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圆的一般方程.ppt6


4.1.2

圆的一般方程

课本121页

想一想
下列方程表示什么图形

1、(x-1)2+(y+2)2=4

以(1, -2)为圆心 ,以 2为半径的圆 配方
2、x2+y2-2x+4y+1=0 3、x2+y2+4x+6y+13=0

(x-1)2+(y+2)2=4 (x-2)2+(y+3)2=0 (x-1)2+(y+1)2=-1

以(1, -2)为圆心 ,以 2为半径的圆 X=2 ,Y=-3.
4、x2+y2-2x+2y+3=0

表示点(2,-3)

不存在满足方程的解,既不存在这样的点

有规律吗?
1、(x-1)2+(y+2)2=4 2、x2+y2-2x+4y+1=0



3、x2+y2+4x+6y+13=0 4、x2+y2-2x+2y+3=0

点 不存在这样的点

新课探究:
方程x2+y2+Dx+Ey+F=0在什么条件下表示圆?

x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2

配方: (1)当

D? ? E? D2 ? E 2 ? 4F ? ?x? ? ?? y ? ? ? 2? ? 2? 4 ?
2 2

D2 ? E 2 ? 4F ? 0

时,表示圆,
D2 ? E 2 ? 4F 2
? D E? ?- ,? ? ? 2 2?

? D E? 圆心 ? - , ? ? ? 2 2?

r?

(2)当 (3)当

D ? E ? 4F ? 0
2 2

时,表示点

D2 ? E 2 ? 4F ? 0

时,不表示任何图形

练习
? 1、判断下列方程是否表示圆?

(1) x ? y +2by ? b ? 0(b ? 0)
2 2 2

x2 ? ( y ? b)2 ? 2b2
以(0,-b)为圆心,以 2 b 为半径的圆

(2) x ? y ? 4x ? 6 y ? 13 ? 0
2 2

(3) x ? y ? 4x ? 6 y ? 15 ? 0
2 2

( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 0 表示点(2,3)

x ? 2, y ? 3

( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? ?2 不表示任何图形

2、方程 x ? y ? ax ? 2ay ? 2a ? a ? 1 ? 0 表示的图形是一个圆,求a的取值范围.
2 2 2

解:∵D2+E2-4F>0 ∴a2+4a2-4(2a2+a-1)>0 整理得 3a2+4a-4<0 解得-2<a<
2 3

例4 求过三点O(0,0),A(1,1),B(4,2) 的圆的方程,并求出这个圆的半径长和圆心坐标. y 解:设所求圆的方程为:
方法一: 几何方法
0
A(1,1) B(4,2)

x

例4.求过三点O(0,0),A(1,1),B(4,2) 的圆的方程,并求出这个圆的半径长和圆心坐标.
方法二:
待定系数法

解:设所求圆的一般方程为:

x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0(D ? E ? 4F ? 0)
2 2 2 2

因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上,则

? F=0 ? F=0 ? ? D+E+F+2=0 解得 ? D=-8 ? ? 4D+2E+F+20=0 ? E=6 ? ?
所求圆的方程为:

x2+y2-8x+6y=0 即(x-4)2+(y+3)2=25

例4.求过三点O(0,0),A(1,1),B(4,2) 的圆的方程,并求出这个圆的半径长和圆心坐标. 方法三: 解:设所求圆的标准方程为:
(x-a)2+(y-b)2=r2
待定系数法
因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上

?(a)2+(b)2=r2 ?(1-a)2+(1-b)2=r2 ? ?(4-a)2+(2-b)2=r2 ?
所求圆的方程为:

? a=4 ? 解得 ? b=-3 ? r=5 ?

即(x-4)2+(y+3)2=25

[小结]: 注意:求圆的方程时,要学会根据题目

条件,恰当选择圆的方程形式:
①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用 圆的标准方程较简单. ②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆 的一般方程用待定系数法求解. (特殊情况时,可借助图象求解更简单)

例3 已知线段AB的端点B的坐标是(4,3), 端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,求线段AB的中点 M的轨迹方程.
解:设点M的坐标是(x,y),点A的坐标为(x0,y0) y 由于B点坐标为(4,3),M为AB的中点, 所以 x0 ? 4 y0 ? 3 x? ,y? A 2 2 整理得 x0 ? 2x ? 4, y0 ? 2 y ? 3. 又因为点A在圆上运动,所以A点坐标满足 方程,又有(x0+1)2+y02=4 所以(2x-4+1)2+(2y-3)2=4
3 2 3 2 (x ? ) ? ( y ? ) ? 1 2 2
3 3 , )为圆心,1为半径的圆 2 2

B M x

o

整理得

所以,点M的轨迹是以(

课堂小结:

1.任一圆的方程可写成 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 的形式,但方程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0表示 的曲线不一定是圆,当2 ? E 2 ? 4F ? 0 时, D 1 D E 方程表示圆心为 , ? ) 半径为 D 2 ? E 2 ? 4 F (? 2 2 2 的圆.

2.用待定系数法求圆方程的基本步骤: (1)设圆方程 ;(2)列方程组; (3)求系数; (4)写出方程.

3.求轨迹方程的基本思想: 求出动点坐标x,y所满足的关系.

练习:求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圆的方程 解:设所求圆的方程为:

x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0(D ? E ? 4F ? 0)
2 2 2 2

因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
? 52 ? 12 ? 5D ? E ? F ? 0 ? 2 7 ? (?1) 2 ? 7 D ? E ? F ? 0 ? ? 2 2 ? 82 ? 2 D ? 8 E ? F ? 0 ?
? D ? ?4 ? ? ?E ? 6 ? F ? 12 ?

所求圆的方程为

x ? y ? 4x ? 6 y ? 12 ? 0 2 2 即 ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 25
2 2


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