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yabo8701.com:2016_2017学年高中数学第一章集合与函数概念1.3.2奇偶性课件新人教版必修1_图文

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1.3.2 奇偶性 目标定位 1. 结合具体函数,理解函数奇偶性的含义, 会判断简单函数的奇偶性 .2. 了解奇 ( 偶 ) 函数图象的对 称性,会利用函数的奇偶性解决一些简单问题. 自 主 预 习 1.函数奇偶性的概念 任意 一个x, (1)偶函数:如果对于函数f(x)的定义域内_____ f(-x)=f(x) ,那么函数f(x)就叫做偶函数. 都有____________ 任意 一个x, (2)奇函数:如果对于函数f(x)的定义域内_____ f(-x)=-f(x) ,那么函数f(x)就叫做奇函数. 都有_____________ 如果函数 f(x) 是奇函数或偶函数,我们就说函数 f(x) 具 奇偶性 有_______. 温馨提示:注意函数奇偶性定义中 x 的任意性,不能认为 某个(或某些)x使定义中的等式成立,这个函数就是奇函数 或偶函数. 2.奇偶函数的图象对称性 原点 对称 .反过来,若一个函数 (1) 奇函数的图象关于 _____ 奇函数 的图象关于原点 ____对称,那么这个函数是_______. y轴 对称.反过来,若一个函数的 (2)偶函数的图象关于____ y轴 对称,那么这个函数是偶函数. 图象关于_____ 3.奇偶性与单调性 (1)奇函数在区间[a,b]和[-b,-a](b>a>0)上有相同的单调性. (2)偶函数在区间[a,b]和[-b,-a](b>a>0)上有相反的单调性. 即 时 自 测 1.思考判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)f(x)=0 既是奇函数又是偶函数.( ) (2)若函数 y=f(x)满足 f(x)-f(-x)=0,则 y=f(x)是偶函 数; 若函数 y=f(x)满足 f(x)+f(-x)=0, 则 y=f(x)是奇函 数.( ) (3)对于定义在 R 上的函数 f(x),若 f(-2)=f(2),则函数 f(x)一定是偶函数.( ) 提示 (1)错,f(x)=0 在定义域需关于原点对称的情况下既是奇 函数又是偶函数.既是奇函数又是偶函数的函数有无数多个,它 们为 f(x)=0 且其定义域是关于原点对称的非空数集. (2)对,因为 y=f(x)是偶函数?f(-x)=f(x)?f(x)-f(-x)=0;y =f(x)是奇函数?f(-x)=-f(x)?f(x)+f(-x)=0. (3)错,仅有 f(-2)=f(2),不足以确定函数的奇偶性,不满足定 义中的“任意”,故不一定是偶函数. 答案 (1)× (2)√ (3)× 2.函数f(x)=x3(x∈(-2,2])的奇偶性为( A.奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 ) B.偶函数 D.非奇非偶函数 解析 函数f(x)=x3(x∈(-2,2])的定义域不关于原点对称, 所以该函数为非奇非偶函数. 答案 D 3.下列函数中,既是奇函数又在(0,+∞)上是增函数的 为( ) B.y=x|x| D.y=-x3 A.y=x+1 1 C.y=x 解析 由函数的奇偶性排除A,由函数的单调性排除C、 D,由y =x|x|的图象可知当 x>0时此函数为增函数,又 该函数为奇函数. 答案 B 4.若函数f(x)=ax2+2在[3-a,5]上是偶函数,则a=________. 解析 由题意可知3-a=-5,∴a=8. 答案 8 类型一 函数奇偶性的判断 【例 1】 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)= x-2+ 2-x; 1-x2 (2)f(x)= ; |x+2|-2 ? ?x+1,x>0, (3)f(x)=? ? ?-x+1,x<0. 解 (1)f(x)的定义域为{2},不关于原点对称, ∴f(x)= x-2+ 2-x既不是奇函数,也不是偶函数. (2)由 1-x2≥0,得-1≤x≤1.由|x+2|-2≠0,得 x≠0 且 x≠-4. 故函数 f(x)的定义域是[-1,0)∪(0,1],关于原点对称. 1-x2 1-x2 当 x∈[-1,0)∪(0,1]时,x+2>0,则 f(x)= = x . |x+2|-2 1-(-x)2 1-x2 ∵f(-x)= =- x =-f(x), -x 1-x2 ∴f(x)= 是奇函数. |x+2|-2 (3)f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称. 当 x>0 时, -x<0, f(-x)=1-(-x)=1+x=f(x); 当 x<0 时, -x>0, f(-x)=1+(-x)=1-x=f(x).综上可知,对于 x∈(-∞,0)∪(0, +∞),都有 f(-x)=f(x),f(x)为偶函数. 规律方法 1. 用定义判断函数奇偶性的步骤:①先求 定义域,看是否关于原点对称;②若定义域关于原点 对称,再判断f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)是否恒成立. 2.若已知函数的图象或可以作出函数的图象,则观察 图象是否关于原点或y轴对称,依此判断函数的奇偶性. 【训练 1】判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=3-2|x|; (2)f(x)= x2-1+ 1-x2; 2x (3)f(x)= . x-3 解 (1)∵函数 f(x)的定义域为 R,关于原点对称, 又 f(-x)=3-2|-x|=3-2|x|=f(x), ∴f(x)为偶函数. (2)函数 f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称, 且 f(x)=0,又∵f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x), ∴f(x)既是奇函数又是偶函数. (3)函数 f(x)的定义域为{x|x≠3},不关于原点对称. ∴f(x)是非奇非偶函数. 类型二 奇偶函数的图象问题 【例 2】已知奇函数 f(x)的定义域为[-5,5], 且在区间[0,5]上的图象如图所示,则使函 数值 y<0 的 x 的取值集合为________. 解析 因为函数 f(x)是奇函数,所以 y=f(x)在 [-5, 5]上的图象关于原点对称

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