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2014-2015学年福建省漳州市龙海二中高二(下)期末数学试卷(理科) Word版含解析

2014-2015 学年福建省漳州市龙海二中高二(下)期末数学试卷 (理科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项符合要求的.) 1.函数 的定义域为( ) C.(﹣

A. (﹣∞,1]∪[6,+∞) B. (﹣∞,1)∪[6,+∞) 3,1)∪(2,+∞) D. [﹣3,1)∪(2,+∞) 2.已知 A. 1+2i ,其中 x,y 是实数,i 是虚数单位,则 x+yi 的共轭复数为( B. 1﹣2i C. 2+i



D. 2﹣i

3.下列有关命题的说法中,正确的是( ) 2 2 A. 命题“若 x >1,则 x>1”的否命题为“若 x >1,则 x≤1” B. 命题“若 α>β,则 tanα>tanβ”的逆否命题为真命题 2 2 C. 命题“?x∈R,使得 x +x+1<0”的否定是“?x∈R,都有 x +x+1>0” 2 D. “x>1”是“x +x﹣2>0”的充分不必要条件 4.设 A=[2,3],B=(﹣∞,a) ,若 A?B 则 a 的取值范围是( A. a≥3 B. a≥2 C. a>3 ) D. a≤2 )

5.设随机变量 ξ 服从正态分布 N(2,9) ,若 p(ξ>c+5)=P(ξ<c﹣1) ,则 c=( A. 0 B. 2 C. 3 D. 4

6.甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门,则甲、乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法 共有( ) A. 6 种 B. 12 种 C. 30 种 D. 36 种 7.下列函数 f(x)中,满足“对任意的 x1,x2∈(﹣∞,0) ,当 x1<x2 时,总有 f(x1)>f (x2)”的是( ) A. f(x)=(x+1)
2

B. f(x)=ln(x﹣1) C.

D. f(x)=e

x

8.若函数 y= ( ) A.

﹣x +1(0<x<2)的图象上任意点处切线的倾斜角为 α,则 α 的最小值是

2

B.

C.

D.

9.已知定义在 R 上的奇函数 f(x) ,设其导函数为 f′(x) ,当 x∈(﹣∞,0]时,恒有 xf′(x) <f(﹣x) ,令 F(x)=xf(x) ,则满足 F(3)>F(2x﹣1)的实数 x 的取值范围是( ) A. (﹣2,1) B. (﹣1, ) C. ( ,2) D. (﹣1,2)

10.设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 f(2+x)=f(2﹣x) ,当 x∈[﹣2,0)时,f(x) = ﹣1, 若在区间 (﹣2, 6) 内的关于 x 的方程 f (x) ﹣loga (x+2) =0 (a>0 且 a≠1) ) D. (8,+∞)

恰有 4 个不同的实数根,则实数 a 的取值范围是( A. ( ,1) B. (1,4)

C. (1,8)

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 4 分,满分 20 分) 11.若 ,则 x +y +z 的最小值为
2 2 2



12.某种产品的广告费支出 x 与销售额 y 之间有如下对应数据(单位:百万元) . x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 t 70 根据上表提供的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程为 =6.5x+17.5,则表中 t 的值 为 .

13.给出下列不等式: ,…,则按此规律可猜想第 n 个不等式为 .



14.若 a= 是 .

,则二项式

展开式中含 x 的项的系数

15.已知下列四下命题: x ①函数 f(x)=2 满足:对任意 ; ②函数 ③函数 f(x)=e ﹣e 切线斜率的最大值是﹣2;
﹣2

均是奇函数;
x

④函数 其中正确命题的序号是 .

上有零点.

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤) 16.已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点 O 处,极轴与 x 轴的正半轴重合,且长度 单位相同.直线 l 的极坐标方程为: 数 α∈[0,2π]. (Ⅰ)求点 P 轨迹的直角坐标方程; (Ⅱ)求点 P 到直线 l 距离的最大值. 17.已知 a+b=1,对?a,b∈(0,+∞) , 恒成立,求 x 的取值范围. ,点 P(2cosα,2sinα+2) ,参

18.设命题 p:函数 f(x)=lg

的定义域是 R;命题 q:不等式 3 ﹣9 <

x

x

a 对一切正实数 x 均成立. (1)如果 p 是真命题,求实数 a 的取值范围; (2)如果“p 或 q”为真命题,命题“p 且 q”为假命题,求实数 a 的取值范围. 19.甲乙两班进行消防安全知识竞赛,每班出 3 人组成甲乙两支代表队,首轮比赛每人一道 必答题, 答对则为本队得 1 分, 答错不答都得 0 分, 已知甲队 3 人每人答对的概率分别为 , , ,乙队每人答对的概率都是 .设每人回答正确与否相互之间没有影响,用 ξ 表示甲队 总得分. (Ⅰ)求随机变量 ξ 的分布列及其数学期望 E(ξ) ; (Ⅱ)求在甲队和乙队得分之和为 4 的条件下,甲队比乙队得分高的概率. 20.已知函数 f(x)=2 +k?2 ,k∈R. (1)若函数 f(x)为奇函数,求实数 k 的值. (2)若对任意的 x∈[0,+∞)都有 f(x)>2
﹣x

x

﹣x

成立,求实数 k 的取值范围.

21.已知函数 f(x)=ax﹣1﹣lnx(a∈R) . (Ⅰ)讨论函数 f(x)在定义域内的极值点的个数; (Ⅱ)若函数 f(x)在 x=1 处取得极值,对?x∈(0,+∞) ,f(x)≥bx﹣2 恒成立,求实数 b 的取值范围; (Ⅲ)当 0<x<y<e 且 x≠e 时,试比较
2

的大小.

2014-2015 学年福建省漳州市龙海二中高二(下)期末数 学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项符合要求的.) 1.函数 的定义域为( ) C.(﹣

A. (﹣∞,1]∪[6,+∞) B. (﹣∞,1)∪[6,+∞) 3,1)∪(2,+∞) D. [﹣3,1)∪(2,+∞) 考点:函数的定义域及其求法. 专题:函数的性质及应用. 分析:根据函数成立的条件即可求函数的定义域. 解答: 解:要使函数有意义,则 ,

即 x≥6 或 x<1, 故函数的定义域为(﹣∞,1)∪[6,+∞) , 故选:B 点评:本题主要考查函数的定义域的求解,要求熟练掌握常见函数成立的条件.

2.已知 A. 1+2i

,其中 x,y 是实数,i 是虚数单位,则 x+yi 的共轭复数为( B. 1﹣2i C. 2+i D. 2﹣i



考点:复数代数形式的乘除运算;复数的基本概念. 专题:计算题. 分析:由已知得出 x=(1+i) (1﹣yi) ,由复数相等的概念求出 x,y 确定出 x+yi,再得出共 轭复数 解答: 解:由已知,x=(1+i) (1﹣yi) ,计算 x=1+y+(1﹣y)i 根据复数相等的概念 ,解得 ,

x+yi=2+i,其共轭复数为 2﹣i. 故选 D. 点评:本题考查复数的基本运算,复数相等、共轭复数的概念.属于基础题. 3.下列有关命题的说法中,正确的是( ) 2 2 A. 命题“若 x >1,则 x>1”的否命题为“若 x >1,则 x≤1” B. 命题“若 α>β,则 tanα>tanβ”的逆否命题为真命题

C. 命题“?x∈R,使得 x +x+1<0”的否定是“?x∈R,都有 x +x+1>0” 2 D. “x>1”是“x +x﹣2>0”的充分不必要条件 考点:特称命题;四种命题;全称命题. 专题:应用题. 2 2 分析: 若 x >1,则 x>1 的否命题为:若 x ≤1,则 x≤1 原命题为假命题,根据互为逆否命题的真假关系相同可知逆否命题为假命题, x∈R,使得 x +x+1<0 的否定是?x∈R,都有 x +x+1≥0 2 由 x +x﹣2>0,可得 x>1 或 x<﹣2,由推出关系即可判断 2 2 解答: 解:命题“若 x >1,则 x>1”的否命题为“若 x ≤1,则 x≤1”,故 A 错误 “若 α>β, 则 tanα>tanβ”为假命题, 根据互为逆否命题的真假关系相同可知逆否命题为假命 题,故 B 错误 命题“?x∈R,使得 x +x+1<0”的否定是“?x∈R,都有 x +x+1≥0”,故 C 错误 2 2 2 x>1?x +x﹣2>0,但是 x +x﹣2>0 时,x>1 或 x<﹣2,即 x>1”是“x +x﹣2>0”的充分 不必要条件,故 D 正确 故选 D 点评:本题主要考查了命题的否定、 互为逆否命题的真假关系及特称命题的否定, 充分必要 条件的判断的应用,属于知识的综合应用 4.设 A=[2,3],B=(﹣∞,a) ,若 A?B 则 a 的取值范围是( A. a≥3 B. a≥2 C. a>3 考点:集合的包含关系判断及应用. 专题:集合. 分析:根据 A、B 的包含关系,求出 a 的范围即可. 解答: 解:A=[2,3],B=(﹣∞,a)若 A?B 则 a>3, 故选:C. 点评:本题考查了集合之间的包含关系,是一道基础题. 5.设随机变量 ξ 服从正态分布 N(2,9) ,若 p(ξ>c+5)=P(ξ<c﹣1) ,则 c=( A. 0 B. 2 C. 3 D. 4 ) ) D. a≤2
2 2 2 2

2

2

考点:正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 专题:计算题;概率与统计. 分析:随机变量 ξ 服从正态分布 N(2,9) ,得到曲线关于 x=2 对称,根据 P(ξ>c+5)=P (ξ<c﹣1) ,结合曲线的对称性得到点 c+5 与点 c﹣1 关于点 2 对称的,从而做出常数 c 的 值得到结果. 解答: 解:随机变量 ξ 服从正态分布 N(2,9) , ∴曲线关于 x=2 对称, ∵P(ξ>c+5)=P(ξ<c﹣1) , ∴c+5+c﹣1=4, ∴c=0 故选:A.

点评:本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义, 考查概率的性质, 是一个基础题. 6.甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门,则甲、乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法 共有( ) A. 6 种 B. 12 种 C. 30 种 D. 36 种 考点:排列、组合及简单计数问题. 专题:计算题;概率与统计. 分析:“至少 1 门不同”包括两种情况,两门均不同和有且只有 1 门相同,再利用分步计数原 理,即可求得结论. 解答: 解:甲、乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法可以分为两类: 1、 甲、 乙所选的课程中 2 门均不相同, 甲先从 4 门中任选 2 门, 乙选取剩下的 2 门, 有 C4 C2 =6 种. 2、甲、乙所选的课程中有且只有 1 门相同,分为 2 步:①从 4 门中先任选一门作为相同的 1 课程,有 C4 =4 种选法;②甲从剩余的 3 门中任选 1 门乙从最后剩余的 2 门中任选 1 门有 1 1 1 1 1 C3 C2 =6 种选法,由分步计数原理此时共有 C4 C3 C2 =24 种. 综上,由分类计数原理,甲、所选的课程中至少有 1 门不相同的选法共有 6+24=30 种. 故选 C. 点评:本题考查排列组合知识,合理分类、正确分步是解题的关键. 7.下列函数 f(x)中,满足“对任意的 x1,x2∈(﹣∞,0) ,当 x1<x2 时,总有 f(x1)>f (x2)”的是( ) A. f(x)=(x+1)
2 2 2

B. f(x)=ln(x﹣1) C.

D. f(x)=e

x

考点:函数单调性的判断与证明. 专题:函数的性质及应用. 分析:根据题目所给条件,说明函数 f(x)在(﹣∞,0)上应为减函数,其中选项 A 是二 次函数,C 是反比例函数,D 是指数函数,图象情况易于判断,B 是对数型的,从定义域上 就可以排除. 解答: 解:函数满足“对任意的 x1,x2∈(﹣∞,0) ,当 x1<x2 时,总有 f(x1)>f(x2)”, 说明函数在(﹣∞,1)上为减函数. 2 f(x)=(x+1) 是二次函数,其图象是开口向上的抛物线,对称轴方程为 x=﹣1,所以函 数在(﹣∞,﹣1)单调递减,在(﹣1,+∞)单调递增,不满足题意. 函数 f(x)=ln(x﹣1)的定义域为(1,+∞) ,所以函数在(﹣∞,0)无意义. 对于函数 f(x)= ,设 x1<x2<0,则 f(x1)﹣f(x2)= ,因为 x1,x2∈

(﹣∞,0) ,且 x1<x20,x2﹣x1>0,则 = 在(﹣∞,0)上为减函数. 函数 f(x)=e 在(﹣∞,+∞)上为增函数.
x

,所以 f(x1)>f(x2) ,故函数 f(x)

故选 C. 点评:本题考查了函数的单调性,解决此题的关键,是能根据题目条件断定函数为(﹣∞, 0)上的减函数.
2

8.若函数 y= ( ) A.

﹣x +1(0<x<2)的图象上任意点处切线的倾斜角为 α,则 α 的最小值是

B.

C.

D.

考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;直线的倾斜角. 分析:对函数求导 y′=x ﹣2x=(x﹣1) ﹣1,由 0<x<2 可求导数的范围,进而可求倾斜角 的范围 2 2 解答: 解:y′=x ﹣2x=(x﹣1) ﹣1 ∵0<x<2 ∴当 x=1 时,y′最小﹣1,当 x=0 或 2 时,y′=0 ∴﹣1<y′<0 即﹣1≤tanα<0 ∴ 即倾斜角的最小值
2 2

故选 D. 点评:本题考查导数的几何意义:导数在切点处的值是曲线的切线斜率. 9.已知定义在 R 上的奇函数 f(x) ,设其导函数为 f′(x) ,当 x∈(﹣∞,0]时,恒有 xf′(x) <f(﹣x) ,令 F(x)=xf(x) ,则满足 F(3)>F(2x﹣1)的实数 x 的取值范围是( ) A. (﹣2,1) B. (﹣1, ) C. ( ,2) D. (﹣1,2)

考点:函数的单调性与导数的关系;导数的运算. 专题:函数的性质及应用;导数的综合应用. 分析:根据函数的奇偶性和条件,判断函数 F(x)的单调性,利用函数的奇偶性和单调性 解不等式即可. 解答: 解:∵f(x)是奇函数, ∴不等式 xf′(x)<f(﹣x) ,等价为 xf′(x)<﹣f(x) , 即 xf′(x)+f(x)<0, ∵F(x)=xf(x) , ∴F′(x)=xf′(x)+f(x) , 即当 x∈(﹣∞,0]时,F′(x)=xf′(x)+f(x)<0,函数 F(x)为减函数, ∵f(x)是奇函数, ∴F(x)=xf(x)为偶数,且当 x>0 为增函数. 即不等式 F(3)>F(2x﹣1)等价为 F(3)>F(|2x﹣1|) , ∴|2x﹣1|<3, ∴﹣3<2x﹣1<3, 即﹣2<2x<4,

∴﹣1<x<2, 即实数 x 的取值范围是(﹣1,2) , 故选:D. 点评:本题主要考查函数单调性和导数之间的关系的应用, 根据函数的奇偶性和单调性之间 的关系,是解决本题的关键,综合考查了函数性质的应用. 10.设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 f(2+x)=f(2﹣x) ,当 x∈[﹣2,0)时,f(x) = ﹣1, 若在区间 (﹣2, 6) 内的关于 x 的方程 f (x) ﹣loga (x+2) =0 (a>0 且 a≠1) ) D. (8,+∞)

恰有 4 个不同的实数根,则实数 a 的取值范围是( A. ( ,1) B. (1,4)

C. (1,8)

考点:根的存在性及根的个数判断. 专题:计算题;作图题;函数的性质及应用. 分析:在同一直角坐标系中作出 f(x)与 h(x)=loga(x+2)在区间(﹣2,6)内的图象, 结合题意可得到关于 a 的关系式,从而得到答案. 解答: 解:∵当 x∈[﹣2,0)时,f(x)= ∴当 x∈(0,2]时,﹣x∈[﹣2,0) , ∴f(﹣x)= ∴f(x)= ﹣1= ﹣1,又 f(x)是定义在 R 上的偶函数, ﹣1,

﹣1(0<x≤2) ,又 f(2+x)=f(2﹣x) ,

∴f(x)的图象关于直线 x=2 对称,且 f(4+x)=f(﹣x)=f(x) , ∴f(x)是以 4 为周期的函数, ∵在区间(﹣2,6)内的关于 x 的方程 f(x)﹣loga(x+2)=0(a>0 且 a≠1)恰有 4 个不 同的实数根, 令 h(x)=loga(x+2) ,即 f(x)=h(x)=loga(x+2)在区间(﹣2,6)内有 4 个交点, 在同一直角坐标系中作出 f(x)与 h(x)=loga(x+2)在区间(﹣2,6)内的图象, ∴0<loga(6+2)<1, ∴a>8. 故选 D.

点评:本题考查根的存在性及根的个数判断,求得 f(x)的解析式,作出 f(x)与 h(x) =loga(x+2)在区间(﹣2,6)内的图象是关键,考查作图能力与数形结合的思想,属于难 题. 二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 4 分,满分 20 分) 11.若 ,则 x +y +z 的最小值为
2 2 2



考点:柯西不等式在函数极值中的应用. 专题:计算题. 分析:根据柯西不等式可得 此可得结论. 解答: 解: 根据柯西不等式可得 ∵ ∴x +y +z ≥ 当且仅当 故答案为: 点评:柯西不等式的特点:一边是平方和的积,而另一边为积的和的平方,因此,当欲证不 等式的一边视为“积和结构”或“平方和结构”,再结合不等式另一边的结构特点去尝试构 造.一般而言,“积和结构”或“平方和结构”越明显,则构造越容易,而对于“积和结构”或“平 方和结构”不够明显的问题,则须将原问题作适当变形,使“积和结构”或“平方和结构”明显 化,从而利用柯西不等式进行证明. 12.某种产品的广告费支出 x 与销售额 y 之间有如下对应数据(单位:百万元) . x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 t 70 根据上表提供的数据, 求出 y 关于 x 的线性回归方程为 =6.5x+17.5, 则表中 t 的值为 50 . 时,x +y +z 的最小值为
2 2 2 2 2 2

(x +y +z )≥

2

2

2

,由

(x +y +z ) ≥

2

2

2

考点:线性回归方程. 专题:计算题. 分析:计算样本中心点,根据线性回归方程恒过样本中心点,即可得到结论. 解答: 解:由题意, , =40+

∵y 关于 x 的线性回归方程为 =6.5x+17.5, ∴40+ =6.5×5+17.5 ∴40+ =50 ∴ =10 ∴t=50 故答案为:50. 点评:本题考查线性回归方程的运用,解题的关键是利用线性回归方程恒过样本中心点

13.给出下列不等式: ,…,则按此规律可猜想第 n 个不等式为 .



考点:归纳推理. 专题:计算题. 分析:观察不等式,找出不等式中最后一项的分母的通项公式,不等式右边是首项为 1,公 差为 的等差数列,从而可得到第 n 个不等式. 解答: 解:观察不等式中最后一项的分母分别是 3、7、15、31… n+1 n+1 将每个数加 1 得 4、8、16、32 可知通项为 2 则 3、7、15、31…的通项为 2 ﹣1 不等式右边是首项为 1,公差为 的等差数列, ∴按此规律可猜想第 n 个不等式为

故答案为: 点评:本题主要考查了类比推理,解题的关键找出不等式的规律,同时考查了推理能力,属 于基础题.

14.若 a=

,则二项式

展开式中含 x 的项的系数是 240 .

考点:定积分;二项式定理的应用. 分析:由定积分的运算可得 a=2, 代入由二项式定理可得的通项 Tk+1=
﹣k

x =240

3

,令 3﹣k=1,可得 k=2,可得含 x 的项系数为: =﹣cosx =2,

解答: 解:由题意可得,a=



=



其二项展开式的通项 Tk+1= = x
3﹣k

,令 3﹣k=1,可得 k=2, =240

故可得含 x 的项系数为:

故答案为:240 点评:本题考查定积分的求解和二项式定理的应用,属基础题. 15.已知下列四下命题: ①函数 f(x)=2 满足:对任意 ; ②函数 ③函数 f(x)=e ﹣e 切线斜率的最大值是﹣2; ④函数 其中正确命题的序号是 ② . 考点:命题的真假判断与应用. 专题:函数的性质及应用. 分析: ①,函数 f(x)=2 中,足:令 x1=0,x2=2,可得 f( (x1)+f(x2)]= [f(0)+f(2)]= ,可判断①;
x
﹣2

x

均是奇函数;
x

上有零点.

)=f(1)=2; [f

②,利用奇偶函的概念可判断函数 是奇函数从而可判断②; ③,利用导数的几何意义可求得函数 f(x)=e ﹣e 切线斜率,从而可判断③; ④,利用零点存在定理可判断函数
x
﹣2



x

在区间( , )上无零点. =1,显然 f( )

解答: 解:对于①,函数 f(x)=2 ,令 x1=0,x2=2,则 =f(1)=2; [f(x1)+f(x2)]= [f(0)+f(2)]= ,f( 故①错误; 对于②,函数 = 所以,f(﹣x)=﹣f(x) ,即 +

)< [f(x1)+f(x2)],

的定义域为 R,且 f(﹣x)+f(x) =log21=0, 为奇函数;

同理可得,g(﹣x)+g(x)=0,即
﹣2

是奇函数,故②正确;
x

对于③,函数 f(x)=e ﹣e 的导函数 f′(x)=﹣e <0, ﹣2 x 函数 f(x)=e ﹣e 切线斜率无最大值,故③错误 对于④,函数 0, 所以, 为 R 上的增函数, ,f′(x)= ﹣ ln = + ln4>

x

又 f( )= 0, 所以,



<0,f( )=



=





在区间( , )上无零点,故④错误.

故答案为:②. 点评:本题考查命题的真假判断与应用,着重考查函数的“凹凸”性、奇偶性,考查导数的几 何意义、函数的零点等,考查分析与运算求解能力,属于中档题. 三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤)

16.已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点 O 处,极轴与 x 轴的正半轴重合,且长度 单位相同.直线 l 的极坐标方程为: 数 α∈[0,2π]. (Ⅰ)求点 P 轨迹的直角坐标方程; (Ⅱ)求点 P 到直线 l 距离的最大值. 考点:简单曲线的极坐标方程. 专题:坐标系和参数方程. 2 2 分析: (I)利用 cos α+sin α=1 即可得出; (II)把直线 l 的极坐标化为直角坐标方程,利用点到直线的距离公式与三角函数的单调性 即可得出. 解答: 解: (Ⅰ)由点 P 的坐标可得: ∴点 P 的轨迹方程为 x +(y﹣2) =4. (Ⅱ)∵ ,∴ ,
2 2

,点 P(2cosα,2sinα+2) ,参

且参数 α∈[0,2π],

∴ρsinθ﹣ρcosθ=6, ∴直线 l 的直角坐标方程为 x﹣y+6=0.

即点 P 到直线 l 距离的最大值 . 点评:本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、 点到直线的距离公式、 三角函数的单调 性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 17.已知 a+b=1,对?a,b∈(0,+∞) ,

恒成立,求 x 的取值范围.

考点:函数恒成立问题. 专题:函数的性质及应用. 分析:根据基本不等式的性质先求出 + 的最小值,问题转化为解不等式 9≥|x﹣10|﹣|x+6|, 从而求出 x 的范围. 解答: 解:∵a>0,b>0 且 a+b=1, ∴ + =(a+b) ( + )=5+ + ≥ 9,

故 + 的最小值为 9, 因为对?a,b∈(0,+∞) ,

使

恒成立,

所以,9≥|x﹣10|﹣|x+6|, 当 x≤﹣6 时,16≤9,无解; 当﹣6<x<10 时,4﹣2x≤9, ∴﹣2.5≤x<10; 当 x≥10 时,﹣16≤9, ∴x≥10; ∴{x|x≥﹣2.5}. 点评:本题考查了基本不等式性质的应用, 考查函数恒成立问题, 考查绝对值不等式的解法, 是一道中档题.
x x

18.设命题 p:函数 f(x)=lg

的定义域是 R;命题 q:不等式 3 ﹣9 <

a 对一切正实数 x 均成立. (1)如果 p 是真命题,求实数 a 的取值范围; (2)如果“p 或 q”为真命题,命题“p 且 q”为假命题,求实数 a 的取值范围. 考点:命题的真假判断与应用. 专题:综合题. 分析: (1)由题意,若 p 是真命题,则 对任意实数都成立,由此能够

求出 p 是真命题时,实数 a 的取值范围. x x (2)若命题 q 为真命题时,则 3 ﹣9 <a 对一切正实数 x 均成立.由 ∈(﹣∞,0) ,

知 q 是真命题时,a≥0.再由 p 或 q 为真命题,命题 p 且 q 为假命题,知 能求出实数 a 的取值范围. 解答: 解: (1)由题意,若 p 是真命题, 则 对任意实数都成立,





若 a=0,显然不成立; 若 a≠0,解得 a>2 故如果 p 是真命题时, 实数 a 的取值范围是(2,+∞) (2)若命题 q 为真命题时, x x 则 3 ﹣9 <a 对一切正实数 x 均成立.

∵x>0 x ∴3 >1 x x ∴3 ﹣9 ∈(﹣∞,0)

所以如果 q 是真命题时,a≥0. 又 p 或 q 为真命题,命题 p 且 q 为假命题 所以命题 p 与 q 一真一假 ∴ 或

解得 0≤a≤2 综上所述,实数 a 的取值范围是[0,2] 点评:本题考查命题的真假判断和应用,解题时要注意公式的灵活运用. 19.甲乙两班进行消防安全知识竞赛,每班出 3 人组成甲乙两支代表队,首轮比赛每人一道 必答题, 答对则为本队得 1 分, 答错不答都得 0 分, 已知甲队 3 人每人答对的概率分别为 , , ,乙队每人答对的概率都是 .设每人回答正确与否相互之间没有影响,用 ξ 表示甲队 总得分. (Ⅰ)求随机变量 ξ 的分布列及其数学期望 E(ξ) ; (Ⅱ)求在甲队和乙队得分之和为 4 的条件下,甲队比乙队得分高的概率. 考点:条件概率与独立事件;离散型随机变量的期望与方差. 专题:概率与统计. 分析: (Ⅰ)由题设知 ξ 的可能取值为 0,1,2,3,分别求出 P(ξ=0) ,P(ξ=1) ,P(ξ=2) , P(ξ=3) ,由此能求出随机变量 ξ 的分布列和数学期望 E(ξ) . (Ⅱ)设“甲队和乙队得分之和为 4”为事件 A,“甲队比乙队得分高”为事件 B,分别求出 P (A) ,P(AB) ,再由 P(B/A)= ,能求出结果.

解答: 解: (Ⅰ)由题设知 ξ 的可能取值为 0,1,2,3, P(ξ=0)=(1﹣ ) (1﹣ ) (1﹣ )= ,

P(ξ=1)= (1﹣ ) (1﹣ )+(1﹣ )× ×(1﹣ )+(1﹣ ) (1﹣ )× = , P(ξ=2)= P(ξ=3)= = , + + = ,

∴随机变量 ξ 的分布列为: ξ 0 P 数学期望 E(ξ)=0× +1× +2×

1

2

3

+3× =



(Ⅱ)设“甲队和乙队得分之和为 4”为事件 A,“甲队比乙队得分高”为事件 B, 则 P(A) = + + = ,

P(AB)=

=



P(B|A)=

=

= .

点评:本题考查离散型随机变量的期分布列和数学期望, 考查条件概率的求法, 是历年高考 的必考题型之一,解题时要注意排列组合知识的合理运用. 20.已知函数 f(x)=2 +k?2 ,k∈R. (1)若函数 f(x)为奇函数,求实数 k 的值. (2)若对任意的 x∈[0,+∞)都有 f(x)>2
﹣x

x

﹣x

成立,求实数 k 的取值范围.

考点:函数恒成立问题. 专题:函数的性质及应用. 分析: (1)根据函数 f(x)为奇函数,建立条件关系即可求实数 k 的值. (2)若对任意的 x∈[0,+∞)都有 f(x)>2 成立,进行转化即可求实数 k 的取值范围. ﹣x x 解答: 解: (1)∵f(x)=2 +k?2 是奇函数, ∴f(0)=0, 即 1+k=0, ∴k=﹣1. (2)∵x∈[0,+∞) ,均有 f(x)>2 , ﹣x ﹣x x 2x 即 2 +k?2 >2 成立,k>1﹣2 , 2x ∴对 x≥0 恒成立,∴k>[1﹣(2 )]max. 2x ∵y=1﹣(2 )在[0,+∞)上是减函数, 2x ∴[1﹣(2 )]max=1﹣1=0,∴k>0. 点评:本题主要考查函数奇偶性的判断以及函数恒成立问题, 利用指数函数的运算性质是解 决本题的关键. 21.已知函数 f(x)=ax﹣1﹣lnx(a∈R) . (Ⅰ)讨论函数 f(x)在定义域内的极值点的个数; (Ⅱ)若函数 f(x)在 x=1 处取得极值,对?x∈(0,+∞) ,f(x)≥bx﹣2 恒成立,求实数 b 的取值范围; (Ⅲ)当 0<x<y<e 且 x≠e 时,试比较
2
﹣x ﹣x

的大小.

考点:利用导数求闭区间上函数的最值; 利用导数研究函数的单调性; 函数在某点取得极值 的条件;利用导数研究函数的极值. 专题:综合题. 分析: (Ⅰ)函数 f(x)的定义域为(0,+∞) .f′(x)=a﹣ .通过考察 f′(x)的正负 值区间判断单调区间,得出极值点情况.

(Ⅱ)a=1,f(x)≥bx﹣2 恒成立,即(1﹣b)x>lnx﹣1,将 b 分离得出,b< 令 g(x)= ,只需 b 小于等于 g(x)的最小值即可.利用导数求最小值. 在(0,e )上为减函数,g(x)>g(y) , >
2



(Ⅲ)由(Ⅱ)g(x)= > 分类求解. ,整理得

,考虑将 1﹣lnx 除到右边,为此分 1﹣lnx 正负

解答: 解:函数 f(x)的定义域为(0,+∞) .f′(x)=a﹣ . (Ⅰ)当 a≤0 时,f′(x)<0 在(0,+∞)上恒成立,函数 在(0,+∞)单调递减, ∴在(0,+∞)上没有极值点; 当 a>0 时,由 f′(x)>0 得 x> ,f′(x)<0 得 x< .f′(x)=0 得 x= . ∴在(0, )上递减,在( ,+∞)上递增,即在 x= 处有极小值. ∴当 a≤0 时在(0,+∞)上没有极值点, 当 a>0 时,在(0,+∞)上有一个极值点. (3 分) (Ⅱ)∵函数在 x= 处取得极值,∴a=1, f(x)=x﹣1﹣lnx, ∵f(x)≥bx﹣2,移项得(1﹣b)x≥lnx﹣1,再将 b 分离得出,b< = ,
2 2

,令 g(x)

则令 g′(x)=
2

,可知在(0,e )上 g′(x)<0,在(e ,+∞)上 g′(x)>0,
2

∴g(x)在 x=e 处取得极小值,也就是最小值.此时 g(e )=1﹣ 所以 b≤1﹣ .



(Ⅲ)由(Ⅱ)g(x)= 有 g(x)>g(y) , >

在(0,e )上为减函数.0<x<y<e 且 x≠e 时, ,整理得 > ①

2

2

当 0<x<e 时,1﹣lnx>0,由①得, 当 e<x<e 时,1﹣lnx<0,由①得 点评:本题考查函数与导数, 利用导数研究函数的单调性, 极值, 并利用单调性比较大小. 考 查了分类讨论、构造、推理计算能力.
2


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