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2019年人教版必修五高中数学2.4第2课时等比数列的性质优质课课件_图文

第2课时 等比数列的性质 定义:一般地,如果一个数列从第2项起, 每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么 这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数 列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0). a n ?1 ? q(q 是与 n 无关的数或式子 , 且 q ? 0) an an , …, 如果一个数列 a1, a 2 , a3 , …, 是等比数列,它的公比是q,那么 a2 a3 a4 a5 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 q 2 q ? a1 q 3 q ? a1 q 4 q ? a1 q … 由此可知,等比数列 ?a n ? 的通项公式为 ?1 a n ? a 1 q n( a 1 , q ? 0) 1.理解并掌握等比数列的性质及其初步应用. (重点、难点) 2.引导学生学习观察、类比、猜测等推理方法, 提高学生分析、综合、抽象、概括等逻辑思维能 力. 探究点1:等比数列的图象 观察数列 (1) 1,2,4,8,16,… 1 1 1 ( 2 )???8 , 4 , 2 , 1, , , , 2 4 8 公比 q=2 公比 q= 1 2 (3) 4,4,4,4,4,4,4,… 公比 q=1 (4) 1,-1,1,-1,1,-1,1,… 公比 q=-1 通过图象观察性质 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 O ● ● ● 等比数列的图象1 数列:1,2,4,8,16,… ● 递增数列 ● 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 O 等比数列的图象2 ● 1 1 1 数列: 8 , 4 , 2 ,1, , , , ? 2 4 8 递减数列 ● ● ● ● ● ● 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 等比数列的图象3 数列:4,4,4,4,4,4,4,… 常数列 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 O -1 ● ● 等比数列的图象4 数列:1,-1,1,-1,1,-1,1, 摆动数列 ● ● ● 1 ● 2 3 ● 4 5 ● 6 7 ● 8 9 10 ● 【即时练习】 在6和768之间插入6个数,使它们组成共8项的等比 192 . 数列,则这个等比数列的第6项是________ 【解析】a8=a1q7,768=6q7,∴q=2, ∴a6=6×25=192. 探究点2:等差、等比数列的性质比较 类比等差数列的性质,等比数列有哪些性质呢? 提示: 等差数列 定义 常数 数学表 达式 通项公 式证明 通项 公式 an-an-1=d (n≥2) 减—除 加—乘 迭加法 加-乘 迭乘法 an ? q ( q ? 0, n ? 2) a n ?1 等比数列 等比数列用“比”代替了等差数列中的“差” a n ? a1 ? (n ? 1)d a n ? a 1 ? q n ? 1 ( a 1,? q ? 0 ) 乘—乘方 由等差数列的性质,猜想等比数列的性质 {an}是公差为d的等差数列 {bn}是公比为q的等比数列 性质1: an=am+(n-m)d 性质2:若an-k,an,an+k 是{an}中的三项 , 则2an=an+k+ an-k 性质3: 若n+m=p+q, 则am+an=ap+aq 猜想1: b n ? b m q n ? m 若bn-k,bn,bn+k 猜想2: 是{bn}中的三项,则 b2 n ? b n?k b n?k 猜想3:若n+m=p+q,则 bn·bm=bp·bq 性质4:从原数列中取出偶 猜想4:从原数列中取 数项组成的新数列公差为 出偶数项,组成的新 2 数列公比为 (可推 q 2d.(可推广) 广) 性质5: 若{cn}是公差为 d′的等差数列,则数列 {an+cn}是公差为d+d′的等 差数列. 猜想5: 若{dn}是公比为 q′的等比数列,则数列 {bn?dn}是公比为 q·q′的等比数列. 【知识提升】 若数列{an}是公比为q的等比数列,则 (1)当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时, {an}是递增数列; 当q>1, a1<0或0<q<1,a1>0时, {an}是递减数列; 当q=1时, {an}是常数列; 当q<0时, {an}是摆动数列. (2)an≠0,且anan+2>0. (3)an=amqn-m(n,m∈N*). (4)当n+m=p+q(n,m,p,q∈N*)时,有anam=apaq. (5)当{an}是有穷数列时,与首末两项等距离的两 项的积都相等,且等于首末两项的积. (6)数列{λ an}(λ 为不等于零的常数)仍是公比 为q的等比数列. (7)若{bn}是公比为q′的等比数列,则数列{an? bn } 是公比为qq′的等比数列. ?1? 1 (8)数列 ? a ?是公比为 q 的等比数列. ? n? (9)在{an}中,每隔k(k∈N*)项取出一项,按原来顺序排 列,所得的新数列仍为等比数列,且公比为qk+1. (10)当m,n,p(m,n,p∈N*)成等差数列时, am , an , ap 成等比数列. 【即时练习】 在等比数列{an}中,an>0,a2 a4+2a3a5+a4a6=36, 6 那么a3+a5=_______. 例 已知{an}、{bn}是项数相同的等比数列,求 证{an?bn}是等比数列. 分 析 : 当数 列?a n ?、b ? n ? 是 项数 相同的 两个 等差 数 列 时 , 数 列?pa n + qb n ? ? 其中p,q是常 数 ? 也是等差 数 列

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