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2015高考数学(理)一轮课件:4-5两角和与差的正弦、余弦和正切_图文

第 5讲

两角和与差的正弦、余弦和正切

知 识 梳 理 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α± β)=sin αcos β±cos αsin β cos(α?β)= cos αcos β±sin αsin β . .

tan(α± β)=

tan α± tan β 1?tan αtan β

.

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α= 2sin αcos α cos 2α= cos2α-sin2α . = 2cos2α-1 = 1-2sin2α .

2tan α 2 tan 2α= 1-tan α

.

3.有关公式的逆用、变形等 (1)tan α± tan β= tan(α±β)(1?tan αtan β) (2)cos2α= .

1+cos 2α 2

1-cos 2α 2 ,sin2α= .

(3)1+sin 2α=(sin α+cos α)2, 1-sin 2α=(sin α-cos α)2, sin α± cos α=
? π? ?. 2sin?α± 4 ? ?

4. 函数 f(α)=asin α+bcos α(a, b 为常数), 可以化为 f(α)= a2+b2 b sin(α+φ),其中 tan φ=a.

辨 析 感 悟 1.对两角和与差的三角函数公式的理解 (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角 α,β 是任意的.(√) (2)存在实数 α,β,使等式 cos(α+β)=cos α+cos β.(√) (3)(教材练习改编)cos 80° cos 20° -sin 80° sin 20° =cos(80° - 1 20° )=cos 60° =2.
?π ? 1-tan θ (4)(教材习题改编) =tan?4+θ?. 1+tan θ ? ?

(×) (×)

(5)(2014· 湘潭月考改编)设 tan α,tan β 是方程 x2-3x+2=0 的两根,则 tan(α+β)=-3. (√)

2.对二倍角公式的理解 (6)cos θ=2cos 2-1=1-2sin 2.
2θ 2θ

(√)

3 1 α (7)(2013· 江西卷改编)若 sin 2= 3 ,则 cos α=-3.(×) (8)y=sin 2xcos 2x 的最大值为 1. (×)

? π? 2 2 (9)(2013· 新课标全国Ⅱ卷改编)已知 sin 2α=3, 则 cos ?α+4?= ? ?

1 6.

(√)

[感悟·提升]
一个防范 运用公式时要注意审查公式成立的条件,要注意 和差、倍角的相对性,要注意升幂、降幂的灵活运用.

考点一

三角函数式的化简、求值问题

sin 47° -sin 17° cos 30° 【例 1】(1)(2012· 重庆卷改编) =________. cos 17° cos2α-sin2α (2) ?π ? ?π ?=________. 2tan?4-α?cos2?4-α? ? ? ? ?

解析

sin 47° -sin 17° cos 30° (1) cos 17°

sin?30° +17° ?-sin 17° cos 30° = cos 17° sin 30° cos 17° +cos 30° sin 17° -sin 17° cos 30° = cos 17° sin 30° cos 17° 1 = cos 17° =sin 30° =2.

cos2α-sin2α (2)原式= ?π ? 2sin?4-α? ? ? ? ? 2 π cos ?4-α? ?π ?· ? ? cos?4-α? ? ? cos2α-sin2α = ?π ? ?π ? 2sin?4-α?cos?4-α? ? ? ? ? cos 2α cos 2α = ?π ?=cos 2α=1. sin?2-2α? ? ?

1 答案 (1)2 (2)1

规律方法 (1)技巧:①寻求角与角之间的关系,化非特殊角为特
殊角; ②正确灵活地运用公式,通过三角变换消去或约去一些非特殊 角的三角函数值; ③一些常规技巧:“1”的代换、和积互化等. (2) 常用方法:异名三角函数化为同名三角函数,异角化为同 角,异次化为同次,切化弦,特殊值与特殊角的三角函数互

化.

【训练 1】 (1)化简:[2sin 50° +sin 10° (1+ 3tan 10° )]· 2sin280° =________. ?1+sin θ+cos (2)化简: 2+2cos θ
? θ??sin ?

θ θ? ? - cos 2 2?

(0<θ<π)=________;

解析

? (1)原式=? ?2sin ?

? cos 10° + 3sin 10° ? 50° +sin 10° · ?· cos 10° ?

? 1 3 ? + 2 sin 10° ? ? 2cos 10° 2sin 80° =? · ? 2sin 50° +2sin 10° · cos 10° ? ? 2cos 10° =2 2[sin 50° · cos 10° +sin 10° · cos(60° -10° )] 3 =2 2sin(50° +10° )=2 2× 2 = 6.

(2)原式=

? ?2sin ?

?? θ θ θ θ? 2θ ?? ? 2cos 2+2cos 2??sin 2-cos 2? 2θ 4cos 2

? θ ? 2θ θ 2θ ? ? cos 2 sin 2-cos 2 cos 2· cos θ ? ? = =- ? ? θ? θ? . ?cos ? ?cos ? 2 2? ? ? ?

θ π θ 因为 0<θ<π,所以 0<2<2,所以 cos 2>0, 所以原式=-cos θ.
答案 (1) 6 (2)-cos θ

考点二

三角函数的给角求值与给值求角问题

? ?α ? 2 β? π 1 【例 2】 (1)已知 0<β<2<α<π,且 cos?α-2?=-9,sin?2-β?=3, ? ? ? ?

求 cos(α+β)的值; 1 1 (2)已知 α,β∈(0,π),且 tan(α-β)=2,tan β=-7,求 2α -β 的值.



π (1)∵0<β<2<α<π,

π α π π β ∴-4<2-β<2,4<α-2<π,
?α ? ∴cos?2-β?= ? ? ? β? sin?α-2?= ? ?

1-sin 1-cos
2

2

?α ? ? -β ? = ?2 ?

5 3,

? β? 4 5 ?α- ?= , 2 9 ? ?

?? ?? α+β β? ?α ∴cos 2 =cos??α-2?-?2-β?? ? ? ?? ?? ? ? ? ? β? ?α β? ?α =cos?α-2?cos?2-β?+sin?α-2?sin?2-β? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1? =?-9?× ? ?

5 4 5 2 7 5 3 + 9 ×3= 27 ,
2α+β

∴cos(α+β)=2cos

49×5 239 2 -1=2× 729 -1=-729.

tan?α-β?+tan β (2)∵tan α=tan[(α-β)+β]= 1-tan?α-β?tan β 1 1 2-7 1 = 1 1=3>0, 1+2×7 π ∴0<α<2,

1 2×3 2tan α 3 又∵tan 2α= = ?1? =4>0, 1-tan2α 1-?3?2 ? ? π ∴0<2α<2, 3 1 tan 2α-tan β 4+7 ∴tan(2α-β)= = 3 1=1. 1+tan 2αtan β 1-4×7 1 π ∵tan β=-7<0,∴2<β<π,-π<2α-β<0, 3π ∴2α-β=- 4 .

规律方法 (1) 给值求值问题一般是正用公式将所求 “ 复角 ” 展 开,看需要求相关角的哪些三角函数值,然后根据角的范围求出 相应角的三角函数值,代入展开式即可. (2)通过求所求角的某种三角函数值来求角,关键点在选取函数, 常遵照以下原则:①已知正切函数值,选正切函数;②已知正、
? π? 余弦函数值,选正弦或余弦函数;若角的范围是?0,2?,选正、 ? ?

余弦皆可;若角的范围是 (0 , π) ,选余弦较好;若角的范围为
? π π? ?- , ?,选正弦较好. ? 2 2?

1 13 π 【训练 2】 已知 cos α=7,cos(α-β)=14,且 0<β<α<2, (1)求 tan 2α 的值; (2)求 β.

1 π 4 3 解 (1)∵cos α=7,0<α<2,∴sin α= 7 , ∴tan α=4 3, 2×4 3 2tan α 8 3 ∴tan 2α= = =- 47 . 1-tan2α 1-48

π π (2)∵0<β<α<2,∴0<α-β<2, 3 3 ∴sin(α-β)= 14 , ∴cos β=cos[α-(α-β)] =cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) 1 13 4 3 3 3 1 =7×14+ 7 × 14 =2. π ∴β=3.

考点三 【例 3】 已知

三角变换的简单应用

? ? 1 ? 2 π? ? π? f(x)=?1+tan x?sin x-2sin?x+4?· sin?x-4?. ? ? ? ? ? ?

(1)若 tan α=2,求 f(α)的值; (2)若
?π π? x∈?12,2?,求 ? ?

f(x)的取值范围.



(1)f(x)=(sin x+sin xcos

2

? π? x)+2sin?x+4?· ? ?

? π? cos?x+4? ? ? ? 1-cos 2x 1 π? ?2x+ ? = + sin 2 x + sin 2? 2 2 ?

1 1 =2+2(sin 2x-cos 2x)+cos 2x 1 1 =2(sin 2x+cos 2x)+2.

2sin αcos α 2tan α 4 由 tan α=2,得 sin 2α= 2 =5 . 2 = 2 sin α+cos α tan α+1 cos2α-sin2α 1-tan2α 3 cos 2α= 2 = =-5. sin α+cos2α 1+tan2α 1 1 3 所以,f(α)=2(sin 2α+cos 2α)+2=5.

1 1 (2)由(1)得 f(x)=2(sin 2x+cos 2x)+2 π? 1 2 ? = 2 sin?2x+4?+2. ? ? 由
?π π? x∈?12,2?,得 ? ?

π ?5π 5π? 2x+4∈?12, 4 ?. ? ?

? 2+1 π? 2 ∴- 2 ≤sin?2x+4?≤1,∴0≤f(x)≤ 2 , ? ?

所以

? f(x)的取值范围是? ?0, ?

2+1? ? . ? 2 ?

规律方法 (1)将 f(x)化简是解题的关键,本题中巧妙运用“1”的代 换技巧,将 sin 2α,cos 2α 化为关于正切 tan α 的关系式,为第(1) 问铺平道路. (2)把形如 y=asin x+bcos x 化为 y= a2+b2sin(x+φ), 可进一步 研究函数的周期、单调性、最值与对称性.

【训练 3】 已知函数 f(x)=4cos (1)求 f(x)的最小正周期;

? π? x· sin?x+6?-1. ? ?

? π π? (2)求 f(x)在区间?-6,4?上的最大值和最小值. ? ? ? π? 解 (1)因为 f(x)=4cos xsin?x+6?-1 ? ?

=4cos

? x? ? ?

? 3 1 ? sin x + cos x ?-1 2 2 ?

= 3sin 2x+2cos2x-1= 3sin 2x+cos 2x
? π? =2sin?2x+6?, ? ?

所以 f(x)的最小正周期为 π.

π π π π 2π (2)因为-6≤x≤4,所以-6≤2x+6≤ 3 . π π 于是,当 2x+6=2, π 即 x=6时,f(x)取得最大值 2; π π π 当 2x+6=-6,即 x=-6时,f(x)取得最小值-1.

1.重视三角函数的“三变”:“三变”是指“变角、变名、变

式”;变角:对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊
角;变名:尽可能减少函数名称;变式:对式子变形一般要 尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、 证明问题时,一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问 题的整体形式中的差异,再选择适当的三角公式恒等变形.

2.已知和角函数值,求单角或和角的三角函数值的技巧:把已
知条件的和角进行加减或二倍角后再加减,观察是不是常数 角,只要是常数角,就可以从此入手,给这个等式两边求某 一函数值,可使所求的复杂问题简单化. 3.熟悉三角公式的整体结构,灵活变换.本节要重视公式的推 导,既要熟悉三角公式的代数结构,更要掌握公式中角和函 数名称的特征,要体会公式间的联系,掌握常见的公式变

形,倍角公式应用是重点,涉及倍角或半角的都可以利用倍
角公式及其变形.

教你审题 3——三角函数求值中的变角问题 【典例】 (2012· 江苏卷)设 α 为锐角,若
? π? sin?2α+12?的值为________. ? ? ? π? 4 [审题] 一审条件:cos?α+6?=5,α ? ? ? π? 4 cos?α+6?=5,则 ? ?

为锐角,

? π? 二审问题:sin?2α+12?=? ? ? ? π? π π π π 三找关系:2α+12=2α+3-4=2?α+6?-4,解题变得明朗 ? ?

化!

解析 ∵α 为锐角且 π ?π 2π? ∴α+6∈?6, 3 ?, ? ?
? π? 3 ∴sin?α+6?=5. ? ?

? π? 4 cos?α+6?=5, ? ?

? ? ? π? π? π? ∴sin?2α+12?=sin?2?α+6?-4? ? ? ? ? ? ?

=sin =

? π? 2?α+6?cos ? ?

? π? π π ? ? α+6 sin 4-cos 2? 4 ? ? ? π? 2? 2 ?2cos ?α+ ?-1? 6? 2? ? ?

? π? ? π? 2sin?α+6?cos?α+6?- ? ? ? ?

? 3 4 2? ?4?2 = 2×5×5- 2 ?2×?5? -1? ? ? ? ?

12 2 7 2 17 2 = 25 - 50 = 50 .

17 2 答案 50

[ 反思感悟 ] 解题的关键是找出条件中的角与结论中的角的联 系, 通过适当地拆角、 凑角来利用所给条件. 常见的变角技巧有:
? ? α+β ? β? ?α π π ?π ?α- ?-? -β?;α=(α-β)+β 等; +α= -? -α?;15° = 2? ? 2 2 4 2 ?4 ? ? ?

=45° -30° 等.

【自主体验】
? π? 1 1 已知 cos α=3,cos(α+β)=-3,且 α,β∈?0,2?,则 cos(α ? ?

-β)的值为________.

解析

? π? 1 ∵cos α=3,α∈?0,2?, ? ?

2 2 4 2 7 ∴sin α= 3 ,∴sin 2α= 9 ,cos 2α=-9. 1 2 2 又 cos(α+β)=-3,α+β∈(0,π),∴sin(α+β)= 3 . ∴cos(α-β)=cos[2α-(α+β)] =cos 2αcos(α+β)+sin 2αsin(α+β)
? 7? ? 1? 4 2 2 2 23 =?-9?×?-3?+ 9 × 3 =27. ? ? ? ?

23 答案 27


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