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2014高考数学必考点解题方法秘籍 二次函数2 理

2014 高考理科数学必考点解题方法秘籍:二次函数 2
引言:历年数学高考考题中都或多或少的出现了二次函数题,所考查的内容涉及许多重要的 数学思想及方法,如分类讨论、数形结合、函数方程思想;配方法、换元法、赋值法等。要 求学生掌握二次函数的概念,掌握其图象、性质及图象与性质的关系,能灵活地运用“三个 二次”的相关知识解题。充分体现了学生对函数内容的把握程度,是数学高考中一个永恒的

(a ? 0) 的函数叫做关于 x 的一元 话题,真可谓“考你千遍也不厌倦” 。形如 y ? ax ? bx ? c,
2

二次函数,其定义域为 R ,图象是一条抛物线,对称轴方程

x??

b 2a , 顶 点 坐 标

(?

b 4ac ? b 2 , ) 2a 4a 。学习时应重点掌握下列内容:
2 2

⑴合理选择二次函数的解析式。

(a ? 0) (定义式) *三种常用表达式:① y ? ax ? bx ? c, ;② y ? a ( x ? h) ? k , (a ? 0) (顶
点式) ;③ y ? a ( x ? x1 )( x ? x 2 ), (a ? 0) (两根式) 。 【例题 1】已知 f ( x) 是二次函数,且满足 f (0) ? 1, f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x ,则 f ( x) ? 。

设f ( x) ? ax 2 ? bx ? c,? f (0) ? 1,? c ? 1,? f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x,? a ( x ? 1) 2 ? ?2 a ? 2 ?a ? 1 b( x ? 1) ? ax 2 ? bx ? 2ax ? a ? b ? 2 x. ? ? ?? , ?a ? b ? 0 ?b ? ?1 2 〖解答〗? f ( x) ? x ? x ? 1.
3 (?2, ) 2 ,与 x 轴的两个交点之间的距离为 6,求这个二 【例题 2】设二次函数的图象的顶点是
次函数的解析式。

3 3 设二次函数y ? a ( x ? 2) 2 ? , 即y ? ax 2 ? 4ax ? 4a ? .由 | x1 ? x 2 |? 2 2 6 1 1 2 5 ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? ? ? 6, 得a ? ? . ? y ? ? x 2 ? x ? . a 6 6 3 6 〖解答〗
【例题 3】设二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) ,方程 f ( x) ? x ? 0 的两个根满足
2

0 ? x1 ? x 2 ?

1 a ,当 x ? ( x1 , x 2 ) 时,证明: x1 ? f ( x) ? x 2 .

-1-1-

由已知设f ( x) ? x ? a ( x ? x1 )( x ? x 2 ),? f ( x) ? x1 ? a ( x ? x1 )( x ? x 2 ) ? x ? x1 1 ,? x ? x1 ? 0, ax ? 0,1 ? ax 2 ? 0, a ? f ( x) ? x1 ? 0即x1 ? f ( x).同理f ( x) ? x 2 ? ( x ? x 2 )(ax ? 1 ? ax1 ) ? 0, 即x 2 ? ? ( x ? x1 )(ax ? 1 ? ax 2 ),? 0 ? x1 ? x ? x 2 ?
〖解答〗 f ( x), 综上x1 ? f ( x) ? x 2 . ⑵熟练掌握二次函数的图象和性质。 二次函数 定义域 值 域 (最 值) y=ax2+bx+c, (a>0) x∈R y=ax2+bx+c, (a<0)

? 4ac ? b 2 ? ?y y ? ? 4a ? ?

? 4ac ? b 2 ? ?y y ? ? 4a ? ?

图 象

抛物线 (略) , 精确度要求不高时作二次函数图象先考虑二次项系数 a 的符号, 确定图象的延伸方向;然后考虑对称轴方程,确定图象的左右位置;再考虑 顶点坐标,确定图象的上下位置;最后考虑与轴的交点,确定图象的开口大 小。

顶 点

? b 4ac ? b 2 ? ? ? 2a , 4a ?
x?? b 2a

? ? ? ?

对称轴 开口方向 奇偶性

开口向上

开口向下

b=0 时,是偶函数;b≠0,是非奇非偶函数。

? b ? ? ,?? ? ? ? 递增区间 ? 2a
单调性

? b ? ? ,?? ? ? ? 递减区间 ? 2a b? ? ? ? ?, ? ? 2a ? 递增区间 ?


b? ? ? ? ?, ? ? 2a ? 递减区间 ?
2

【例题 1】函数 y ? x ? bx ? c, ( x ? [0,??)) 是单调函数的充要条件是(

A.b≥0 B.b≤0 C.b>0 D.b<0 〖分析〗二次函数的单调性受二次项系数(决定左增右减还是左减右增)和对称轴方程(决 定单调性分界位置)共同制约。因函数 y ? x ? bx ? c, ( x ? [0,??)) 的图象开口方向向上,
2

x??
对称轴方程为

b b b [? ,??) ? ? ? 0, b ? 0 [ 0 , ?? ) 2 ,则区间 2 应是 2 的子区间, ,故选 A。
2

【例题 2】已知函数 y ? ax ? bx ? c ,如果 a>b>c,且 a+b+c=0,则它的图象可能是(



-2-1-

〖分析〗? a ? b ? c, a ? b ? c ? 0,? a ? 0, c ? 0. 即图象开口向上,与 y 轴交点在原点下方, 故应选 D。 【例题 3】集合 A ={ y | y ? x ? 2 x ? 4 }, B ={ y | y ? ax ? 2 x ? 4a }, A ? B ,求实数 a
2 2

的取值集合。

? y ? x 2 ? 2 x ? 4 ? ( x ? 1) 2 ? 3 ? 3,? A ? { y | y ? 3}.当a ? 0时, B ? R, 适合. ?a ? 0 ? 当a ? 0时, 要使A ? B, 必有?16a 2 ? 4 ,? 0 ? a ? 1.综上, a ? [0,1]. ?3 ? ? 4a 〖解答〗
⑶深刻理解二次函数在区间上的最值问题。 〖探究〗最值问题常与函数求值域问题相联系,则我们先求函数 y ? ? x ? 4 x ? 1 分别在区间
2 2 (??,??), [3,??), [?3,3] 上所对应的值域, 由配方法化成顶点式 y ? a ( x ? h) ? k , 确定图象

开口方向及对称轴方程,再结合图象、性质(单调性)作答,如能取到最值,应分别在区间 端点或顶点处取得,特别对含参数的二次函数,要讨论区间与对称轴的变化情况。

? y ? ?( x ? 2) 2 ? 5,? a ? ?1 ? 0(开口向下), 对称轴为x ? ?2. 当x ? R时, 只有a决定值域情况,? a ? 0,? 有y max ? f (?2) ? 5(顶点处). 当x在某一区间内时, 则还要考虑对称轴的位置,? ?2 ? [3,??), a ? 0, 函数f ( x)在[3,??)内单调递减,? 有y max ? f (3) ? ?20(区间端点处). ? ?2 ? [?3,3], a ? 0, 函数f ( x)在[?3,3]内, 有y max ? f (?2) ? 5(顶点处);
〖解答〗 y min ? f (3) ? ?20(区间端点处). ? 值域分别为(??,5], (??,?20], [?20,5] 【注意】二次函数 y ? ax ? bx ? c, a ? 0 在区间上的最值问题应主要考查函数对称轴与区间
2

x??
的位置关系,若

b 2a 在区间内则该点处必取一个最值,如有另一个最值应在离对称轴最 x?? b 2a 在区间外,如有最值应取在区间端点处,最值是最大值还

远的区间端点处取得;若

是最小值要结合图象的开口方向及单调性判断。高中阶段我们主要研究:①二次函数在闭区 间[m,n]上的最值;②二次函数在区间定(动) ,对称轴动(定)时的最值。 【思考】 (以 a>0 为例)对于二次函数 y ? ax ? bx ? c, a ? 0 ,设 x ? [ x1 , x 2 ], x1 ? x 2 , 令
2

-3-1-

x0 ? ?

b , f ( x0 ) ? y 0 , f ( x1 ) ? y1 , f ( x 2 ) ? y 2 . 2a 结合函数图象则相应值域(最值)为:

当x0 ? x1时, y ? [ y1 , y 2 ];当x1 ? x0 ? y ? [ y 0 , y1, 2 ];当

x1 ? x 2 x ? x2 时, y ? [ y 0 , y 2 ];当x0 ? 1 时, 2 2

x1 ? x 2 ? x0 ? x 2时, y ? [ y 0 , y1 ];当x0 ? x 2时, y ? [ y 2 , y1 ]. 2

观察值域中最大值、最小值的变化情况易得:求闭区间上二次函数的最值应先看二次项系数,

x??
含参数时要讨论,再把对称轴

b 2a 与区间端点及区间中点进行比较分类,如当 a ? 0 时,

求最小值分 3 种情况,即在区间端点处讨论;求最大值分 2 种情况,即在区间中点处讨论。 当 a ? 0 时规律相反。 【例题 1】求函数 y ? x ? 2 x ? 3 在区间 [0, a ] 上的最值,并求此时的 x 的值。
2

〖解答〗函数图象的对称轴为直线 x=1,抛物线开口向上。

当a ? 1时, 函数在[0, a ]上单调递减, 当x ? 0时, y max ? 3, 当x ? a时, y min ? a 2 ? 2a ? 3; 当1 ? a ? 2时, 函数在[0,1]上单调递减, 在[1, a ]上单调递增, 当x ? 1时, y min ? 2, 当x ? 0 时, y max ? 3;当a ? 2时, 函数在[0,1]上单调递减, 在[1, a ]上单调递增, 当x ? 1时, y min ? 2 当x ? a时, y max ? a 2 ? 2a ? 3.
y ? ? x 2 ? ax ?
【例题 2】已知函数

a 1 ? 4 2 在区间[0,1]上的最大值是 2,求实数 a 的值。

a a2 ? a ? 2 a a ? y ? ?( x ? ) 2 ? , 对称轴为x ? , 当 ? 0时, 即a ? 0, 函数在[0,1] 2 4 2 2 a 上单调递减, 有y max ? f (0) ? 2, 得a ? ?6;当0 ? ? 1时, 即0 ? a ? 2, 2 a 有y max ? f ( ) ? 2, 得a ? ?2或3, 与0 ? a ? 2矛盾, 故舍去;当a / 2 ? 1时, 即 2 10 10 a ? 2, 函数在[0,1]上单调递增,? y max ? f (1) ? 2,? a ? , 综上a ? ?6或 . 3 3 〖解答〗
【例题 3】求函数 y ? ? x( x ? a ) 在区间 [?1, a ] 上的最大值。

a a a2 ? ?1, y ? ? x( x ? a ) ? ?( x ? ) 2 ? ,图象开口向下. 2 2 4 a a a2 当 ? a, 即 ? 1 ? a ? 0时, y max ? f (a ) ? 0;当 ? a, 即a ? 0时, y max ? . 2 4 〖解答〗 2 由已知a ? ?1,?
⑷透彻领悟“三个二次” (二次函数、二次方程、二次不等式)的内在联系。 Δ =b2-4ac
-4-1-

Δ >0

Δ =0

Δ <0

函数 y=ax2+bx+c, (a>0)的图象

方程 ax2+bx+c=0 的根 不等式 ax2+bx+c>0 的解集 不等式 ax2+bx+c<0 的解集

x1, 2 ?

?b? ? 2a

x1, 2 ? ?
x≠x1,2 Φ

b 2a

无实根 R Φ

x<x1 或 x>x2 x1<x<x2
2

*两条规律:①二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c, a ? 0 的图象与轴的交点的横坐标 x1 , x 2 即二次

方程 ax ? bx ? c ? 0 的根,且对称轴方程为
2

x?

x1 ? x 2 2 ;②不等式 ax 2 ? bx ? c ? 0 (或

?, ?, ? )的解集为 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c, a ? 0 图象上方(或下方)的点的横坐标的集合。
【注意】当 a ? 0 时要转化、化归成 a ? 0 时的情况求解。

1 {x | x ? ?2或x ? ? } 2 ,求不等式 【例题】已知关于 x 的不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集是
2

ax 2 ? bx ? c ? 0 的解集。

方法一、 ? ax 2 ? bx ? c ? 0的解集在两根之外,表明函数y ? ax 2 ? bx ? c 1 b ? ?2? ? ? ? 1 ? 2 a 的图象开口向下, 对应方程两根分别为 ? 2,? .则有a ? 0, 且? 1 2 ?? 2 ? ( ? ) ? c ? 2 a ? 5a 5a ?b? , c ? a,? ax 2 ? bx ? c ? 0写作ax 2 ? x ? a ? 0, 即2 x 2 ? 5 x ? 2 ? 0, 2 2 2 ?{x | 0.5 ? x ? 2}.方法二、由同解原理ax ? bx ? c ? 0与a (? x) 2 ? b(? x) ? c
〖解答〗

? 0是同解方程, 则 ? 2 ? ? x ? ?0.5. ?{x | 0.5 ? x ? 2}.
2

*一种应用:不等式恒成立的条件,令 y ? ax ? bx ? c, a, b, c ? R 。

?a ? 0 ?a ? b ? 0 f ( x) ? 0(? 0)对任意x ? R恒成立 ? ? 或? , ?? ? 0(? 0) ?c ? 0(? 0) ?a ? 0 ?a ? b ? 0 f ( x) ? 0(? 0)对任意x ? R恒成立 ? ? 或? , ?? ? 0(? 0) ?c ? 0(? 0)

f ( x) ? m恒成立 ? [ f ( x)]min ? m; f ( x) ? m恒成立 ? [ f ( x)]max ? m.
-5-1-

【例题 1】若关于 x 的不等式 ax ? 2ax ? 3 ? 0 对一切实数 x 都成立,求实数 a 的取值范围。
2

若a ? 0, 原式化为3 ? 0, 此时x ? R, 满足题意.若a ? 0, 令y ? ax 2 ? 2ax ? 3, ?a ? 0 对x ? R, y的值恒大于0, 只需? , 得0 ? a ? 3, 综上a ? [0,3). ? ? 4a 2 ? 12a ? 0 ? 〖解答〗
【例题 2】已知函数 y ? ax ? b(a ? 0) 对任意 x ? [?1,1] , f ( x) ? 0 恒成立,求 a, b 满足的条 件。

? f (?1) ? 0 ?b ? a ? 0 ?? ? a2 ? b2. ? f (1) ? 0 ?a ? b ? 0 〖解答〗由已知只需 ?
【例题 3】设 f ( x) ? x ? 2ax ? 2 ,当 x ? [?1,??) 时 f ( x) ? a 恒成立,求实数 a 的取值范
2

围。

当a ? ?1时, f ( x) min ? f (?1) ? 3 ? 2a, x ? [?1,??), f ( x) ? a恒成立 ? f ( x) min ? a, 即2 ? a 2 ? a,? a ? ?3.故 ? 3 ? x ? ?1. 当a ? ?1时, f ( x) min ? f (a ) ? a 2 ? 2a 2 ? 2 ? 2 ? a 2 , x ? [?1,??), f ( x) ? a 恒成立 ? f ( x) min ? a即2 ? a 2 ? a,? ?2 ? a ? 1, 故 ? 1 ? a ? 1.综上, 当 ? 3 ?
〖解答〗

a ? 1时, x ? [?1,??), f ( x) ? a恒成立.

*二次不等式解法探究: 一、一元二次不等式解法有(1)图象法(穿线法、标根法) ; (2)三个二次关系法——①先 化标准型;②验证判别式,求方程的根;③结合图象写集合; (3)化一元一次不等式组法(符 号法则) 。 【例题】1. 不等式(x+2)(1-x)>0 的解集是( ) A.{x|x<-2 或 x>1} B.{x|-2<x<1} C.{x|x<-1 或 x>2} D.{x|-1<x<2} 2.已知集合 M ? {x | x ? 4}, N ? {x | x ? 2 x ? 3 ? 0} ,则集合 M ? N =(
2 2



A.{x|x<2}

B.{x|x>3}

C.{x|-1<x<2}

D.{x|2<x<3}

y?
3.二次函数

x2 ? 4x ? 3 2 在 y<0 时 x 的取值范围是



【练习】 1.求下列不等式的解集: (1) -2x2+x+1/2<0; (2) x2<3x+4; (3) x2>2x-3; (4) x2>2x-1; (5)3x2+5≤3x。

2.解下列不等式: (1) x ?
-6-1-

x ? 6; (2) x 2 ? 2 | x | ?3 ? 0.

二、关于分式不等式,一般是化为一边为零,另一边进行通分,转化为等价的一元二次不等 式或不等式组来解(注意转化的等价性) ,在明确分母的符号的情况下,也可考虑去分母,转 化为整式不等式(组) 。

1?
【例题】4.不等式 A.{x|x>1}

1 x 的解集为(

) D.{x|-3<x<2}

B.{x|x<1}

C.{x|0<x<1}

2 ? x x ?1 ? 5.不等式 2 ? x x ? 2 的解集是 x ?1 ? 1. 【练习】3.解不等式 1 ? 2 x



a?x ? 0(a ? b ? 0) 4.关于 x 的不等式 b ? x 的解集是
三、二次性不等式解集的逆向思维:



题型 1:关于 x 的不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集为 R(或写作对任意 x∈R 恒成立)时的条件
2

是?解集为Ф 时的条件是?

?a ? 0, b ? 0 ?a ? 0 ?a ? 0, b ? 0 ?a ? 0 ?? 或? ; ?? 或? . c ? 0 ? ? 0 c ? 0 ? ? 0 ? ? ? ? 〖讨论〗解集为 R 解集为Ф
〖思考〗 ax ? bx ? c ? 0 时上述情况应满足的条件??
2

【例题】6.问 a 为何值时,不等式 (a ? 3a ? 2) x ? (a ? 1) x ? 2 ? 0 的解是一切实数?
2 2

【练习】 5.不等式 (a ? 1) x ? ax ? a ? m( x ? x ? 1) 对任意 x∈R 恒成立, 求 a 与 m 之间的关
2 2

系。
-7-1-

题型 2:已知不等式及其解集利用根与系数的关系求解。 首先明确两个方面的内容,一是根据不等号方向及解集确定二次项系数的符号;二是根据解 集的端点值确定对应方程的根。 【例题】7.若不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集为
2

{x | ?

1 1 ?x? } 2 3 ,则 a+b 等于



1 {x | x ? ?2或x ? ? } 2 ,求不等式 【练习】6.已知关于 x 的不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集是
2

ax 2 ? bx ? c ? 0 的解集。

四、含参数的不等式的解法 在对一元二次不等式及简单分式不等式解法的研究中,我们最关心的问题是二次项系数的情 况(a>0、a=0、a<0) 、判别式的情况(△>0、△=0、△<0)及对应方程根的情况(根的个数、 根的正负、根的大小等) ,所以在解决含参数的不等式的求解问题时,也要从这几个方面入手, 进行分层讨论。同时等价转化、分解因式、求根公式、韦达定理、数形结合、函数方程等数 学思想、公式、定理的运用也很关键。 【例题】8.关于 x 的方程 x ? ax ? a ? 1 ? 0 有两异号实根,则 a 的取值范围是
2



提示:方程根的正负主要由判别式及韦达定理内容来决定,即

?? ? 0 ? ? ? x1 x 2 ? 0 ?? ? 0 ?? ? x ? x ? 0(? 0) ? x1 x 2 ? 0 2 ? 1 方程有两个正(负)实根 ;方程有两异号实根
【例题】9.解不等式 x ? (a ? 1) x ? a ? 0.
2

【练习】7.解关于 x 的不等式 2 x ? ax ? 2 ? 0.
2

【练习】8.解不等式 ax ? 2(a ? 1) x ? 4 ? 0.
2

-8-1-

⑸正确应用一元二次方程(实系数)的实根分布。 【例题】试讨论方程 x ? bx ? c ? 0 的根的情况。
2

(1)根的个数:b,c 满足什么条件时,方程有两个不等实根?相等实根?无实根? (2) 根的大小: b, c 满足什么条件时, 方程有两个正根?两个负根?两个异号根?一根为 0? (3)根的范围:b,c 满足什么条件时,方程两根都大于 1?都小于 1?一根大于 1,一根小 于 1? 〖分析〗对于一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的根的研究,主要分四个方面。 (A)根的
2

虚、实; (B)根的相等与不等; (C)根的正负; (D)根的范围。利用根的判别式,可以解决 (A) (B) ,利用韦达定理,可以解决(C) 。对于(D)现结合问题(3) ,予以讨论。 〖解答〗 (方法一:方程思想)若令 x ? y ? 1 ,方程化为: y ? (b ? 2) y ? b ? c ? 1 ? 0 ? (?)
2

问题(3)转化为方程(*)有两个正根,两个负根,两个异号根。

?b 2 ? 4c ? 0 ?? ? 0 ? ? ; ? y1 ? y 2 ? 0 ? ?b ? ?2 ?y y ? 0 ?b ? c ? ?1 ? (*)有两个正根的条件是 ? 1 2 ?b 2 ? 4c ? 0 ?? ? 0 ? ? ; ? y1 ? y 2 ? 0 ? ?b ? ?2 ?y y ? 0 ?b ? c ? ?1 ? 1 2 ?

(*)有两个负根的条件是

?? ? (b ? 2) 2 ? 4(b ? c ? 1) ? 0 ?b 2 ? 4c ? 0 ?? . ? y1 y 2 ? b ? c ? 1 ? 0 b ? c ? ? 1 ? ? (*)有两异号根的条件是
〖解答〗 (方法二:函数思想)设 y ? f ( x) ? x ? bx ? c ,结合函数图象如下,
2

则方程 f(x)=0 的两根都大于 1 的条件是

?? b / 2 ? 1 ?b ? ?2 ? ? 2 ? ?b 2 ? 4c ? 0; ?? ? b ? 4c ? 0 ? f (1) ? b ? c ? 1 ? 0 ?b ? c ? ?1 ? ?

方程 f(x)=0 的两根都小于 1 的条件是
-9-1-

?? b / 2 ? 1 ?b ? ?2 ? ? 2 ? ?b 2 ? 4c ? 0; ?? ? b ? 4c ? 0 ? f (1) ? b ? c ? 1 ? 0 ?b ? c ? ?1 ? ?

?b 2 ? 4c ? 0 ?? ? 0 ?? . ? f (1) ? 0 ?b ? c ? ?1 ? 方程 f(x)=0 的两根一个大于 1,一个小于 1 的条件是
〖分析〗两种不同思路,从不同角度(一个是代数法考虑方程判别式与韦达定理,一个是几 何法结合图象) ,对根的分布给予讨论,有异曲同工之妙。 【例题】已知关于 x 的方程 x ? (a ? 1) x ? 2a ? 0 分别在下列条件下,求实数 a 的取值范围。
2

(1)有一个根小于-1,有一个根大于 1; (2)两根均在 (?1,1) 内。 〖分析〗此题若用方程变换,则很吃力,若用函数思想,则问题变得简明、直观。 〖解答〗设 f ( x) ? x ? (a ? 1) x ? 2a. 如图:
2

? f (?1) ? 0 2 ?a?? ? f (1) ? 0 3 即为所求; 为使 f(x)=0 有一个根小于-1,一个根大于 1 只需 ?
? f (?1) ? 0 ? f (1) ? 0 ? ? ? 0 ? a ? 3?2 2 ?? ? 0 ? ?? 1 ? ? a ? 1 ? 1 ? 2 为使 f(x)=0 的两根均在区间 (?1,1) 内,只需 ? 。
【思考】 (1)中为什么不考虑Δ >0?(2)中为什么考虑四个条件,缺一个行吗? 〖结论〗一般地,用函数思想结合图象来分析方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的实根分布情况要考虑 四个必要条件。①二次项系数 a,决定图象开口(延伸)方向;②判别式Δ =b2-4ac,决定与 x 轴的位置;③对称轴 x=-b/2a,决定图象左右平移;④特殊点(区间端点)所对函数值 f(x0) 的正负,决定图象开口大小。原则上四者缺一不可,但是如果图象开口向上且有下方部分, 则判别式可以省略,例(1) ;如果两根的位置已经确定,则对称轴可以不考虑。上述结论切 勿死记硬背,要结合图象具体分析。例(2)条件如果缺少就会出现如下情况:

f ( x) b c ? x2 ? x ? . 2 f ( x ) ? ax ? bx ? c , ( a ? 0 ) a a 即可化归为前 〖拓展〗 对于 只需利用变换 a f ( x) 面讨论过的问题,由于 a 与 af ( x) 同号,故我们有若相应的方程 f ( x) ? 0 的两个实根为

x1 , x 2 , x1 ? x 2 ,实数 n ? m ,则方程的根的分布情况可总结如下:
根的范围 图象显示 充要条件

- 10 -1-

x1 , x 2 都大于 n

?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ? ?n ? ?b / 2a ?af (n) ? 0 ? ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ? ?m ? ?b / 2a ?af (m) ? 0 ?

x1 , x 2 都小于 m

x1 , x 2 都在 n,m 之间

?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ? ?n ? ?b / 2a ? m ? ?af (n) ? 0 ? ?af (m) ? 0
af (n) ? 0

n 在 x1 , x 2 之间

x1 , x 2 只有一根在 n,m 之间

f ( n ) f ( m) ? 0

n,m 在 x1 , x 2 之间 【注意】以上结论,一定要结合图象推导,万不可死记硬背。

?af (n) ? 0 ? ?af (m) ? 0
2

【例题】分别求使方程 x ? mx ? m ? 3 ? 0 的两根满足下列条件的 m 值的集合。 (1)一根小于 0,另一根大于 2; (2)一根在 0 与 1 之间,一根在 1 与 2 之间; (3)两根都在-4 与 0 之间; (4)两根都大于-5。

- 11 -1-


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