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A2012届江苏省南通市通州区高三重点热点专项检测数学试卷(含附加题)及答案


2012 届通州区高三重点热点专项检测数学试题
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在相应位置上.
1 1.已知集合 A ? {1,cos? } , B ? {0, ,1} ,若 A ? B ,则锐角 ? ? ▲ . 2 z 2.若 z1 ? a ? 2i , z2 ? 3 ? 4i ,且 1 为 纯 虚 数,则 实 数 a 的 值为 ▲ . z2 3.某校高三年级学生年龄分布在 17 岁、18 岁、19 岁的人数分别为 500、400、200,现通过分层抽样从上 述学生中抽取一个样本容量为 m 的样本,已知每位学生被抽到 的概率都为 0.2 ,则 m ? ▲ . 开始 4.命题 p:函数 y ? tan x 在 R 上单调递增,命题 q: ?ABC 中, ▲ 命 ?A ? ?B 是 sin A ? sin B 的充要条件,则 p ? q 是 输入 p 题. (填“真”“假”) ? ? ? ? ? ? 5.平面向量 a 与 b 的夹角为 120? , a ? (0, 2) , | b |? 1 , 则 a ? b ? n ? 1, S ? 0 ▲ . 6.执行如图的程序框图,若输出 n ? 5 ,则整数 p 的最小值是 N S?p ▲ . Y ? x 2 ? 3x ? 1, x ≥ 0 7.设 f ( x) ? ? ,若 f (a) ? 3 ,则实数 a 的取值范围 x?0 S ? S ? 2n?1 ??2 x ? 7, 输出 n 是 ▲ . 2? 8.将函数 y ? sin(2 x ? ) 的图像向左平移至少 ▲ 个单位, 结束 3 n ? n ?1 可得一个偶函数的图像. 1 9.设函数 f ( x) ? , ? 1 ,若 a, b, c 成等差数列(公差不为零) x?b 则 f (a) ? f (c) ? ▲ . 10.设 a、b 是两条不同的直线, ?、? 是两个不同的平面,则下列四个命题: ①若 a⊥b,a⊥α,b ? α,则 b∥α; ②若 a∥α,a⊥β,则 α⊥β; ③若 a⊥β,α⊥β,则 a∥α 或 a ? α; ④若 a⊥b,a⊥α,b⊥β,则 α⊥β. 其中正确命题的序号有 ▲ . 11.在 ?ABC 中, AB ? 3AC , AD 是 ?A 的平分线,且 AD ? mAC ,则实数 m 的取值范围是 ▲ . 2 12.设函数 f ( x) ? sin x ? ▲ . ? m ( x ? R, m ? R) 最大值为 g (m) ,则 g (m) 的最小值为 3 ? sin x

13.已知 a, b ? R , ? C1 : x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? a 2 ? 5 ? 0 与 ? C2 : x2 ? y 2 ? (2b ? 10) x ? 2by ? x ?x y ? y2 且 则实数 b 的值为 ▲ . ? 0, 2b2 ? 10b ? 16 ? 0 交于不同两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 1 2 ? 1 y1 ? y2 x1 ? x2 1 14. 已知等比数列 {an } 满足 a1 ? 1 ,0 ? q ? , 且对任意正整数 k ,ak ? (ak ?1 ? ak ? 2 ) 仍是该数列中的某一项, 2 则公比 q 的取值集合为 ▲ . 二、解答题:本大题共六小题,共计 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ? ? ? 15. (本小题满分 14 分)已知向量 a ? (sin ? , ?2) 与 b ? (1, cos ? ) 互相垂直,其中 ? ? (0, ) . 2 10 ? (1)求 sin ? 和 cos? 的值; (2)若 sin(? ? ? ) ? , ? ? (0, ) ,求 cos ? 的值. 10 2

数学试卷

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16. (本小题满分 14 分)已知 PA ? 矩形 ABCD 所在平面, PA ? AD ? 2AB , E 为线段 PD 上一点, G 为 PE 线段 PC 的中点. (1)当 E 为 PD 的中点时,求证: BD ? CE ; (2)当 ? 2 时,求证:BG//平面 AEC. ED P

G A

E

D

B

C

17. (本小题满分 14 分)某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品,估计能获得 10 万元~1000 万元的 投资收益.现准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金 y(单位:万元)随投资收益 x(单位:万元) 的增加而增加,且奖金不超过 9 万元,同时奖金不超过投资收益的 20%.现有两个奖励方案的函数模型: x (1) y ? (2) y ? 4lg x ? 3 .试问这两个函数模型是否符合该公司要求,并说明理由. ?2; 150

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 上的一动点 P 到右焦点的最短距离为 2 ? 2 , a 2 b2 且右焦点到右准线的距离等于短半轴的长. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设 P ? 4,0 ? , A, B 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两个不同的点,连结 PB 交椭圆 C 于另一点 E ,证

18. (本小题满分 16 分)已知椭圆 C :

明直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q ;

???? ???? ? (3)在(2)的条件下,过点 Q 的直线与椭圆 C 交于 M , N 两点,求 OM ? ON 的取值范围.

数学试卷

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19. (本小题满分 16 分)函数 f ( x) ? x ?

a ln x ,其中 a 为常数. x (1)证明:对任意 a ? R ,函数 y ? f ( x) 图像恒过定点; (2)当 a ? 1 时,不等式 f ( x) ? 2b ≤ 0 在 x ? (0, ??) 上有解,求实数 b 的取值范围;

(3)若对任意 a ? ? m,0 ? 时,函数 y ? f ( x) 在定义域上恒单调递增,求 m 的最小值.

20. (本小题满分 16 分) 数列 {an } 中, a1 ? 1 , a3 ? 7 ,且 an ?1 ? (1)求 a2 及 {an } 的通项公式;

nan ? 1 (n ≥ 2) . n ?1

(2)设 ak 是 {an } 中的任意一项,是否存在 r , p ? N ? (r ? p ? k ) ,使 ak , a p , ar 成等比 数列?如存在,试分 别写出 p 和 r 关于 k 的一个表达式,并给出证明; .. (3)证明:对一切 n ? N ? , ?
i ?1 n

1 7 ? . ai2 6

数学试卷

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2012 届高三重点热点专项检测数学附加题
21.本题包括高考 A,B,C,D 四个选题中的 B,C 两个小题,每小题 10 分,共 20 分.把答案写在答 题卡相应的位置上.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. B.选修 4—1:矩阵与变换 ?1? 已知二阶矩阵 A 有特征值 ?1 ? 1 及对应的一个特征向量 e1 ? ? ? 和特征值 ?2 ? 2 及对应 ?1?
?1 ? 的一个特征向量 e2 ? ? ? ,试求矩阵 A. ?0?

C.选修 4—4:极坐标与参数方程 ? x ? cos ? ? sin ? 将参数方程 ? ,(? 为参数 ) 化为普通方程. ? y ? sin 2?

22. 【必做题】本题满分 10 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 由数字1,2,3,4组成五位数 a1a2 a3 a4 a5 ,从中任取一个.
k (1 ? k ? 5 ,且 k ? j ) ,使得 a j ? ak ”的概率;

(1)求取出的数满足条件:“对任意的正整数 j ?1 ? j ? 5 ? ,至少存在另一个正整数 (2)记 ? 为组成该数的相同数字的个数的最大值,求 ? 的概率分布列和数学期望.

23. 【必做题】本题满分 10 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 求证:对于任意的正整数 n , (2 ? 3)n 必可表示成 s ? s ? 1 的形式,其中 s ? N ? .

数学试卷

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2012 届高三重点热点专项检测数学参考答案及评分标准
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. ? 8 1. 2. 3.220 4.真 5. 3 6.8 3 3 5 3 3 8. ? 9.2 10.①②③④ 11. (0, ) 12. 12 4 2 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. ? ? 15.解: (1)∵ a ? b ,∴ sin? ? 2cos? ? 0 , 又 sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 ,且 ? ? (0, ) , 2 2 5 5 ∴ sin ? ? , cos? ? . 5 5 (2)∵ ? ? (0, ) , ? ? (0, ) , 2 2
10 ? ? ∴ ? ? ? ? (? , ) ,又 sin(? ? ? ) ? , 10 2 2 3 10 ∴ cos(? ? ? ) ? , …………………10 分 10 ∴ cos ? ? cos ?? ? (? ? ? )? ? cos? cos(? ? ? ) ? sin ? sin(? ? ? )
5 3 10 2 5 10 2 ? ? ? ? . 5 10 5 10 2 16. (1)过点 E 作 EQ ? AD 于 Q,连结 CQ , ?

7. ?a | a ? 0 或 a ? 4? 13.

5 3

14. { 2 ? 1}

?

…………………………6 分

?

?

……………14 分

CD 2 DQ 2 , tan ?QCD ? , ? ? CD 2 BC 2 所以 ?DBC ? ?QCD ,又 ?QDC ? ?BCD ? 90? , ∴ Rt ?DBC ? Rt ?QCD ,则易得 BD ? CQ . ∵ PA ? 平面 ABCD,∴ PA ? BD ,又 PA // EQ ,

则 tan ?DBC ?

∴ BD ? EQ ,又 CQ ? EQ ? Q ,∴ BD ? 平面 ECQ, ∴ BD ? CE . ………………7 分 (2)取 PE 的中点 F,连接 GF,BF, ∵G 为 P C 的中点, ∴GF//CE,又 GF ? 平面 ACE, CE ? 平面 ACE, ∴GF//平面 ACE,连接 BD 交 AC 与点 O,连接 OE. ∵E 为 DF 的中点, ∴BF//OE,又 BF ? 平面 ACE, OE ? 平面 ACE ∴BF//平面 ACE,∵ BF ? GF ? F , ∴平面 BGF//平面 AEC. 又 BG ? 平面BGF ,∴BG//平面 AEC. …………………………14 分 17.解:设奖励函数模型为 y=f(x),由题意可知该公司对函数模型应满足下列条件: 1 当 x∈[10,1000]时,①f(x)是增函数;②f(x)≤9 恒成立;③ f ( x) ≤ x 恒成立. 5 x ①对于函数模型 f ( x) ? ?2: 150
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当 x∈[10,1000]时,f(x)是增函数,则 f ( x)max ? f (1000) ?

所以 f(x)≤9 恒成立. f ( x) 1 2 因为函数 ? ? 在[10,1000]上是减函数, x 150 x 1 2 1 ? f ( x) ? 所以 ? ? ? 150 ? 10 ? 5 . ? x ? max 1 从而 f ( x) ≤ x 不恒成立. 5 故该函数模型不符合公司要求. ………………7 分 ②对于函数模型 f(x)=4lgx-3: 当 x∈[10,1000]时,f(x)是增函数,则 f ( x)max ? f (1000) ? 4lg1000 ? 3 ? 9 . 所以 f(x)≤9 恒成立. ………………9 分 x 4lg e 1 设 g(x)=4lgx-3 ? ,则 g ?( x) ? ? . 5 x 5 4lg e 1 2lg e ? 1 lg e2 ? 1 当 x≥10 时, g ?( x) ? ? ≤ ? ?0, x 5 5 5 所以 g(x)在[10,1000]上是减函数,从而 g(x)≤g(10)=-1<0, x x 1 所以 4lgx-3 ? <0,即 4lgx-3< ,所以 f ( x) ≤ x 恒成立. 5 5 5 故该函数模型符合公司要求. ………………14 分 ?a ? c ? 2 ? 2 ?a ? 2 ? ? 18.解: (1)由题意知 ? a 2 , 解得 ? , ?b ? 2 ? ? ?c ?b ?c 2 x y2 故椭圆 C 的方程为 ? …………………4 分 ?1 . 4 2 (2)由题意知直线 PB 的斜率存在,设直线 PB 的方程为 y ? k ( x ? 4) .
? y ? k ( x ? 4), ? 由 ? x2 y 2 得 ( 2 2 ? 1 x2 ? 1k 2 x? 3k2 ? k ) 6 2 ? ? 1. ? ?4 2 设点 B( x1 , y1 ) , E ( x2 , y2 ) ,则 A( x1 , ? y1 ) . y ? y1 直线 AE 的方程为 y ? y2 ? 2 ( x ? x2 ) . x2 ? x1 y (x ? x ) 令 y ? 0 ,得 x ? x2 ? 2 2 1 . y2 ? y1 将 y1 ? k ( x1 ? 4) , y2 ? k ( x2 ? 4) 代入, 2 x x ? 4( x1 ? x2 ) 整理,得 x ? 1 2 . ② x1 ? x2 ? 8
?. 0 ① 4

1000 20 ?2? ?2?9. 150 3 ………………3 分

由①得 x1 ? x2 ?

16k 2 32k 2 ? 4 , x1 x2 ? 代入② 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

整理,得 x ? 1 . 所以直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q(1,0) . (3)当过点 Q 直线 MN 的斜率存在时,
? y ? m( x ? 1), ? 由 ? x2 y 2 ? 1. ? ? ?4 2

………10 分

设直线 MN 的方程为 y ? m( x ? 1) , M ( xM , yM ) , N ( xN , yN ) . 得 ( 2 2 ? 1 x2 ? m2 x? 2 2 ? 4 . 0 m ) 4 m ?

数学试卷

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4m2 2m 2 ? 4 3m2 , xM xN ? , yM yN ? ? 2 . 2m2 ? 1 2m 2 ? 1 2m ? 1 ???? ???? ? 2m2 ? 4 3m2 m2 ? 4 1 7 1 则 OM ? ON ? xM xN ? yM yN ? . ? ?? 2 ?? ? ? 2 2 2m ? 1 2m ? 1 2m ? 1 2 2 2m 2 ? 1 1 7 1 1 因为 m2 ? 0 ,所以 ?4 ≤ ? ? ? 2 ?? . 2 2 2m ? 1 2 ???? ???? ? 1 所以 OM ? ON ? [?4, ? ) . 2 当过点 Q 直线 MN 的斜率不存在时,其方程为 x ? 1 .

∴ xM ? xN ?

6 6 ) , N (1, ? ) . 2 2 ???? ???? ? 1 此时 OM ? ON ? ? . 2 ???? ???? ? 1 所以 OM ? ON 的取值范围是 [?4, ? ] . 2 19.解: (1)令 ln x ? 0 ,得 x ? 1 ,且 f (1) ? 1 , ∴函数 y ? f ( x) 图像恒过定点 (1,1) . ln x (2)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? , x x 2 ? ln x ? 1 1 ? ln x ∴ f ?( x) ? 1 ? ,即 f ?( x) ? , x2 x2 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 .

解得 M (1,

……………16 分 …………………2 分

x (0,1) f ?( x) - f(x) ∴ f min ( x) ? f (1) ? 1 , ∵ f ( x) ? 2b ≤ 0 在 x ? (0, ?? )上有解,

1 0 极小值

(1,+∞) +

1 ∴ ?2b ≥ f min ( x) ,即 ?2b ≥1 ,∴实数b的取值范围为 (??, ? ] .…………9分 2 x2 ? a ln x ? a a ? a ln x (3) f ?( x) ? 1 ? ,即 f ?( x) ? ,令 g ( x) ? x2 ? a ln x ? a , x2 x2 由题意可知,对任意 a ?[m,0) , f ?( x) ≥0 在 x ? (0, ??) 恒成立,

即 h( x) ? x2 ? a ln x ? a ≥ 0 在 x ? (0, ??) 恒成立. ∵ h?( x) ? 2 x ? 列表如下: x
h?( x)
a a a 2 x2 ? a ,令 h?( x) ? 0 ,得 x ? ? ? (舍)或 ? . ? 2 2 x x

(0, ?

a ) 2

?

a 2

( ?

- 0 h(x) 极小值 ? ? ? a a 3 ∴ hmin ( x) ? h( ? ) ? ? ln ? ? ? a ≥ 0 ,解得 a ≥ ?2e3 . ? 2 2 2? ? ? 3 ∴m的最小值为 ?2e . 2a ? 1 20.解: (1) a3 ? 2 ,故 a2 ? 4 . 1 1 an ? an ?1 n ? an ? ( 1 ? 1 ) ? n≥ 2 时, n n ?1 n ?1 n ?1 n
数学试卷

a ,+∞) 2 + ?

………16分 ………1 分

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an ?1 ? 1 an ? 1 ? a ? 1? ,∴ ? n ? ? 为常数列. n n ?1 ? n ?1 ? a ?1 4 ?1 ∴ n ,所以 an ? 3n ? 2(n ≥ 2) . ? n ?1 2 ?1 又 a1 ? 1 也满足上式,



………………4 分

∴ {an } 的通项公式为 an ? 3n ? 2(n ? N ) .

?

……………6 分

(2)当 p ? 4k ? 2 , r ? 16k ? 10 时满足 ak , a p , ar 成等比数列. 证明如下: a p ? a4k ? 2 ? 4(3k ? 2) , ar ? a16k ?10 ? 16(3k ? 2) , 显然 ak , a p , ar 成等比数列. (3)证明: k ≥ 2 时, 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ( ? ), 2 2 ak (3k ? 2) (3k ? 4)(3k ? 1) 3 3k ? 4 3k ? 1 ………………10 分 ……12 分

∴当 n≥ 2 时, n n 1 1 1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ? 1 ? a2 ? 1 ?? a2 ? 1 ? 3 ?? 2 ? 5 ? ? ? 5 ? 8 ? ? ? ? ? ? ? 3n ? 4 ? 3n ? 1 ?? ? ? ? ? ?? i ?1 i i ?2 i ??
1? 1 1 ? 7 ………………15 分 ?1? ? ? ?? . 3? 2 n ? ? 3 1 6 n 1 7 1 7 又 n ? 1 时, 2 ? 1 ? ,∴对一切 n ? N ? , ? 2 ? . ………16 分 a1 6 6 i ?1 ai

附加题参考答案
?a b ? 21B.解:设矩阵 A ? ? ? ,其中 a , b , c , d ?R , ?c d ? ?1? ?1 ? a ? b ? ?1? ? 0? ? 因为 ? ? 是矩阵 A 的属于 ?1 ? 1 的特征向量,则有 ? ①, 1 ? d ? ?1? ?0? ? ?c ?? ? ? ? ?1? ?1 ? ? 2 ? a ? b ? ?1 ? ?0 ? 又因为 ? ? 是矩阵 A 的属于 ?2 ? 2 的特征向量,则有 ? ②, ?6 分 ? 1 ? d ? ?0? ?0? ? ?c ?? ? ? ? ?0 ?

?1 ? a ? b ? 0 , ? ?c ? 1 ? d ? 0 , ? 由①②得 ? ?2 ? a ? 0 , ? ?c ? 0 , ?
? 2 ? 1? 解得 a ? 2, b ? ?1, c ? 0, d ? 1, 因此 A ? ? ? , ?0 1? ? x ? cos? ? sin ? (1) 21C.解: ? , (2) ? y ? sin 2?

???8 分

?10 分

将 (1) 式平方得 x 2 ? 1 ? sin 2?
2
2

(3) ,

将(2)式代入(3)式得 x ? 1 ? y , 所以所求的普通方程为 y ? x ? 1(? 2 ≤ x ≤ 2) .
5

??8分 ?10分

22.解: (1)由数字 1,2,3,4 组成的五位数 a1a2 a3 a4 a5 共有 4 个数,满足条件的数分为 两类: 2 ①只有一个数组成共有 4 个;②由两个数字组成,共有 C4 ? C52 ? 2 ? 120 个, 124 31 ∴所求的概率为 p ? 5 ? . ……………4 分 4 256 (2) ? 的可能取值为 2,3,4,5,
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1 3 3 1 2 C4 ? A5 ? C4 ? C32 ? C5 ? C4 150 , ? 5 4 256 C 3 ? C1 ? 32 90 , P(? ? 3) ? 5 54 ? 4 256 C 4 ? C1 ? C1 15 , P(? ? 4) ? 5 54 3 ? 4 256 4 1 . P(? ? 5) ? 5 ? 4 256 ∴ ? 的分布为:

则 P(? ? 2) ?

?????6 分

?
P

2

3

4

5

150 256

90 256

15 256

1 256
635 . 256

∴ E? ? 2 ? P(? ? 2) ? 3 ? P(? ? 3) ? 4 ? P(? ? 4) ? 5 ? P(? ? 5) ?
635 . 256 23.解:由二项式定理可知,

?????9 分 ?????10 分

答: ? 的数学期望为

0 (2 ? 3) n ? Cn 2n

? 3?

0

1 ? Cn 2n ?1

? 3? ? C 2 ? 3?
1 2 n n?2

2

n ? ? ? Cn 2 0

? 3? ,
n

设 (2 ? 3)n ? x ? 3 y ? x 2 ? 3 y 2 , 而若有 (2 ? 3)n ? a ? b , a, b ? N ? , 则 (2 ? 3)n ? a ? b , a, b ? N ? , ∵ ( a ? b ) ? ( a ? b ) ? (2 ? 3) ? (2 ? 3) ? 1 ,
n n

???????6 分 ???????9 分

∴令 a ? s, s ? N ? ,则必有 b ? s ? 1 .

∴ (2 ? 3)n 必可表示成 s ? s ? 1 的形式,其中 s ? N ? . ???????10 分 注:本题也可用数学归纳法证明,证明正确的也给相应的分数.

数学试卷

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