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18学年高一数学上学期期末复习专题04初等函数(II)三角函数课件_图文

专题04 初等函数(II)三角函数

一、基础知识整合
(一)三角函数的概念 1.任意角 (1)角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置______ 到另一个位置所成的图形.我们规定:按____________ 方向旋转形成的角叫做正角,按____________方向旋转 形成的角叫做负角.如果一条射线没有作任何旋转,我 们称它形成了一个____________. (2)象限角 使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的_________重 合.角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角.

①α 是第一象限角可表示为 π α |2kπ <α <2kπ + ,k∈Z ,k∈Z(π); 2 ②α 是第二象限角可表示为 ③α 是第三象限角可表示为 ④α 是第四象限角可表示为

; ; .

(3)非象限角 如果角的终边在____________上,就认为这个角不属于 任何一个象限. ①终边在x轴非负半轴上的角的集合可记作{α |α = 2kπ ,k∈Z}; ②终边在x轴非正半轴上的角的集合可记作 _________________;

③终边在y轴非负半轴上的角的集合可记作 _________________; ④终边在y轴非正半轴上的角的集合可记作 __________________; ⑤终边在x轴上的角的集合可记作 __________________________; ⑥终边在y轴上的角的集合可记作_________; ⑦终边在坐标轴上的角的集合可记作_____ . (4)终边相同的角 所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集 合S=________________________.

2.弧度制 (1)把长度等于____________的弧所对的圆心角叫做1弧 度的角,用符号rad表示,读作弧度. =________,l是半径为r的圆的圆心角α 所对弧的长. (2)弧度与角度的换算:360°=________rad,180°= ________rad,1°=_____rad≈0.01745rad,反过来 1rad=____≈57.30°=57°18′. (3)若圆心角α 用弧度制表示,则弧长公式l= __________;扇形面积公式S扇=______=_____.

3.任意角的三角函数 (1)任意角的三角函数的定义 设α 是一个任意角,它的终边上任意一点P(x,y)与原 点的距离为r(r>0),则sinα =_____,cosα =______, tanα =______ (x≠0).
三角函数 sinα cosα tanα 定义域 ① ② ③

(2)三角函数值在各象限的符号

4.三角函数线 如图,角α 的终边与单位圆交于点P.过点P作x轴的垂 线,垂足为M,过点A(1,0)作单位圆的切线,设它与 α 的终边(当α 为第一、四象限角时)或其反向延长线 (当α 为第二、三象限角时)相交于点T.根据三角函数 的定义,有OM=x=________,MP=y=________,AT = =________.像OM,MP,AT这种被看作带有 方向的线段,叫做有向线段,这三条与单位圆有关的 有向线段MP,OM,AT,分别叫做角α 的 、 、 ,统称为三角函数线.

5.特殊角的三角函数值
角α 角α 的弧度数 sinα cosα tanα 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°

(二)三角函数的诱导公式 1.诱导公式的内容:
x -α π ±α 2 π ±α 3π ±α 2 2π ±α 不填 函数 sinx -sinα cosx cosα tanx -tanα 不填

2.诱导公式的规律: 三角函数的诱导公式可概括为:奇变偶不变,符号看象 ? 限.其中“奇变偶不变”中的奇、偶分别是指 2 的奇数 倍和偶数倍,变与不变是指函数名称的变化.若是奇数 倍,则正、余弦互变,正、余切互变;若是偶数倍,则 函数名称________.“符号看象限”是把α 当成 ? ________时,原三角函数式中的角 2 +α(π) 所在 ________原三角函数值的符号.注意:把α 当成锐角是 指α 不一定是锐角,如sin(360°+120°)=sin120°, sin(270°+120°)=-cos120°,此时把120°当成了 锐角来处理.“原三角函数”是指等号左边的函数.

3.sinα +cosα ,sinα cosα ,sinα -cosα 三者之 间的关系 (sinα +cosα )2=________________; (sinα -cosα )2=________________; (sinα +cosα )2+(sinα -cosα )2=_______________; (sinα +cosα )2-(sinα -cosα )2=_______________.

(三)三角函数图象和性质 1.“五点法”作图 (1)在确定正弦函数y=sinx在[0,2π 起关键作用的五个点是 , , , (2)在确定余弦函数y=cosx在[0,2π 起关键作用的五个点是 , ,

]上的图象形状时,

, . ]上的图象形状时, , , .

2.周期函数的定义 对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定 义域内的每一个值时,都有________________,那么函 数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周 期.如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的 正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的 ________________. 3.三角函数的图象和性质
函数 y=sinx 性质 定义域 ①________ ②________ ③_______ y=cosx y=tanx

图象

值域 对称性

④________

⑤________

R

对称轴:⑥_____; 对称轴: ⑧________; 无对称轴; 对称中心:⑦__ 对称中心:⑨_____ 对称中心: ⑩_______

最小正 周期

?__________

?__________

?_______

单调性

单调增区间; 单调减区间

单调增区间; 单调减区间

单调增区间

奇偶性 ______

______

______

(四)三角函数图象变换 1.用五点法画y=Asin(ω x+φ )在一个周期内的简图 用五点法画y=Asin(ω x+φ )在一个周期内的简图时, 要找五个特征点,如下表所示.
x ω x+φ y=Asin(ω x+ φ) 0 A 0 -A 0

2.图象变换(ω >0)

路径①:先向左(φ >0)或向右(φ <0)平移________个单位长度,得到函数 y=sin(x+φ )的 图象;然后使曲线上各点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变),得到函数 y=sin(ω x

+φ )的图象;最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的________倍(横坐标不变),这时的曲 线就是 y=Asin(ω x+φ )的图象. 路径②:先将曲线上各点的横坐标变为原来的________倍(纵坐标不变),得到函数 y=sin ω x 的图象;然后把曲线向左(φ >0)或向右(φ <0)平移 个单位长度,得到函数 y=

sin(ω x+φ )的图象; 最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的________倍(横坐标不变), 这 时的曲线就是 y=Asin(ω x+φ )的图象.

3.函数y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)的物理意义 简谐运动的图象所对应的函数解析式y=Asin(ω x+φ ), x∈[0,+∞),其中A>0,ω >0.在物理中,描述简谐运 动的物理量,如振幅、周期和频率等都与这个解析式中 的常数有关:A就是这个简谐运动的振幅,它是做简谐 运动的物体离开平衡位置的最大距离;这个简谐运动的 周期是T= ,这是做简谐运动的物体往复运动一次 所需要的时间;这个简谐运动的频率由公式f=T(1)= 给出,它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的 次数;ω x+φ 称为相位;x=________时的相位φ 称为 初相.

【答案】 (一)三角函数的概念 1.(1)旋转 (2)非负半轴 ② α |2kπ + π <α <2kπ + π ,k∈Z 2 逆时针 顺时针 零角

3 α |2kπ + π <α <2kπ + π ,k∈Z ③ 2 3 α |2kπ + π <α <2kπ +2π , k∈ Z 2 ④ 或{α |2kπ - π <α <2kπ ,k∈Z} 2

(3)坐标轴 ②{α |α =2kπ +π , k∈ Z} π α |α =2kπ + ,k∈Z 2 ③ 3 α |α =2kπ + π , k∈ Z 2 ④ π α | α = k π + , k ∈Z ⑥ 2 ⑤ {α |α =kπ ,k∈Z} kπ α |α = , k∈ Z ⑦ 2

(4){β |β =α +2kπ ,k∈Z}或 {β |β =α + k· 360°,k ∈Z}

2.(1)半径长 (3)|α |r y 3.(1) r (2)①R 4.cosα 正弦线

l r

(2)2π 1 lr 2

π

π 180

180 π °

1| | 2 α r 2 x r ②R y x ③

α |α ≠kπ + y x tanα

π ,k∈Z 2

sinα 余弦线

正切线

角α 弧度

0° 0

30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° π 6 1 2 3 2 3 3 π 4 2 2 2 2 1 π 3 3 2 1 2 3 π 2 1 2π 3 3 2 1 - 2 3π 4 2 2 - 5π 6 1 2 π 3π 2 -1 2π

sinα cosα

0

0

0

1

0

2 3 - -1 2 2 - 3 0 3

0

1

tanα

0



- 3 -1



0

(二)三角函数同角关系与诱导公式 1.(1)①sin α +cos α =1 2.(1)略 (2)不变 (3)锐角 3.1+2sinα cosα 1- 2sinα cosα 2 4sinα cosα 锐角 象限
2 2

sinα ② =tanα cosα

(三)三角函数图象和性质 1.(1)(0, 0) (2)(0, 1) π ,1 2 (π ,0) 3π ,-1 2 3 π ,0 2 (2π , 0)

π ,0 2

(π ,- 1) 最小正周期

(2π , 1)

2.f(x+T)=f(x) 3.①R ②R

π x|x≠ kπ + , k∈ Z 2 ③

④ [- 1, 1]

⑤[-1,1]

π ⑥x=kπ + (k∈ Z) ⑦ (kπ , 0)(k∈ Z) 2 ⑨ kπ + π ,0 2 (k∈Z)

⑧x=kπ (k∈Z)

二、热点题型展示 类型一 角的概念与扇形的弧长与面积问题
例 1. 已知扇形的周长为 6cm ,面积是 2cm ,则扇形的圆心角的弧度数是( A.1 B.4 C.1 或 4 D.2 或 4
2



?2R+? ? R ? 6 ? 【解析】设扇形的圆心角为 ? ,半径为 Rcm ,则 ? 1 2 R ?? ? 2 ? ?2
解得 ? =1 或 ? =4 ,故选 C.

例 2. 已知角 2? 的终边在 x 轴的上方(不与 x 轴重合),求? 的终边所在的象限.

【解析】依题意有 2k?<2?<2k?+? ? k ? Z ? , ∴ k? <?<k? +

?
2

?k ? Z ? .
,此时 ? 是第一象限角;

0<?< 当 k=0时,

?
2

1时,? <?< 当 k=

3? ,此时 ? 是第三象限角. 2

综上,对任意 k ? Z , ? 为第一或第三象限角. 故 ? 的终边在第一或第三象限.

【名师点睛】
1.要注意锐角与第一象限角的区别,锐角的集合仅是第一象限 角的集合的一个真子集,即锐角是第一象限角,但第一象限角 不一定是锐角. 2.在同一个式子中,采用的度量制必须一致,不可混用.如α =2kπ +30°(k∈Z),β =k·360°+2(π)(k∈Z)的写法都是不 规范的. 3.扇形的弧长与面积问题.①直接用公式l=|α |R可求弧长, 利用S弓=S扇-S△可求弓形面积.②关于扇形的弧长公式和面积 公式有角度制与弧度制这两种形式,其中弧度制不仅形式易记, 而且好用,在使用时要注意把角度都换成弧度,使度量单位一 致.③弧长、面积是实际应用中经常遇到的两个量,应切实掌 握好其公式并能熟练运用.

类型二 三角函数的定义与三角函数线

2 例 1.若角 θ 的终边经过点 P(- 3,m)(m≠0)且 sin θ= 4 m, 则 cos θ 的值为________.
【解析】 由题意知 r= 3+m2, m 2 ∴sin θ= = m, 3+m2 4 ∵m≠0,∴m=± 5,∴r= 3+m2=2 2, - 3 - 6 ∴cos θ= = . 4 2 2
- 6 4

【答案】

例 2.已知角 ? 的顶点在原点,始边与 x 轴的正半轴重合. (1)若终边经过点 P(?1, 2) ,求 sin ? cos ? 的值; (2)若角 ? 的终边在直线 y ? ?3x 上,求10sin ? ?

3 的值. cos ?

【解析】 (1)由题知: x ? ?1, y ? 2 , r ?

?? 1?2 ? 2 2

? 5

y 2 2 x ?1 5 sin ? ? ? ? 5 , cos? ? ? ?? r 5 r 5 5 5
sin ? cos ? ? ? 2 . 5

(2)当角 ? 的终边在第二象限时,取终边上一点 ?- 1,3? , 则: x ? ?1, y ? 3 , r ?

?? 1?2 ? 3 2

? 10

sin ? ?

y ? r

3 10

?

3 x ?1 10 10 , cos? ? ? ?? 10 r 10 10

所以 10 sin ? ?

3 30 30 ? 10 ? 10 ? 0 cos ? 10 10

, - 3? , 当角 ? 的终边在第四象限时,取终边上一点 ?1
2 则: x ? 1, y ? -3 , r ? 12 ? (- 3) ? 10

sin ? ?

y -3 -3 x 1 10 ? ? 10 , cos? ? ? ? r r 10 10 10 10

3 - 30 30 ? 10 ? 10 ? 0 cos ? 10 10 3 3 - 30 30 ? 0 10 sin ? ? ? 10 ? 10 ? 0 . 综上 10 sin ? ? cos ? cos ? 10 10
所以 10 sin ? ?

【名师点睛】

1.三角函数线是任意角的三角函数的几何表示,利用单位圆中的 三角函数线可以直观地表示三角函数值的符号及大小,并能从任 意角的旋转过程中表示三角函数值的变化规律.在求三角函数的 定义域、解三角不等式、证明三角不等式等方面,三角函数线具 有独特的简便性. 已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴 上的情况. 2.牢记各象限三角函数值的符号,在计算或化简三角函数关系时, 要注意对角的范围以及三角函数值的正负进行讨论. 3.已知角的终边上一点的坐标可利用三角函数的定义求三角函数 值,若含有参数,则要注意对可能情况进行分类讨论. 4.在解简单的三角不等式时,利用单位圆及三角函数线,常使问 题变的简单.

类型三 同角三角函数的基本关系及诱导公式 1.【2015福建高考】若 , 且 为第四象限 角,则 的值等于( )

12 12 5 5 A. B. ? C. D. ? 5 5 12 12
【答案】D

5 y 【解析】 sin ? ? ? ? ,因为?为第四象限的角,则 13 r 5 2 2 x ? 13 ? (?5) ? 12, 可得; tan ? ? ? . 12

例 1.若

1 1 ? ? 3 ,则 sin ? cos ? ? ( sin ? cos ?
B.



A. ?

1 3

1 3

C. ?

1 或1 3

D.

1 或-1 3

【解析】

1 1 sin α ? cos α ? ? ? 3 , sin α ? cos α ? 3 sin α cos α ,两边平方得 sin α cos α sin α cos α

1 ? 2sin α cos α ? 3(sin α cos α) 2 , (sin α cos α ? 1)(3sin α cos α ? 1) ? 0 ,
因为 sin α cos α ?

1 1 1 sin 2α ? ,所以 sin α cos α ? ? .故选 A. 2 2 3

例 2. 已知 tan ? ? 3 ,计算:

4 sin ? ? 2 cos ? (1) ; 5 cos ? ? 3 sin ?
(2) sin ? cos ? ; (3) (sin? ? cos? )
【解析】? tan ? ? 3 ,
2

? (1)

4 sin ? ? 2 cos ? 4 tan ? ? 2 4 ? 3 ? 2 5 ? ? ? ; 5 cos ? ? 3 sin ? 5 ? 3 tan ? 5 ? 3 ? 3 7

(2) sin ? cos ? ?

sin ? cos ? tan ? 3 ? ? ; sin 2 ? ? cos 2 ? tan 2 ? ? 1 10
2 2 2

sin 2 ? ? cos2 ? ? 2 sin ? cos? (3) (sin ? ? cos? ) ? sin ? ? cos ? ? 2 sin ? cos? ? sin 2 ? ? cos2 ? tan2 ? ? 2 tan? ? 1 16 8 ? ? ? . 2 tan ? ? 1 10 5

3? sin(5? ? ? ) cos(? ? ? ) cos( ? ? ) 2 例 3.已知 f (? ) ? ; ? 3? cos(? ? ) tan(3? ? ? ) sin(? ? ) 2 2
(I)化简 f (? ) ;

3? 3 ? ? ) ? ,求 f (? ) 的值. (Ⅱ)若 ? 是第三象限角,且 cos( 2 5

【解析】 (I)

3? ??) sin ? (? cos ? )sin ? 2 f (? ) ? ? ? ? cos ? ? 3? cos(? ? ) tan(3? ? ? )sin(? ? ) (? sin ? )(? tan ? ) cos ? 2 2 sin(5? ? ? ) cos(? ? ? ) cos(

3? 3 3 ? ? ) ? ? sin ? ? ,所以 sin ? ? ? , (Ⅱ) cos( 2 5 5 4 4 又由 ? 是第三象限角,所以 cos ? ? ? ,故 f (? ) ? ? cos ? ? . 5 5

【名师点睛】
1.诱导公式用角度制和弧度制表示都可,运用时应注意函数名 称是否要改变以及正负号的选取. 2.已知一个角的某一个三角函数值,求这个角的其他三角函数 值,这类问题用同角三角函数的基本关系式求解,一般分为三 种情况: (1)一个角的某一个三角函数值和这个角所在的象限或终边所在 的位置都是已知的,此类情况只有一组解. (2)一个角的某一个三角函数值是已知的,但这个角所在的象限 或终边所在的位置没有给出,解答这类问题,首先要根据已知 的三角函数值确定这个角所在的象限或终边所在的位置,然后 分不同的情况求解. (3)一个角的某一个三角函数值是用字母给出的,此类情况须对 字母进行讨论,并注意适当选取分类标准,一般有两组解.

3.计算、化简三角函数式常用技巧 (1)减少不同名的三角函数,或化切为弦,或化弦为切, 如涉及sinα ,cosα 的齐次分式问题,常采用分子分母 同除以cosnα (n∈N*),这样可以将被求式化为关于 tanα 的式子. ※(2)巧用“1”进行变形,如1=sin2α +cos2α = tanα cotα =tan45°=sec2α -tan2α 等. (3)平方关系式需开方时,应慎重考虑符号的选取. (4)熟悉sinα +cosα ,sinα -cosα ,sinα cosα 三 者之间的内在联系,利用(sinα ±cosα )2= 1±2sinα cosα 进行和积转换,可知一求二.

真题再现

类型四 三角函数的图象与性质
1. (2015全国 1) Ⅰ)函数 f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象 (2)(2015· 课标全国

如图所示,则 f(x)的单调递减区间为(
? 1 3? ? A.?kπ-4,kπ+4? ?,k∈Z ? ? ? 1 3? ? B.?2kπ-4,2kπ+4? ?,k∈Z ? ? ? 1 3? ? C.?k-4,k+4? ?,k∈Z ? ? ? 1 3? ? D.?2k-4,2k+4? ?,k∈Z ? ?

)

(2)由图象知,周期

?5 1? ? T=2×?4-4? ?=2, ? ?

2π ∴ ω =2,∴ω=π.

1 π π 由 π×4+φ=2+2kπ,k∈Z,不妨取 φ=4,
? π? ? ∴f(x)=cos?πx+4? ?. ? ?

π 1 3 由 2kπ<πx+4<2kπ+π,k∈Z,得 2k-4<x<2k+4,k∈Z,
? 1 3? ? ∴f(x)的单调递减区间为?2k-4,2k+4? ?,k∈Z.故选 ? ?

D.

? ? ), x ? ? 为 f ( x) 的零点, 例 1.已知函数 f ( x) ? sin(? x+ ? )(? ? 0, 2 4
x?
为( (A)11

?

?

?

? ? 5? ? y ? f ( x ) f ( x ) 为 图像的对称轴,且 在 ? , ? 单调,则 ? 的最大值 4 ? 18 36 ?
) (B)9 (C)7 (D)5

【解析】因为 x ? ?

?
4

为 f ( x ) 的零点, x ?

?
4

为 f ( x ) 图像的对称轴,

所以

?

? T ? 4k ? 1 4k ? 1 2? ? (? ) ? ? kT ,即 ? T? ? ,所以 4 4 4 2 4 4 ?
? ? 5? ? , ? 单调,所以 ? 18 36 ?

? ? 4k ? 1(k ? N *) ,又因为 f ( x) 在 ?

5? ? ? T 2? ? ? ? ? ,即 ? ? 12 ,由此 ? 的最大值为 9. 36 18 12 2 2?
故选 B.

【名师点睛】 1.求三角函数的定义域.①常常归结为解三角不等式(或 等式);②经常借助两个工具,即单位圆中的三角函数线 和三角函数的图象,有时也利用数轴;③对于较为复杂 的求三角函数的定义域问题,应先列出不等式(组)分别 求解,然后利用数轴或三角函数线求交集. 2.求三角函数的值域(最值)时,代数中求值域(最值)的 方法均适用,注意三角函数的取值范围)、换元法(注意 换元后的范围变化)、判别式法、不等式法等.对于形如 y=Asin(ω x+φ )+b(或y=Acos(ω x+φ )+b),可直 接求出ω x+φ 在区间的范围,然后根据单调性求解.

3. 求三角函数的周期.①通常应将函数式化为只有一个 函数名,且角度唯一,最高次数为一次的形式,然后借 助于常见三角函数的周期来求解.②注意带绝对值的三 角函数的周期是否减半,可用图象法判定,y=|cosx| 的图象即是将y=cosx的图象在x轴下方部分翻折到x轴 的上方去. 4.判断三角函数奇偶性时,必须先检查定义域是否是关 于原点的对称区间,如果是,再验证f(-x)是否等于- f(x)或f(x),进而判断函数的奇偶性;如果不是,则该 函数必为非奇非偶函数.另外,对较复杂的解析式,可 选择先化简再判断,也可直接用-x取代x,再化简判断, 还可利用f(-x)±f(x)=0是否成立来判断其奇偶性.

5.三角函数的单调性. ①三角函数单调区间的确定,一般先将函数式化为基本 三角函数标准式,然后通过同解变形或利用数形结合方 法求解. ②利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大 小,必须先看两角是否同属于这一函数的同一单调区间 内,不属于的,可先化至同一单调区间内.若不是同名 三角函数,则应考虑化为同名三角函数或用差值法(例如 与0比较,与1比较等)求解. ③若函数y=sin(ω x+φ )中ω <0,可用诱导公式将函 数变为y=-sin(-ω x-φ )的形式(目的是将x的系数变 为正),将“-ω x-φ ”视为一个整体,那么y=- sin(-ω x-φ )的增区间为y=sin(-ω x-φ )的减区间,

其减区间为y=sin(-ω x-φ )的增区间.对于函数 y=cos(ω x+φ ),y=tan(ω x+φ )(ω <0)等的单 调性的讨论同上. 6.三角函数的对称性.①解此类选择题最快捷的方式往 往是代入验证法;②对于函数f(x)=Asin(ω x+φ )+B, 如果求f(x)图象的对称轴,只需解方程sin(ω x+φ )= ±1,也就是令ω x+φ =2(π)+kπ (k∈Z)求x;如果求 f(x)图象的对称中心,只需解方程sin(ω x+φ )=0, 也就是令ω x+φ =kπ (k∈Z)求x;③对于较复杂的三 角函数表达式,有时可以通过恒等变换为②的情形.

类型五

三角函数图象的变换


例 1.函数 y=A sin(? x ? ?) 的部分图像如图所示,则(
) (A) y ? 2sin(2x ? ? 6 ) (B) y ? 2sin(2x ? ? 3

(C) y ? 2sin(2x+ ?)
6

(D) y ? 2sin(2x+ ?)
3

【解析】由图知, A ? 2 ,周期 T ? 2[ ? ? (? ? )] ? ? , 所以 ? ? 点(
?
3 2? 3 6

?

? 2 ,所以 y ? 2sin(2 x ? ? ) ,因为图象过

3 2? 2? ? sin( ? ? ) ? 1 ? ? ? 2 k ? ? (k ? Z) 所以 ,所以 3 3 2

, 2) ,所以 2 ? 2sin(2 ?

?

? ?) ,



? k ? 0 令 得, ? ? ? 6

,所以 y ? 2sin(2 x ?

?

6

),

故选 A.

例 2.某同学用 “ 五点法 ” 画函数 f ( x) ? Asin(? x ? ? ) (? ? 0, | ? |? π ) 在某
2

一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:
?x ? ?

0

π 2 π 3

π

3π 2 5π 6



x

A sin(? x ? ? )

0

5

?5

0

(Ⅰ)请将上表数据补充完整,填写在答题卡上相应位置 , ........... 并直接写出函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ) 将y?
f ( x)

图象上所有点向左平行移动?

(? ? 0)

个单位长

度,得到 y ? g ( x) 的图象. 若 y ? g ( x) 图象的一个对称中心为
( 5π , 0) ,求 ? 12

的最小值 .

【解析】 (Ⅰ)根据表中已知数据,解得 A ? 5, ? ? 2, ? ? ? π .
6

数据补全如下表:
?x ? ?

0
π 12

π 2 π 3

π

3π 2 5π 6


13 π 12

x

7π 12

A sin(? x ? ? )

0

5 .

0

?5

0

且函数表达式为

π f ( x) ? 5sin(2 x ? ) 6

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

π f ( x) ? 5sin(2x ? ) 6



) . 因为 y ? sin x 的对称 得 g ( x) ? 5sin(2x ? 2? ? π 6

中心为 (kπ, 0) , k ? Z .
kπ π ? kπ ,解得 x ? ? ? ? , k ?Z . 令 2 x ? 2? ? π 6 2 12
5π , 0) 成中心对称, 由于函数 y ? g ( x) 的图象关于点 ( 12

kπ π 5π kπ π ? ? ? ? ? ? ? 令 2 12 ,解得 12 2 3

, k ? Z . 由? ? 0 可知,

当 k ? 1 时, ?

取得最小值 .

π 6

【名师点睛】 1.根据y=Asin(ω x+φ ),x∈R的图象求解析式的步骤: (1)首先确定振幅和周期,从而得到A与ω . (Ⅰ)A为离开平衡位置的最大距离,即最大值与最小值的 差的一半. (Ⅱ)ω 由周期得到:①函数图象在其对称轴处取得最大 值或最小值,且相邻的两条对称轴之间的距离为函数的 半个周期;②函数图象与x轴的交点是其对称中心,相邻 两个对称中心间的距离也是函数的半个周期;③一条对 称轴与其相邻的一个对称中心间的距离为函数的4(1)个 周期(借助图象很好理解记忆).

3.五点法作函数图象,当明确了函数图象基本特征后, “描点法”是作函数图象的快捷方式.“五点法”作图 的优点是用简单的计算、列表、描点替代图形变换,不 易出错,且图形简洁.要注意根据 ω x+φ 应满足的五 个值,解出 x 的值.

【名师点睛】

求形如y=Asin(ω x+φ )或y=Acos(ω x+φ )(其中 A≠0,ω >0)的函数的单调区间,可以通过解不等式 的方法去解答,列不等式的原则是:①把“ω x+ φ (ω >0)”视为一个“整体”;②A>0(A<0)时,所 列不等式的方向与y=sin x(x∈R),y=cos x(x∈R) 的单调区间对应的不等式方向相同(反).

四、强化训练提高
1.若将函数 y ? 2sin 2 x 的图像向左平移 则平移后图象的对称轴为( (A) x ? (C) x ?
k? ? ? (k ? Z ) 2 6 k? ? ? (k ? Z ) 2 12

? 个单位长度, 12


k? ? ? (k ? Z ) 2 6 k? ? ? (k ? Z ) 2 12

(B) x ?

( D) x ?

【解析】由题意,将函数 y ? 2sin 2 x 的图像向左 平移
?
12

个单位得 y ? 2sin 2( x ?
?
6

) ? 2sin(2 x ? ) ,则平 12 6

?

?

移后函数的对称轴为 2 x ?
k? 即 x ? 6 ? 2 ,k ?Z

?

?
2

? k? , k ? Z



?

,故选 B.

2.将函数 y ? sin(2 x ?

?

) 图象上的点 P( , t ) 向左平移 s ( s ? 0 ) 3 4

?

个单位长度得到点 P ' ,若 P ' 位于函数 y ? sin 2 x 的图象上, 则(
1 2 1 2


?
6

A. t ? , s 的最小值为 C. t ?

B. t ?

3 2

s 的最小值为

?
6

s 的最小值为错误!未定义书签。

D.t ?

1 【解析】由题意得, t ? sin(2 ? ? ) ? ,故此时 P ' 所对应 4 3 2

?

?

? 3 s 的最小值为 3 2

的点为 (

? 1 ? ? ? , ) ,此时向左平移 - ? 12 2 4 12 6

个单位,故选 A.

3.先将函数 y ? 2sin x 的图像纵坐标不变,横坐标压缩 为原来一半,再将得到的图像向左平移 4.则所得图像的对称轴可以为( A. x ? ? ? C. x ? ? ?
12

?
12

个单位,



B. x ? 11?
12
6
? 12

6

D. x ? ?

【解析】 将函数 y ? 2 sin x 的图像纵坐标不变, 横坐标压缩为原 来一半得 y ? 2 sin 2 x ,再向左平移
y ? 2 sin 2( x ? ? ? ) ? 2 sin(2 x ? ) 12 6 ? 6

个单位得 ,即 x ?
k? ? (k ? Z ) ? 2 6

,令 2 x ?

? ? ? k? ? 6 2



当k

?0

时, x ?

,故选 D .

4.已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0, ?? ? ? ? 0) 的最小正周期是
? ,将函数 f ( x) 图象向左平移 个单位长度后所得的函数 3
?

图象过点 P(0,1) ,则函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ( (A)在区间 [? 6 , 3 ] 上单调递减 (B )在区间 [?
? ?
, ] 6 3 上单调递增



? ?

(C )在区间 [? 3 , 6 ] 上单调递减 (D )在区间 [?
? ?
, ] 3 6 上单调递增

? ?

【解析】依题

? ? 2 , f ( x) ? sin(2 x ? ? ) ,平移后得到的

2? 2? 函数是 y ? sin(2 x ? ? ? 3 ) ,其图象过(0,1) ,∴ sin(? ? 3 )=1 ,

因为 ?? ? ? ? 0 ,∴ ? ? ?

?

f ( x) ? sin(2 x ? ) ,故选 B. , 6 6

?

5.如果 cos ? ? 0 ,且 tan ? ? 0 ,则? 是( A.第一象限的角 C.第三象限的角



B.第二象限的角 D.第四象限的角

【解析】由 cos ? ? 0 ,且 tan ? ? 0 可知 sin ? ? 0 , 所以 ? 是第三象限的角.

6.如图,某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足 函数
y ? 3sin(

?
6

x ? ? ) ? k ,据此函数可知,这段时间水深(单位:

m )的最大值为( A .5 B.6

) C.8 D .10

【解析】由图象知: ymin ? 2 ,因为 ymin ? ?3 ? k , 所以 ?3 ? k ? 2 ,解得: k ? 5 ,所以这段时间水深 的最大值是 ymax ? 3 ? k ? 3 ? 5 ? 8 ,故选 C.

7.已知 sin ? ? cos ? ? 1 , ? ? ?0, ? ? ,则 tan ? ? (
5



A. ?

4 3

B. ?

3 4

4 C. 3
2

3 D. 4

1 24 【解析】由题设 (sin ? ? cos ? ) ? ,则 2 sin ? cos ? ? ? ,故 25 25 24 49 (sin ? ? cos ? ) 2 ? 1 ? ? ,所以 sin ? ? cos ? ? 7 , 25 25 5 1 4 3 sin ? ? cos ? ? sin ? ? , cos ? ? ? 与 联立解之可得 , 5 5 5 4 故 tan ? ? ? ,应选 A. 3

8.已知 sin(? ? ? ) ? , ? 是第四象限的角, 则 cos(? ? 2? ) =( A. 4
5

3 5

) C. ?
4 5

B.

D. 3
5

【解析】由题意,得 又因为 ? 是第四象限的角,所以 则 ;故选 A.

,即

, ,

9.角 ? 的终边在第一象限,则

sin sin

? ?
2 ? 2

cos cos

? ?
2 2



取值集合为 ( A. ??2,2? C. ?2?

) B.?0,2? D. ?0, ?2,2?
?
2

【解析】因为角 ? 的终边在第一象限,所以角 的终边
2 ? ?2 ,故选 A. + ? ? | sin | | cos | 2 2 2 sin

?

在第一象限或第三象限,所以

cos

?

10.已知函数 f ? x? ? sin ??x ? ? ??? ? 0? 的图象关于直线 x ? 且f? ??
? ? 0 ,如果存在实数 x0 ,使得对任意的 x 都有 ? 32 ?

?
32

对称

? ?

?? ? f ? x0 ? ? f ? x ? ? f ? x0 ? ? ,则 ? 的最小值是( 8? ?

) D.12

A.4

B. 6
? 2k? ,

C.8

【解析】由题设可知 ? ? ? ? ? ?

2 2 ? 3? 3? 3? ? ?? ? ? 2k? , ?? ? ? 2m? , k , m ? Z 2 2 8 4 ? 3? ?? , 8 4

3? ? ? ? ? ? 2m? , k , m ? Z 8 4 8 4

,或

,由此可得 ? ? ? ? 或

解之得 ? ? 2 或 ? ? 6 ,故应选 B.

11. 已知函数 f ? x ? ?
? 8 ?

2 sin ?? x ? ? ??? ? 0 ? 的图像关于直线 x ?

?
2

对称

3? ? ? 3? ? ? ? 1, f x 且f? 在区间 ? ? ? ? ? ? , ? ? 上单调,则 ? 可取数值的个数 ? 8 4?

为(

) D.4
?? ?

A.1 B. 2 C .3 【解析】由题设可知 ? ? ? ? ? ? ? 2k? , 3?

?

2 2 8 4 ? 3? 3? 3? ? ? ? ?? ? ? 2k? , ?? ? ? 2m? , k , m ? Z , 由此可得 ? ? 2 2 8 4 8 4 ? 3? ?? , 8 4

? 2m? , k , m ? Z

,或



解之得 ? ? 2 或 ? ? 6 ,故应选 B.

12.为了得到函数 y ? 4sin(2 x ? ? ) , x ? R 的图象,只需 把函数 y ? 4 sin( x ?
?
5 5 ) , x ? R 的图象上所有点的(



A.横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 B.纵坐标伸长到原来的 2 倍,横坐标不变
1 2 1 D.纵坐标缩短到原来的 2

C.横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变 倍,横坐标不变

【解析】函数 y ? 4 sin( x ?
1 原来的 2

?
5

) , x ? R 的图象横坐标缩短到

倍,纵坐标不变得到函数 y ? 4sin(2 x ? 5 ) , C.

?

x ? R 的图象,选

13.已知函数 y ? cos(? x ? ? )(? ? 0,| ? |? ? ) 的部分图象如图所示,则 ( )

A. ? ? 1, ? ? C. ? ? 2, ? ?

2? 3 2? 3

B. ? ? 1, ? ? ? D. ? ? 2, ? ? ?

2? 3

2? 3

【解析】由图象得
cos(2 ?

T 7? ? ? 2? ? ? ? ,T ? ? ? ,? ? 2 4 12 3 4 ? 2? 3

,所以由

?
3

? ? ) ? 1, 得 ? ? ?

,故选 D.

14.若 cos ? ? A. ?
4 2 9

1 ? ? ? ? ? ? ,则 cos ?? ? 2? ? ? ( 3 ?2 ?

?

) D.
4 2 9

B. ? 9

7

C. 9

7

1 1 ?? ? cos ? ? ? ? 【解析】由 ? 得 sin ? ? ? ,则 ? 2 3 3 ? ?
cos ?? ? 2? ? ? ? cos 2? ? 2 sin 2 ? ? 1 ? ? 7 9

,故选 B.

15.已知函数 f ? x ? ? 2sin ?? x ? ? ? ? ? ? ? 0, ?
?

?
2

?? ?

??

? 的部分图象如图 2?

所示,则把函数 f ? x ? 的图像向左平移 ? 后得到的函数图象
6

的解析式是(
A. y ? 2sin 2 x C. y ? 2sin ? ? 2x ?
?


B. y ? 2sin ? ? 2x ?
?

??
? 3?

??
? 6?

D. y ? 2sin ? ?x?
?

??
? 6?

3 5? ? 3? T ? ? ? ,T ? ? ,? ? 2 , 【解析】由图可知, 4 12 3 4

所以 所以

5? ? ? ? 5? ? f ? x ? ? 2sin ? 2x ? ? ? , f ? ? 2sin ? ? ? 2, ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 12 ? ? 6 ?
f ? x ? ? 2sin(2 x ? ) ,向左移 3 6



?

?

后得到 f ? x ? ? 2sin 2x .

16.将函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ( ? ? 0 , ?

?
2

?? ?

?
2

)图象上所

有点的横坐标缩短为原来的一半,再向右平移 ? 个
6

单位长度得到函数 y ? sin x 的图象,则 ? , ? 的值 分别为( A. 2 , 6
1

) B. 2,3
?

?

C. 2, 6

?

D. 2 , ? 6

1

?

【解析】将函数 y ? sin x 的图象向左平移平移 个单位长度 得到函数 y ? sin ? ?x?
?

? 6

??

?? ? ? 的图象,再将 y ? sin ? x ? ? 的图象图象上 6? 6? ?

所 有点的横坐标扩大为原来的二倍得到 y ? sin ? ? 即是函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ( ? ? 0 , ?
1 2

1 ?? x ? ? 的图象亦 6? ?2

?
2

?? ?

?
2

)的图象,所以

? , ? 的值分别为 , ,故选 A.

? 6

17.函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) ( ? ? 0 ,| ? |? 2 )的图象如图所示, 则 ? ? ____, ? ? ____.

?

【解析】由题意得, T ? ? ?
f (0) ? 2sin ? ? 1 ? sin ? ? 1 2

2?

?

? ? ? 2 ,又∵



∴ ? ? 6 ,故填: 2 , 6 .

?

?

18.定义在区间 [0,3? ] 上的函数 y ? sin 2x 的图象与 y ? cos x 的图象 的 交点个数是 .

【解析】由 sin 2x ? cos x ? cos x ? 0或sin x ? 1 ,因为 x ?[0,3? ] ,
2

所以 x ?

? 3? 5? ? 5? 13? 17?
2 2 , ,

, , , , ,共 2 6 6 6 6

7个

19.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? 2? ) 在 R 上的部分图象 如图所示,则 f (2014) 的值为___________.

【解析】由函数的图象可得 A ? 5 ,周期 T ? 以 ? ? ? .再由五点法作图可得
6

2?

?

? 11 - (?1) ? 12

,所

?
6

( ?1) ? ? ? 0 ,所以 ? ?

?
6

,故函

数 f ( x) ? 5 sin(

?
6

x?

?
6

) .故

f (2014) ? 5sin(

2014? ? 2015? ? 5 ? ) ? 5sin ? 5sin( ? ) ? 6 6 6 6 2



3 4? 20.已知 A 是角 ? 终边上一点,且 A 点的坐标为 ? ? , ?, ?5 5?

1 则 2sin ? cos ? ? cos2 ?





3 4 【解析】由题意 cos ? ? ,sin ? ? 5 5

,因此

1 1 25 ? ? . 2 2sin ? cos ? ? cos ? 2 ? 4 ? 3 ? ( 3)2 33 5 5 5

内部文件,请勿外传

21.已知 sin(3? ? ? ) ? 2sin( (1)
sin ? ? 4 cos ? 5sin ? ? 2 cos ?

3? ??) 2

,求下列各式的值.


3? ??) 2

(2) sin 2 ? ? sin 2? .
【解析】 (1)∵ sin(3? ? ? ) ? 2sin(
sin ? ? 2cos ?

,∴ ? sin ? ? ?2 cos ? ,即


? ?2 1 ?? 12 6

则原式 ? 10 cos ? ? 2 cos ?

2 cos ? ? 4 cos ?

.

(2)∵ sin ? ? 2cos ? ,即 tan a ? 2 ,
sin 2 ? ? 2sin ? cos ? tan 2 ? ? 2 tan ? 4 ? 4 8 ? ? ? ∴原式 ? sin 2 ? ? cos 2 ? tan 2 ? ? 1 4 ?1 5

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