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2014届高考数学(山东专用理科)一轮复习教学案第十一章概率与统计11.3随机数与几何概型

11.3

随机数与几何概型

考纲要求 1.了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率. 2.了解几何概型的意义.

1.几 何概型的概念 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的________(____ ____或______)成比例, 则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为__ ________. 2.几何概型中,事件 A 的概率计算公式: P(A)=__________________________. 3.用随机数估计事件发生的概率:利用计算机或计算器产生一些满足一定条件的数, 其中每一个数产生的机会是一样的, 通过模拟一些试验, 可以替代我们进行大量的重复试验, 从而估计得到事件的概率. 1. 如图所示, 向圆内投镖, 如果每次都投入圆内, 那么投中正方形区域的概率为( ).

2 1 2 1 A. B. C. D. π π 3 3 2.在长为 6 m 的木棒 AB 上任取一点 P,使点 P 到木棒两端点的距离都大于 2 m 的概 率是( ). 1 1 1 2 A. B. C. D. 4 3 2 3 3.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 内有一个内切球 O,则在正方体 ABCD-A1B1C1D1 内 任取点 M,点 M 在球 O 内的概率是( ). π π π π A. B. C. D. 4 8 6 12 4.有一杯 2 升的水,其中含一个细菌,用一个小杯从水中取 0.1 升水,则此小杯中含 有这个细菌的概率是( ). A.0.01 B.0.02 C.0.05 D.0.1 5.如图所示,在直角坐标系内,射线 OT 落在 60° 角的终边上,任作一条射线 OA,则 射线 OA 落在∠xOT 内的概率为__________.
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一、几何概型及其应用 【例 1-1】如图,在矩形 ABCD 中,点 E 为边 CD 的中点.若在矩形 ABCD 内部随机 取一个点 Q,则点 Q 取自△ABE 内部的概率等于( ).

1 1 1 2 A. B. C. D. 4 3 2 3 【例 1-2】在铸铁过程中,经常出现铸件里面混入气泡的情况,但是如果在加工过程 中气泡不暴露在表面,对产品就不会造成影响,否则产品就会不合格.在一个棱长为 4 cm 的正方体铸件中不小心混入一个半径为 0.1 cm 的球形气泡,在加工这个铸件的过程中,如 果将铸件去掉 0.5 cm 的厚度后产品外皮没有麻眼(即没有露出气泡),产品就合格,问产品合 格的概率是多少? 方法提炼 1.几何概型的特征:一是基本事件的无穷性,二是基本事件的等可能性.常见的几何 概型问题有:与长度有关的几何概型、与面积有关的几何概型、与体积有关的几何概型. 2.解决几何概型问题的一般步骤: (1)明确取点的区域 Ω;(2)确定所求概率的事件中的点的区域 A;(3)计算区域 Ω 和区域 μA A 的几何度量 μΩ 和 μA;(4)计算所求问题的概率 P(A)= . μΩ 请做演练巩固提升 1,3 二、用随机模拟的方法估计概率 【例 2】种植某种树苗,每株的成活率为 0.9,若种植这种树苗 5 棵,求恰好成活 4 棵 的概率. 方法提炼 用均匀随机数模拟试验时, 首先要把实际问题转化为可以用随机数来模拟试验结果的概 率模型,也就是怎样用随机数刻画影响随机事件结果的量.我们可以从以下几个方面考虑: (1)由影响随机事件结果的量的个数确定需要产生的随机数组数,如长度、角度型只用 一组,面积型需要两组. (2)由所有基本事件总体对应区域确定产生随机数的范围. (3)由事件 A 发生的条件确定随机数所应满足的关系式. 请做演练巩固提升 2
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不能正确画出几何概型的图示而致误 【典例】(2012 辽 宁高考)在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C.现作一矩形,邻边长 分别等于线段 AC,CB 的长,则该矩形面积大于 20 cm2 的概率为( ). 1 1 2 4 A. B. C. D. 6 3 3 5 解析:此概型为几何概型,由于在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C,因此总的几何 度量为 12,满足矩形面积大于 20 cm2 的点在 C1 与 C2 之间的部分,如图所示.

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8 2 因此所求概率为 ,即 ,故选 C. 12 3 答案:C 答题指导:1.计算几何概型问题的关键是怎样把具体问题转化为相应类型的几何概型

问题. 2.几何概型中,线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果.
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1 1.设 x∈[0, π],则 sin x< 的概率为( ). 2 1 1 1 1 A. B. C. D. 6 4 3 2 2. 已知某运动员每次投篮命中的概率都为 40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三 次投篮恰有两次命中的概率:先由计算器产生 0 到 9 之间取整数值的随机数,指 定 1,2,3,4 表示命中,5,6,7,8,9,0 表示未命中;再以每三个随机数为一组,代表三次投篮的结果.经随 机模拟产生了如下 20 组随机数: 907 966 191 925 271 932 81 2 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( ). A.0.35 B.0.25 C.0.20 D.0.15 ? 0 ≤ x ≤ 2 , ? 3.(2012 北京高考)设不等式组? 表示的平面区域为 D.在区域 D 内随机取 ?0≤y≤2 ? 一个点,则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是( ). π-2 π A. B. 4 2 4-π π C. D. 6 4 4.在棱长为 3 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 内任取一点 P,则点 P 到正方体各面的距离 都不小于 1 的概率为( ). 1 26 8 1 A. B. C. D. 27 27 27 8 5.在平面直角坐标系 xOy 中,设 D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成的 区域,E 是到原点的距离不大于 1 的点构成的区 域,向 D 中随机投一点,则所投点在 E 中 的概率是__________.

参考答案
基础梳理自测 知识梳理 1.长度 面积 体积 几何概型 构成事件A的区域长度(面积或体积) 2. 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积) 基础自测 1.A 解析:此试 验属几何概型,设圆的半径为 1, 则圆的面积为 π,正方形的面积为 2, 2 所以投中正方形区域的概率为 . π 2.B 解析:将木棒三等分,当 P 位于中间一段时,到两端 A,B 的距离都大于 2 m, 2 1 ∴P= = . 6 3 4π a?3 1 3 3. C 解析: 设正方体棱长为 a, 则正方体的体积为 a3, 内切球的体积为 ×? = πa , 3 ?2? 6 1 3 πa 6 π 故 M 在球 O 内的概率为 3 = . a 6 4.C 解析:试验的全部结果构成的区域体积为 2 升,所求事件的区域体积为 0.1 升, 0.1 1 故所求概率为 P= = =0.05. 2 20 1 5. 解析:如题图,因为射线 OA 在坐标系内是等可能分布的,则 OA 落在∠xOT 内 6 60 1 的概率为 = . 360 6 考点探究突破 1 AB· BC 2 S△ABE 1 【例 1-1】C 解析:由题意知,该题考查几何概型,故 P= = = . BC 2 S矩形ABCD AB· 【例 1-2】解:记产品合格为事件 A,试验的全部结果所构成的区域是棱长为 4 cm 的 正方体.由条件可以发现要使产品合格,球心距离正方体表面要大于 0.6 cm,所以球心必须 在正方体内的一个棱长为 2.8 cm 的正方体内部才符合题意,所以构成事件 A 的区域是棱长 2.83 为 2.8 cm 的正方体,这样产品合格的概率 P(A)= 3 =0.343. 4 【例 2】解:利用计算器或计算机产生 0 到 9 之间取整数值的随机数,我们用 0 代表不 成活,1 至 9 的数字代表成活,这样可以体现成活率是 0.9,因为是种植 5 棵,所以每 5 个 随机数作为一组,可产生 30 组随机数. 69801 66097 771 24 22961 74235 3151 6 29747 24945 57558 65258 74130 23224 37445 44344 33315 27120 21782 58555 61017 4524 1 44134 92201 70362 83005 94976 56173 34783 16624 30344 01117 这就相当于做了 30 次试验,在这些数组中,如果恰有一个 0,则表示恰有 4 棵成活, 9 其中有 9 组这样的数,于是我们得到种植 5 棵这样的树苗恰有 4 棵成活的概率为 =0.3. 30 演练巩固提升 1 1.C 解析:由 sin x< 且 x∈[0,π], 2

π ×2 6 π 5π 1 0, ?∪? ,π?,∴P= 借助于正弦曲线可得 x∈? = . ? 6? ? 6 ? π-0 3 2.B 解析:由题意可知,在 20 组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的随机数为: 5 191,271,932,812,393,共 5 组随机数,故所求概率为 =0.25. 20 3.D 解析:由题意知此概型为几何概型,设所求事件为 A,如图所示,边长为 2 的 正方形区域为总度量 μΩ, 满足事件 A 的是阴影部分区域 μA, 故由几何概型的概率公式得 P(A) 1 22- ×π×22 4 4-π = = . 2 2 4

4.A 解析:正方体中到各面的距离不小于 1 的点的集合是一个中心与原正方体中心 重合,且棱长为 1 的正方体,该正方体的体积是 V1=13=1,而原正方体的体积为 V=33= V1 1 27,故所求的概率为 P= = . V 27 π 5. 解析:如图,区域 D 表示边长为 4 的正方形的内部(含边界),区域 E 表示单位 16 π×12 π 圆及其内部,因此 P= = . 4×4 16


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