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导数应用:含参函数的单调性讨论(二)


导数应用:含参函数的单调性讨论(二)
对函数(可求导函数)的单调性讨论可归结为对相应导函数在何处正何处负的讨论,若有多 个讨论点时, 要注意讨论层次与顺序, 一般先根据参数对导函数类型进行分类, 从简单到复杂。

一、典型例题
例 1、已知函数 f ( x) ? ax3 ? 3x2 ? 3x ? 1, a ? R ,讨论函数 f ( x) 的单调性. 分析:讨论单调性就是确定函数在何区间上单调递增,在何区间单调递减。而确定函数的 增区间就是确定 f ' ( x) ? 0 的解区间;确定函数的减区间就是确定 f ' ( x) ? 0 的解区间;讨论 单调性与讨论不等式的解区间相应。 解: 因为 f ( x) ? ax3 ? 3x2 ? 3x ? 1, a ? R , 所以 f / ( x) ? 3(ax2 ? 2 x ? 1)

1 1 , 时, f / ( x) ? 0 ;当 x ? ? , 时, f / ( x) ? 0 ; 2 2 1 1 所以函数 f ( x ) 在 (??, ? ] 上单调递增,在 [? , ??) 上单调递减; 2 2 / 2 (2) 当 a ? 0 时, f ( x) ? 3(ax ? 2 x ? 1) 的图像开口向上, ? ? 36(1 ? a)
(1) 当 a ? 0 时, f / ( x) ? 3(2 x ? 1) ,当 x ? ? I) 当 a ? 1时,? ? 36(1 ? a) ? 0, 时, f / ( x) ? 0 ,所以函数 f ( x ) 在 R 上递增; II) 当 0 ? a ? 1时,? ? 36(1 ? a) ? 0, 时,方程 f / ( x) ? 0 的两个根分别为

?1 ? 1 ? a ?1 ? 1 ? a , x2 ? , 且 x1 ? x2 , a a ?1 ? 1 ? a ?1 ? 1 ? a 所以函数 f ( x ) 在 (??, ),( , ??) 上单调递增, a a ?1 ? 1 ? a ?1 ? 1 ? a 在( , ) 上单调递减; a a (3) 当 a ? 0 时, f / ( x) ? 3(ax2 ? 2 x ? 1) 的图像开口向下,且 ? ? 36(1 ? a) ? 0 x1 ? ?1 ? 1 ? a ?1 ? 1 ? a , x2 ? , 且 x1 ? x2 , a a ?1 ? 1 ? a ?1 ? 1 ? a 所以函数 f ( x ) 在 (??, ) ,( , ??) 上单调递减, a a ?1 ? 1 ? a ?1 ? 1 ? a 在( , ) 上单调递增。 a a ?1 ? 1 ? a ?1 ? 1 ? a , ) 上单调递增, 综上所述,当 a ? 0 时,所以函数 f ( x ) 在 ( a a ?1 ? 1 ? a ?1 ? 1 ? a 在 (??, ) ,( , ??) 上单调递减; a a 1 1 当 a ? 0 时, f ( x ) 在 (??, ? ] 上单调递增,在 [? , ??) 上单调递减; 2 2 ?1 ? 1 ? a ?1 ? 1 ? a ) ,( , ??) 上单调递增, 当 0 ? a ? 1时 ,所以函数 f ( x ) 在 (??, a a ?1 ? 1 ? a ?1 ? 1 ? a , ) 上单调递减; 在( a a 当 a ? 1时 ,函数 f ( x ) 在 R 上递增;
方程 f ( x) ? 0 的两个根分别为 x1 ?
/

小结: 导函数为二次型的一股先根据二次项系数分三种情况讨论(先讨论其为 0 情形) , 然后讨论判别式(先讨论判别式为负或为 0 的情形,对应导函数只有一种符号,原函数在定义 域上为单调的) ,判别式为正的情况下还要确定两根的大小(若不能确定的要进行一步讨论) , 最后根据导函数正负确定原函数相应单调性,记得写出综述结论。
1

例 2. (2010 山东理数改编) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? 解:因为 f ( x) ? ln x ? ax ? 所以 f ( x) ?
'

1? a ? 1 (a ? R ) .讨论 f ( x) 的单调性; x

1? a ? 1 的定义域为 (0,??) x

1 a ? 1 ax 2 ? x ? 1 ? a ?a? 2 ? x ? (0, ??) , x x x2



h( x) ? ax2 ? x ? 1 ? a, x ? (0, ??) ,则 f ' ( x)与g ( x) 同号

法一:根据熟知二次函数性质可知 g(x)的正负符号与开口有关,因此可先分类型讨论:

① 当 a<0 时,由于

1 ? 1<0 <1, h( x) 开口向下,结合其图象易知 a

x ? (0,1) , h( x)>0 ,此时 f ' ( x)<0 ,函数 f ( x) 单调递减; x ? (1, ??) 时, h( x)<0 ,此时 f ' ( x)>0 ,函数 f ( x) 单调递增.
②当 a ? 0 时, h( x) 开口向上,但 x2 是否在定义域需要讨论: 因

1 ? 1 ? 0 ? a ? 0或a ? 1 所以 a
1 ? 1<0 <1, h( x) 开口向上,结合其图象易知 a

i) 当 a ? 1 时,由于

x ? (0,1) , h( x)<0 ,此时 f ' ( x)>0 ,函数 f ( x) 单调递增. x ? (1, ??) 时, h( x)>0 ,此时 f ' ( x)<0 ,函数 f ( x) 单调递减;
ii)当 0 ? a ? 1 时,g(x)开口向上且 x1 , x2 ? (0,??) ,但两根大小需要讨论: a) 当 a ?

1 时, x1 ? x2, h( x) ≥ 0 恒成立, 2

' (0,+?) 此时 f ( x)≤0 ,函数 f ( x ) 在 上单调递减;

1>0 ,g(x)开口向上且在(0, ? ? )有两根 b) 当 0<a< 时, ? 1>
x ? (0,1) 时, h( x)>0 ,此时 f ' ( x)<0 ,函数 f ( x) 单调递减;
2

1 2

1 a

1 x ? (1, ? 1) 时 h( x)<0 ,此时 f ' ( x)>0 ,函数 f ( x) 单调递增; a 1 x ? ( ? 1, ?? ) 时, h( x)>0 ,此时 f ' ( x)<0 ,函数 f ( x) 单调递减; a
c) 当

1 1 ? a ? 1 时, 0 ? ? 1 ? 1 ,g(x)开口向上且在(0, ? ? )有两根 2 a x ? (0, 1 ? 1) 时, h( x)>0 ,此时 f ' ( x)<0 ,函数 f ( x) 单调递减; a

1 x ? ( ? 1,1) 时 h( x)<0 ,此时 f ' ( x)>0 ,函数 f ( x) 单调递增; a

x ? (1,??) 时, h( x)>0 ,此时 f ' ( x)<0 ,函数 f ( x) 单调递减;
小结: 此法是把单调区间讨论化归为导函数符号讨论,而确定导函数符号的分子是常见二次型 的,一般要先讨论二次项系数,确定类型及开口;然后由于定义域限制讨论其根是否在定义域 内,再讨论两根大小注,结合 g(x)的图象确定其在相应区间的符号,得出导函数符号。讨论 要点与解含参不等式的讨论相应。 法二:



1 ? 1 ? 0 ? a ? 0或a ? 1 a
i)当 a<0 时,由于

1 ? 1<0 <1, h( x) 开口向下,结合其图象易知 a

x ? (0,1) , h( x)>0 ,此时 f ' ( x)<0 ,函数 f ( x) 单调递减; x ? (1, ??) 时, h( x)<0 ,此时 f ' ( x)>0 ,函数 f ( x) 单调递增.
ii)当 a ? 1 时,由于

1 ? 1<0 <1, h( x) 开口向上,结合其图象易知 a

x ? (0,1) , h( x)<0 ,此时 f ' ( x)>0 ,函数 f ( x) 单调递增. x ? (1, ??) 时, h( x)>0 ,此时 f ' ( x)<0 ,函数 f ( x) 单调递减;

3



1 ? 1 ? 0 ? 0 ? a ? 1 时 g(x)开口向上且 x1 , x2 ? (0,??) a
i)当 a ?

1 时, x1 ? x2, h( x)≥ 0 恒成立, 2

(0,+?) 此时 f ' ( x)≤0 ,函数 f ( x ) 在 上单调递减;

1>0 ,g(x)开口向上且在(0, ? ? )有两根 ii)当 0<a< 时, ? 1>

1 2

1 a

x ? (0,1) 时, h( x)>0 ,此时 f ' ( x)<0 ,函数 f ( x) 单调递减;
1 x ? (1, ? 1) 时 h( x)<0 ,此时 f ' ( x)>0 ,函数 f ( x) 单调递增; a 1 x ? ( ? 1, ?? ) 时, h( x)>0 ,此时 f ' ( x)<0 ,函数 f ( x) 单调递减; a
iii) 当

1 1 ? a ? 1 时, 0 ? ? 1 ? 1 ,g(x)开口向上且在(0, ? ? )有两根 2 a x ? (0, 1 ? 1) 时, h( x)>0 ,此时 f ' ( x)<0 ,函数 f ( x) 单调递减; a

1 x ? ( ? 1,1) 时 h( x)<0 ,此时 f ' ( x)>0 ,函数 f ( x) 单调递增; a

x ? (1,??) 时, h( x)>0 ,此时 f ' ( x)<0 ,函数 f ( x) 单调递减;

小结:
单调性讨论化归为讨论导函数符号的问题, 多数导数是连续函数, 其正负所以区间可由其 根划分,所以可根据相应导函数的零点个数(从少到多)分类,先讨论零点可能没意义的(如 分母或偶次根等含参数,要先讨论分母是否为零,被开方式是否非负) ,然后讨论解出的根是 否为增根(解方程时由于去分母,去根号,去对数符号时导致范围扩大而得出根,要讨论其是 否在定义域内) ,再对有多个零点的讨论其大小,最后由导数的根将定义域划分为若干区间并 结合导函数图象确定相应区间上确定导函数的正负 (不能确定的再讨论何时正何时负) 而得到 相应单调性质。最后确记要综合讨论情况,写出综上所述结论。 函数问题一定要注意先确定定义域,单调区间是定义域的子集。 为讨论导函数的根及导函数的符号情况, 一般能因式分解的要先分解 (包括分式先通分) 。 例 2. (2011 年广东卷文 19 题)
2 设 a ? 0 ,讨论函数 f ( x) ? ln x ? a(1 ? a) x ? 2(1 ? a) x 的单调性.

解:函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??)

f ?( x) ?

1 2a(1 ? a) x 2 ? 2(1 ? a) x ? 1 ? 2a(1 ? a) x ? 2(1 ? a) ? (x>0) x x

4

令 g ( x) ? 2a(1 ? a) x2 ? 2(1 ? a) x ? 1,则 f ' ( x ) 与 g ( x) 同号 (1)当 a ? 1 时, g ( x) ? 1, f ' ( x) ?

1 ? 0, f ( x) ? ln x 在定义域 (0,??) 上为增函数 x

(2) 当 a ? 1 时, ? ? 4(1 ? a)2 ? 8a(1 ? a) ? 12a2 ?16a ? 4 ? 4(3a ?1)(a ?1) ? 当? ? 0 ?

1 ? a ? 1 时,g(x)开口向上,图象在 x 轴上方,所以 g ( x) ? 0 3

所以 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增 ? 当

??0?

1 a ? 或a ? 1 3

,







f ?( x ?)

0 ,





x1 ?

1? a ? ? 1? a ? ? , x2 ? 2a(1 ? a) 2a(1 ? a)

由于 2a(1 ? a) ? 0 ? 0 ? a ? 1 ? g ( x)开口向上且 0 ? x1 ? x2 , 因此可进一步分类讨论如下: i) 当 a ? 1 时, 2a(1 ? a) ? 0 ? g ( x)开口向下,x
2

? 0 ? x1

∵ x ? 0 , f ?( x) ? 0 ? 0 ? x ? x1 ; f ?( x) ? 0 ? x ? x1 则 f ( x ) 在 (0,

1 ? a ? (3a ? 1)(a ? 1) ) 上单调递增, 2a(1 ? a)

在(

1 ? a ? (3a ? 1)(a ? 1) , ??) 上单调递减 2a(1 ? a)
1 时, f ?( x) ? 0 ? 0 ? x ? x1 或 x ? x2 ; f ?( x) ? 0 ? x1 ? x ? x2 3

ii)当 0 ? a ?

则 f ( x ) 在 (0, 增, 在(

1 ? a ? (3a ? 1)(a ? 1) 1 ? a ? (3a ? 1)(a ? 1) ),( , ??) 上单调递 2a(1 ? a) 2a(1 ? a)

1 ? a ? (3a ? 1)(a ? 1) 1 ? a ? (3a ? 1)(a ? 1) , ) 上单调递减 2a(1 ? a) 2a(1 ? a)
a ?1

综上所述,f(x)的单调区间根据参数 a 讨论情况如下表:

0?a?

1 3

1 ? a ?1 3

(0, x1 )
增 (其中 x1 ?

( x1 , x2 )


( x2 , ??)


(0, ??)


(0, x1 )


( x1, ??)


(a ? 1)(3a ? 1) (a ? 1)(3a ? 1) 1 1 ) ? , x2 ? ? 2a 2a(1 ? a ) 2a 2a(1 ? a )

5

小结:
求单调区间要确定定义域,确定导函数符号的关键是看分子相应函数,因此讨论点有: 第一是类型(一次与二次的根个数显然不同);第二有没有根(二次的看判别式) ,第三是有根 是否为增根(在不在定义根内;第四有根的确定谁大;第五看区间内导函数的正负号(二次 函数要看开口) 。确记要数形结合,多数考题不会全部讨论点都要讨论的,题中往往有特别条 件,不少讨论点会同时确定(即知一个就同时确定另一个) 。判别式与开口的讨论点先谁都可 以,但从简单优先原则下可先根据判别式讨论,因为当导函数无根时它只有一种符号,相应原 函数在定义域内(每个连续的区间)为单调函数较简单。

二、巩固作业:
1. 已知函数 f ( x ) ? ln x ?

a . ,求 f ( x) 的单调区间. x

+?),f ? ? x ? ? 解: 函数的定义域为(0,

1 a x?a ? ? 2 , x x2 x

令f ' ? x? ? 0得: x? ? a
? ? x? 若 ? a ?0即 a ?0 ,则 f ? f ?0 , ? ? f x ?在 ( 0 ,?上单调递增; ?) ? ? x? ? 0 若 ? a ? 0即 a? 0 ,则由 f 得x>-a 由 , ?f? x ? ? 得 0x<-a

? x? 在(?

a ,?? 上单调递增 ) ,在 ? 0,-a ? 上单调递减.

总之,当a ? 0时,f ? x , ?上单调递增; ) ?在 ( 0? 当a ? 0时, f? x 上单调递增 ) ,在 ? 0,-a ? 上单调递减. ? 在 (? a, ? ?
1 2 x -ax+(a-1) ln x ,讨论函数 f ( x ) 的单调性,求出其单调区间。 2

2.已知函数 f(x)=

解: f ( x ) 的定义域为 (0, ??) .

a ? 1 x 2 ? ax ? a ? 1 ( x ? 1)( x ? 1 ? a) ? x ? 1? ? ? x ? ? a ? 1? ? ? f ( x) ? x ? a ? ? ? = x x x x
'

令f ' ? x ? ? 0得:x1 ? 1, x2 ? a ?1
(1) 若a ? 1 ? 0即a ? 1 时,f ' ( x) ? 0 ? x ? 1; f ' ( x) ? 0 ? 0 ? x ? 1

? 此时f ( x)在(1,??)单调递增 , 在(0,1)单调递减
时, (2) 若a ? 1 ? 0即a ? 1
' ①若 a ? 1 ? 1 即 a ? 2 时, f ( x) ?

( x ? 1) 2 >0, 故 f ( x ) 在 (0, ??) 单调递增. x

②若 0< a ? 1 ? 1 ,即 1 ? a ? 2 时,
' ' 由 f ( x) ? 0 得, a ? 1 ? x ? 1 ;由 f ( x) ? 0 得, 0 ? x ? a ? 1或x ? 1

故 f ( x ) 在 (a ? 1,1) 单调递减,在 (0, a ? 1), (1, ??) 单调递增.
6

③若 a ? 1 ? 1 ,即 a ? 2 时, 由 f ' ( x) ? 0 得, 1 ? x ? a ? 1 ;由 f ' ( x) ? 0 得, 0 ? x ? 1或x ? a ? 1 故 f ( x ) 在 (1, a ? 1) 单调递减,在 (0,1), (a ? 1, ??) 单调递增. 综上所述,当 a ? 1 , f ( x ) 单调增区为 (1,??) ,减区间是 (0,1) ; 当 1 ? a ? 2 时, f ( x ) 的减区间是 (a ? 1,1) ,增区间是 (0, a ? 1), (1, ??) ; 当 a ? 2 时, f ( x ) 在定义域上递增,单调增区为 (0, ??) (不存在减区间); 当 a ? 2 时, f ( x ) 的减区间是 (1, a ? 1) ,在增区间是 (0,1), (a ? 1, ??) . 3. 已知函数 f ( x )= ln (1+ x )- x + x ( k ≥0),求 f ( x )的单调区间. 解: x ? (?1, ??) , f '( x) ?
2

1? k x(kx ? k ? 1) ' , ? k ? 0? . 令f ? x ? ? 0得:x1 ? 0, x2 ? 1? x k
x . 1? x

(1) 当 k ? 0 时, f '( x) ? ?

所以,在区间 (?1, 0) 上, f '( x) ? 0 ;在区间 (0, ??) 上, f '( x) ? 0 . 故 f ( x ) 的单调递增区间是 (?1, 0) ,单调递减区间是 (0, ??) . (2)当 x2 ? ?1即

1? k ? ?1时,考虑到k>0得,无解 . k

(3)当 x2 ? x1 即 k ? 1 时, f '( x) ? (4)当 x2 ? x1 即 0 ? k ? 1 (
' 由 f ( x) ? 0 得, 0 ? x ?

x2 ?0 1? x

故 f ( x ) 的单调递增区间是 (?1, ??) .

k ? 0 )时,

1? k 1? k ' ;由 f ( x) ? 0 得, ?1 ? x ? 0或x ? k k
1? k 1? k , ?? ) ,单调递减区间是 (0, ). k k

故 f ( x ) 的单调递增区间是 (?1, 0) 和 ( (5)当 x2 ? x1 即 k ? 1 ( 由 f ( x) ? 0 得,
'

k ? 0 )时,

1? k 1? k ? x ? 0 ;由 f ' ( x) ? 0 得, ?1 ? x ? 或x ? 0 k k
1? k 1? k ) 和 (0, ??) ,单调递减区间是 ( , 0) . k k

故 f ( x ) 的单调递增区间是 ( ?1,

综上知: 当 k ? 0 时, f ( x ) 得单调递增区间是 (?1, 0) ,单调递减区间是 (0, ??) ; 当 k ? 1 时, f ( x ) 的单调递增区间是 (?1, ??) ; 当 0 ? k ? 1 时, f ( x ) 的单调递增区间是 (?1, 0) 和 ( 当 k ? 1 时, f ( x ) 的单调递增区间是 ( ?1,

1? k 1? k , ?? ) ,单调递减区间是 (0, ) k k

1? k 1? k ) 和 (0, ??) ,单调递减区间是 ( , 0) . k k

7


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