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高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦余弦和正切公式3.1.1两角差的余弦公式互动课堂学案

教案、学案、试题、试卷、复习资料 3.1.1 两角差的余弦公式 互动课堂 疏导引导 1.两角差的余弦公式 下面我们从两方面对两角差的余弦公式进行证明. (1)利用单位圆上的三角函数线探究 如图 3-1-1 甲,设角 α 的终边与单位圆的交点为 P1,∠POP1=β ,则∠POx=α -β .过点 P 作 PM 垂直于 x 轴,垂足为 M,那么 OM 就是 α -β 的余弦线.这里就是要用角 α 、β 的正弦线、余弦线来表示 OM. 过点 P 作 PA 垂直于 OP1,垂足为 A,过点 A 作 AB 垂直于 x 轴,垂足为 B.过点 P 作 PC 垂直于 AB,垂足 为 C. 那 么 OA 表 示 cosβ ,AP 表 示 sinβ , 并 且 ∠PAC=∠P1Ox=α , 于 是 OM=OB+BM=OB+CP=OAcosα +APsinα =cosβ ·cosα +sinβ ·sinα . 以上结果虽然是在 α 、β 、α -β 都是锐角的情况下推导出来的,但是可以推广到对任意角 α 、β 都成立(如图 3-1-1 乙). 甲 图 3-1-1 (2)运用向量的知识进行探究 乙 图 3-1-2 如图 3-1-2,设 α 、β 的终边分别与单位圆交于点 P1(cosα ,sinα ),P2(cosβ ,sinβ ),由于余 弦函数是周期为 2π 的偶函数,所以我们只考虑 0≤α -β <π 的情况. 设向量 a= OP 1 =(cosα ,sinα ), b= OP 2 =(cosβ ,sinβ ), 则 a·b=|a||b|·cos(α -β )=cos(α -β ). 另一方面,由向量数量积的坐标表示, 有 a·b=cosα cosβ +sinα sinβ , ∴cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ ,(Cα -β ) 于是,对于任意的 α 、β ,都有上述式子成立. 2.对两角差的余弦公式的理解与记忆 (1)上述公式中的 α 、β 都是任意角. (2)公式右端的两部分为同名三角函数之积,连接符号与左边的连接符号相反. (3)要注意差角的相对性,掌握角的变化技巧.如 α =(α +β )-β ,α =(α -β )+β . 活学巧用 教案、学案、试题、试卷、复习资料 1.利用两角差的余弦公式证明: (1)cos(π -α )=-cosα ; (2)cos( 3? -α )=-sinα . 2 证明:(1)cos(π -α )=cosπ cosα +sinπ sinα =-cosα +0·sinα =-cosα . 3? 3? 3? -α )=cos cosα +sin sinα =0·cosα -sinα =-sinα . 2 2 2 12 3 2.已知 sinα = ,cosβ = ? ,α 、β 均为第二象限角,求 cos(α -β ). 13 5 12 解析:由 sinα = ,α 为第二象限角, 13 (2)cos( ∴cosα = ? 1 ? sin 又由 cosβ =2 ? ? ? 1? ( 12 2 5 ) ?? . 13 13 3 ,β 为第二象限角, 5 2 ∴sinβ = 1 ? cos ? ? 1 ? (? ) 2 ? . 3 5 4 5 ∴cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ 5 3 12 4 63 )×( ? )+ × = . 13 5 13 5 65 3 ? 3.已知 tanα =- ,π <α <2π ,求 cos( -α ). 4 4 3 解析:由 tanα =- <0,π <α <2π , 4 3? ∴ <α <2π . 2 1 16 3? 4 2 2 由 1+tan α = ,得 cos α = .∵ <α <2π ,∴cosα = . 2 25 2 5 cos ? =(由 sinα = ? 1 ? cos ∴cos( 2 ? ? ? 1 ? ( )2 ? ? , 4 5 3 5 ? ? ? -α )=cos cosα +sin sinα 4 4 4 = 3 2 4 2 2 × + ×( ? )= . 5 2 5 10 2 ? 3? 12 3 <β <α < ,cos(α -β )= ,sin(α +β )= ? ,求 cos2β . 4 2 13 5 ? 3? 解析:∵ <β <α < , 4 2 ? 3? ∴0<α -β < ,π <α +β < . 2 4 4.已知 ∴sin(α -β )= 1 ? cos (? ? ? ) ? 1 ? ( 2 12 2 5 ) ? , 13 13 教案、学案、试题、试卷、复习资料 cos(α +β )= ? 1 ? sin (? ? ? ) ? ? 1 ? (? ) ? ? 2 2 3 5 4 , 5 cos2β =cos [ (α +β )-(α -β ) ] =cos(α +β )cos(α -β )+sin(α +β )sin(α -β )=- 4 12 3 5 63 × +( ? )× =. 5 13 5 13 65

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