AB 上, 顶点 F、G 分别在线段 BC、 AC 上,抛物线 P 上部分点的横坐标对应的纵坐标如下: x y … … ﹣3 ﹣2 ﹣4 1 2 0 … …

(1)求抛物线表达式及 A、B、C 三点的坐标; 若点 D 的坐标为(m,0) ,矩形 DEFG 的面积为 S,求 S 与 m 的函数关系,并求出面积的最 大值及 m 的取值范围.

【考点】二次函数综合题. 【分析】(1)根据图表中的每对 x、y 的值,利用待定系数法确定二次函数的解析式即可;易 证△ADG∽△AOC,AD=2﹣m,根据相似三角形的对应边的比相等,就可以用 m 表示出 DG 的长, 再根据△BEF∽△BOC, 就可以表示出 BE, 就可以得到 OE, 因而 ED 就可以表示出来. 因 而 S 与 m 的函数关系就可以得到. 【解答】解: (1)设 y=ax2+bx+c(a≠0) ,

任取 x,y 的三组值代入得:



解得:



故解析式为 y= x2+x﹣4

由题意, BE=4﹣2m, ∴DE=3m,

,而 AO=2,OC=4,AD=2﹣m,故 DG=4﹣2m,又∵

=

,EF=DG,得

∴S 矩形 DEFG=DG?DE=(4﹣2m)3m=12m﹣6m2(0<m<2) .

【点评】本题主要考查了二次函数综合题,涉及待定系数法求函数的解析式,利用函数的解 析式组成的方程组求函数交点坐标的方法,相似三角形的性质,综合性较强,难度较大.


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