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【步步高】(全国通用)2016版高考数学 考前三个月复习冲刺 压轴大题突破练1 直线与圆锥曲线(一 )理

【步步高】 (全国通用)2016 版高考数学复习 考前三个月 压轴大题 突破练 1 直线与圆锥曲线(一 )理
1.已知圆 F1:(x+1) +y =16 及点 F2(1,0),在圆 F1 任取一点 M,连接 MF2 并延长交圆 F1 于 点 N,连接 F1N,过 F2 作 F2P∥MF1 交 NF1 于 P,如图所示.
2 2

(1)求点 P 的轨迹方程; 1 1 (2)从 F2 点引一条直线 l 交轨迹 P 于 A,B 两点,变化直线 l,试探究 + 是否为定 |F2A| |F2B| 值.

2.已知以 C 为圆心的动圆过定点 A(-3,0),且与圆 B:(x-3) +y =64(B 为圆心)相切,点

2

2

C 轨迹为曲线 T.设 Q 为曲线 T 上(不在 x 轴上)的动点, 过点 A 作 OQ(O 为坐标原点)的平行线
交曲线 T 于 M,N 两个点.

1

(1)求曲线 T 的方程; → → →2 (2)是否存在常数 λ ,使AM·AN=λ OQ 总成立?若存在,求 λ ;若不存在,说明理由.

3.已知椭圆 C 的中心在坐标原点,右焦点为 F( 7,0),A,B 是椭圆 C 的左、右顶点,D 是 椭圆 C 上异于 A,B 的动点,且△ADB 面积的最大值为 12. (1)求椭圆 C 的方程; (2)求证:当点 P(x0,y0)在椭圆 C 上运动时,直线 l:x0x+y0y=2 与圆 O:x +y =1 恒有两 个交点,并求直线 l 被圆 O 所截得的弦长 L 的取值范围.
2 2

2

4.已知抛物线 C:y =2px (p>0),点 A,B 在抛物线 C 上. (1)若直线 AB 过点(2p,0),且|AB|=4p,求过 A,B,O(O 为坐标原点)三点的圆的方程; π (2)设直线 OA,OB 的倾斜角分别为 α ,β ,且 α +β = ,问直线 AB 是否会过某一定点? 4 若是,求出这一定点的坐标;若不是,请说明理由.

2

3

答案精析 压轴大题突破练 1 1.解 (1)∵F2P∥MF1, ∴

PF2 PN PF2 4-PF1 = ? = ? PF1+PF2=4>F1F2=2, MF1 F1N 4 4 x2 y2

∴点 P 的轨迹是以 F1,F2 为焦点,长轴长 2a=4 的椭圆,其轨迹方程为 + =1. 4 3 (2)①若 lAB 的斜率存在时,设 lAB 为:y=k(x-1), 联立 + =1,可得:(3+4k )x -8k x+4k -12=0, 4 3 不妨设 A(x1,y1),B(x2,y2) (x2<1<x1),

x2 y2

2

2

2

2

? ? 则? 4k -12 ? ?x x = 3+4k ,
2 1 2 2

8k x1+x2= 2, 3+4k

2



1 1 1 1 + = + 2 2 |F2A| |F2B| 1+k |x1-1| 1+k |x2-1|



? 1 + 1 ? ? ? 1+k ?x1-1 1-x2?
1
2



? 1-x2+x1-1 ? ? ? 1+k ??x1-1??1-x2??
1
2



x1-x2 ? ? ??x1+x2?-x1·x2-1? ? ? 1+k
1
2



? ?x1+x2?2-4x1·x2? ? 2? 1+k ??x1+x2?-x1·x2-1 ?
1



? 1 ? 1+k ? ?
2 2

8k 4k -12 2- 2 -1 3+4k 3+4k
2 2

? 8k 2?2-4×4k -12? ?3+4k ? 2 3+4k ? ? ?
2 2 2 2

? ?



?12 1+k ? 1 ? 3+4k ? 12 4 = = . 9 1+k ? ? 9 3 ? 3+4k ?
2

? 3? ②若 lAB 的斜率不存在时,此时 lAB:x=1,则 A?1, ?, ? 2?
B?1,- ?,此时 2

? ?

3?

?

1 1 2 2 4 + = + = . |F2A| |F2B| 3 3 3 1 4 + 为定值 . |F2A| |F2B| 3
4

综上可知,变化直线 l,则

1

2.解 (1)∵A(-3,0)在圆 B 的内部,∴两圆相内切, ∴|BC|=8-|AC|,即|BC|+|AC|=8>|AB|. ∴C 点的轨迹是以 A,B 为焦点的椭圆,且长轴长 2a=8,a=4,c=3. ∴b =16-9=7, ∴曲线 T 的方程为 + =1. 16 7 → → 7 →2 (2)当直线 MN 斜率不存在时,|AN|=|AM|= ,OQ =7. 4 7 → → → → ∴AM·AN=|AM|·|AN|·cos π =7λ ,则 λ =- ; 16 当直线 MN 斜率存在时,设 M(x1,y1),N(x2,y2),
2

x2

y2

MN:y=k(x+3),则 OQ:y=kx,
? ?7x +16y =112, 由? ?y=k?x+3?, ?
2 2

得(7+16k )x +96k x+144k -112=0, -96k 144k -112 则 x1+x2= 2,x1·x2= 2 , 7+16k 7+16k ∴y1y2=k [(x1+3)(x2+3)] -49k =k [x1x2+3(x1+x2)+9]= 2. 7+16k
2 2 2 2 2

2

2

2

2

-49?k +1? → → AM·AN=(x1+3)(x2+3)+y1y2= . 2 7+16k
?7x +16y =112, ? 由? ?y=kx, ?
2 2

2

得 7x +16k x =112,

2

2 2

112 2 则x= 2, 7+16k 112?1+k ? →2 2 2 2 2 ∴OQ =x +y =(1+k )x = , 2 7+16k 7 → → →2 由AM·AN=λ OQ ,可解得 λ =- . 16 7 → → →2 综上,存在常数 λ =- ,使AM·AN=λ OQ 总成立. 16
2

x2 y2 3.解 (1)设椭圆的方程为 2+ 2=1 (a>b>0). a b
1 由已知可得(S△ADB)max= ·2a·b=ab=12.① 2 ∴F( 7,0)为椭圆右焦点,∴a =b +7.②
5
2 2

由①②可得 a=4,b=3,∴椭圆 C 的方程为 + =1. 16 9 (2)∵P(x0,y0)是椭圆上的动点,

x2

y2

x0 y0 9x0 2 ∴ + =1,∴y0=9- . 16 9 16
∴圆心 O 到直线 l:x0x+y0y=2 的距离

2

2

2

d=

2

x +y

2 0

2 0



2

x2 x2 0+9- 0

9 16



2 2 <1 (0≤x0≤16). 7 2 x0+9 16
2 2

∴直线 l:x0x+y0y=2 与圆 O:x +y =1 恒有两个交点.

L=2 r2-d2=2

1-

4

7 2 x0+9 16

7 2 2 ∵0≤x0≤16,∴9≤ x0+9≤16, 16 2 5 ∴ ≤L≤ 3. 3 4.解 (1)易知直线 x=2p 与抛物线 y =2px 的两个交点的坐标分别是 M(2p,2p),N(2p,- 2p),弦长|MN|=4p (p>0).又|AB|=4p,且直线 AB 过点(2p,0),所以△AOB 是直角三角形, 所以过 A,B,O 三点的圆的方程是(x-2p) +y =4p . (2)设点 A? ,y1?,B? ,y2?,直线 AB 的方程为 x=my+b, ?2p ? ?2p ? 设直线与抛物线相交. 由方程组?
? ?x=my+b, ?y =2px, ?
2 2 2 2 2 2

? y1

2

?

? y2

2

?

消去 x,得 y -2mpy-2pb=0, 所以 y1+y2=2mp,y1y2=-2pb. 故 tan π tan α +tan β =tan(α +β )= 4 1-tan α tan β

y1 y2 + x1 x2 x2y1+x1y2 2p?y1+y2? = = = , y1y2 x1x2-y1y2 y1y2-4p2 1- x1x2
2p·2mp 2mp 即 1= , 2=- -2pb-4p b+2p
6

所以 b=-2p-2mp, 所以直线 AB 的方程为 x=my-2p-2mp, 即 x+2p=m(y-2p),所以直线 AB 过定点(-2p,2p).

7


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