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高中数学选修2-1(人教B版)第二章圆锥曲线与方程2.4知识点总结含同步练习题及答案


高中数学选修2-1(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案
第二章 圆锥曲线与方程 2.4 抛物线

一、学习任务 掌握抛物线的标准方程,会求抛物线的标准方程;掌握抛物线的简单性质,会用抛物线的标准方 程和几何性质处理一些简单的实际问题. 二、知识清单
抛物线的基本量与方程

三、知识讲解
1.抛物线的基本量与方程 描述: 抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物 线(parabola).点 F 叫做抛物线的焦点,直线 l 叫做抛物线的准线. 取经过点 F 且垂直于直线 l 的直线为 x 轴,垂足为 K ,并使原点与线段 KF 的中点重合, 建立直角坐标系 xOy . 设 |KF | = p (p > 0),那么焦点 F 的坐标为 (

p p , 0) ,准线 l 的方程为 x = ? .设点 2 2 M (x, y) 是抛物线上任意一点,点 M 到 l 的距离为 d .由抛物线的定义得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? p p p p |MF | = √(x ? )2 + y 2 ,d = |x + |,所以 √(x ? )2 + y 2 = |x + |.将式子化简得 2 2 2 2 2 y = 2px(p > 0) ①. 抛物线上任意一点的坐标都满足方程 ①;以方程 ① 的解 (x, y) 为坐标的点到抛物线的焦点 p p 的距离相等,即以方程 ① 的解为坐标的点都在抛物线上, F ( , 0) 的距离与到准线 x = ? 2 2 p 这样,我们把方程 ① 叫做抛物线的标准方程.它所表示的抛物线的焦点坐标是 ( , 0) ,准线方 2 p 程是 x = ? . 2

选择不同的坐标系,就得到不同形式的标准方程,抛物线的标准方程有 4 种形式,如下: ①标准方程为 y 2 = 2px,焦点坐标为 (

p p , 0) ,准线方程为 x = ? . 2 2

②标准方程为 y 2 = ?2px ,焦点坐标为 (?

p p , 0) ,准线方程为 x = . 2 2

③标准方程为 x 2 = 2py ,焦点坐标为 (0,

p p ) ,准线方程为 y = ? . 2 2

④标准方程为 x 2 = ?2py,焦点坐标为 (0, ?

p p ),准线方程为 y = . 2 2

抛物线的几何意义 若抛物线的标准方程为 y 2 = 2px(p > 0),则它的几何性质如下: ①范围    因为 p > 0,由方程可知 x ≥ 0,所以抛物线在 y 轴的右侧,当 x 的值增大 时,|y| 也增大,抛物线向右方和右下方无限延伸,开口向右. ②对称性   以 ?y 代替 y ,方程不变,因此这条抛物线是以 x 轴为对称轴的轴对称图形. 抛物线的对称轴叫做抛物线的轴. ③顶点 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.在方程中,当 y = 0 时,x = 0,

因此这条抛物线的顶点就是坐标原点. ④开口大小 在 y 2 = 2px(p > 0)中,对于 x 一个确定的值,p 越大,则 |y| 也越大,就 是对应的点离对称轴越远,也可以说开口越大,反之,p 越小,开口也越小.

   

例题: 已知动圆经过点 M (3, 2) 且与直线 x = 1 相切,则动圆圆心 T 的轨迹为( ) A.圆 B.椭圆 C.直线 D.抛物线 解:D 由题意可知,T 到点 M 的距离等于其到直线 x = 1 的距离.所以 T 的轨迹是以 (3, 2) 为焦 点, x = 1 为准线的抛物线. 已知抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上,焦点到准线的距离是 3 ,求抛物线的标准方程,焦点坐 标和准线方程. 解:由已知焦点到准线的距离是 3 ,可得 p = 3,所以抛物线的标准方程是 y 2 = 6x.焦点坐标 为 (

3 3 , 0) ,准线方程为 x = ? . 2 2

点 P 到 (1, 0) 的距离比其到直线 x + 2 = 0 的距离少 1 ,则点 P 的轨迹方程为______. 解: y 2 = 4x 由已知可得点 P 到 (1, 0) 的距离与其到 x + 1 = 0 的距离相等,故点 P 的轨迹是以 (1, 0) 为焦点,x + 1 = 0 为准线的抛物线,故其方程为 y 2 = 4x. 抛物线 y = 4x 2 上的一点 M 到焦点的距离为 1 ,则点 M 的纵坐标是(

17 A. 16 0
解:B

15 B. 16

7 C. 8

) D.

1 1 1 ,由抛物线 y ,则焦点为 F (0, ) ,准线为 y = ? 4 16 16 1 定义可知,点 M (x, y) 到焦点的距离与其到准线的距离相等,即 1 = y 0 + , 可得 16 15 15 ,即 M 点的纵坐标为 . y0 = 16 16
由题意,得抛物线方程为 x 2 = 已知 A(2, 0) ,B 为抛物线 y 2 = x 上的一点,求 |AB| 的最小值. 解:设点 B(x, y) ,则 x = y 2 ? 0 ,所以

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? |AB| = √(x ? 2)2 + y 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = √(x ? 2)2 + x ? ? ? ?? ? ?? ? = √x2 ? 3x + 4 ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? 3 7 = √(x ? )2 + . 2 4

所以当 x =

3 √7 时,|AB| min = . 2 2

四、课后作业

(查看更多本章节同步练习题,请到快乐学kuailexue.com)

1. 已知抛物线 C : y 2 = x 的焦点为 F , A (x0 , y 0 ) 是 C 上一点, |AF | = A.4
答案: C

B.2

C.1

5 x0 ,则 x0 = ( 4 D.8

)

2. 到点 F (0, 4) 的距离比它到直线 y = ?5 的距离小于 1 的动点 M 的轨迹方程为 ( A.y = 16x 2
答案: C 解析: ∵动点

)

B.y = ?16x 2

C.x 2 = 16y

D.x2 = ?16y

M 到点 F (0, 4) 的距离比它到直线 y = ?5 的距离小于 1 ∴动点 M 到点 F (0, 4) 的距离与它到直线 y = ?4 的距离相等, 根据抛物线的定义,可得点 M 的轨迹为以 F (0, 4) 为焦点,以直线 y = ?4 为准线的抛物线, 其标准方程为 x 2 = 16y . )

3. 对于抛物线 y 2 = 4x 上任意一点 Q,点 P (a, 0) 都满足 |P Q| ? |a|,则 a 的取值范围是 ( A.(?∞, 0)
答案: B 解析:

B.(?∞, 2]

C.[0, 2]

D.(0, 2)

设点 Q 的坐标为 (

2 y0 , y 0 ),由 |P Q| ? |a|,得 4

y2 2 + ( 0 ? a) ? a2 . y0 4
2 (y 2 + 16 ? 8a) ? 0,因为 y 2 ? 0,所以 y 2 + 16 ? 8a ? 0 ,即 a ? 2 + 整理,得 y 0 0 0 0 2 y0 恒成 8

2

立.而 2 +

2 y0 的最小值为 2 .所以 a ? 2. 8

4. 若点 A 的坐标为 (3, 2) , F 为抛物线 y 2 = 2x 的焦点,点 P 在该抛物线上移动,为使得

|P A| + |P F | 取得最小值,则 P 点的坐标为
答案:



解析: 从抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离入手.

(2, 2)

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