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_直角三角形的射影定理__图文

直角三角形中的成比例线段

1.射影: (1)太阳光垂直照在A点,留在直线MN上 B 的影子应是什么? (2)线段留在MN上的影子是什么? M
B’

.

A

A’ N B

定义: 过线段AB的两个端点分别作直线l的垂线, A l 垂足A’,B’之间的线段A’B’叫做线段AB在 A’ 直线l上的正射影,简称射影。

B’

直角三角形中的成比例线段

各种线段在直线上的射影的情况: A B A

A B’
l

A’

B’

l

A’

A’

B B’ l

B

如图,CD是 Rt?ABC 的斜边AB的高线
这里:AC、BC为直角边,AB为斜边, CD是斜边上的高 AD是直角边AC在斜边AB上的射影, BD是直角边BC在斜边AB上的射影。
A

C

D

B

(2)图形语言: 如图,在Rt△ABC中,CD为斜边AB上的高, BD 则有CD2= AD· , AB AC2= AD· , AB BC2= BD· .

直角三角形中的成比例线段

直角三角形中,斜边上的高线是两条

直角边在斜边上的射影的比例中项, 每一条直角边是这条直角边在斜边 上 的射影和斜边的比例中项.
这就是射影定理

直角三角形中的成比例线段

具体题目运用:

? 2 CD? AB AC ? AD ? AB CD 2 ? AD ? DB

AC? BC

?

?

C

BC ? BD ? AB
2

A

D

B

根据应用选取相应的乘积式。

C

利用射影定理证明勾股定理:
2 2

A

D

B

AC ? BC ? AD ? AB ? BD ? AB ? AB

2

射影定理只能用在直角三角形中,且必须

有斜边上的高

这里犯 迷糊, 可不行!

[例1]

如图,在Rt△ABC中,CD为

斜边AB上的高,若AD=2 cm,DB=6 cm, 求CD,AC,BC的长. [思路点拨] 在直角三角形内求线段

的长度,可考虑使用勾股定理和射影定理.

[解]

∵CD2=AD· DB=2×6=12,

∴CD= 12=2 3(cm). ∵AC2=AD· AB=2×(2+6)=16, ∴AC= 16=4(cm). ∵BC2=BD· AB=6×(2+6)=48, ∴BC= 48=4 3(cm). 故 CD、AC、BC 的长分别为 2 3 cm,4 cm,4 3 cm.

(1)在Rt△ABC中,共有AC、BC、CD、AD、BD和 AB六条线段,已知其中任意两条,便可求出其余四条.

(2)射影定理中每个等积式中含三条线段,若已知两
条可求出第三条.

1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°, CD是AB上的 高.已知BD=4,

AB=29,试求出图中其他未知线 段的长.

解:由射影定理,得 BC2=BD· AB, ∴BC= BD· AB= 4×29=2 29. 又∵AD=AB-BD=29-4=25. 且 AC2=AB2-BC2, ∴AC= AB2-BC2= 292-4×29=5 29. ∵CD2=AD· BD, ∴CD= AD· BD= 25×4=10.

2.已知:CD 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上的高,如果两 直角边 AC,BC 的长度比为 AC∶BC=3∶4. 求:(1)AD∶BD 的值; (2)若 AB=25 cm,求 CD 的长.

解:(1)∵AC2=AD· AB, BC2=BD· AB, AD· AB AC2 ∴ = . BD· AB BC2 AD AC 2 3 2 9 ∴BD=(BC) =( ) = . 4 16 (2)∵AB=25 cm,AD∶BD=9∶16, 9 ∴AD= ×25=9(cm), 9+16 16 BD= ×25=16(cm). 9+16 ∴CD= AD· BD= 9×16=12(cm).

[例2]

如图所示,CD垂直平分AB,

点E在CD上,DF⊥AC,DG⊥BE,F、 G分别为垂足.

求证:AF· AC=BG· BE.

[思路点拨]

先将图分解成两个基本图形(1)(2),再

在简单的图形中利用射影定理证明所要的结论.

[证明] ∵CD垂直平分AB, ∴△ACD和△BDE均为直角三角形,且AD=BD.

又∵DF⊥AC,DG⊥BE,
∴AF· AC=AD2, BG· BE=DB2. ∵AD2=DB2, ∴AF· AC=BG· BE.

将原图分成两部分来看,就可以分别在两个三角
形中运用射影定理,实现了沟通两个比例式的目 的.在求解此类问题时,关键就是把握基本图形,从 所给图形中分离出基本图形进行求解或证明.

直角三角形中的成比例线段

?运用射影定理时,注意前提条件 ?求边注意联系方程与勾股定理 ?如图中共有6条线段,已知任意2条, C 求其余线段。
A

D

B

3.Rt△ABC中有正方形DEFG, 点D、G分别在AB、 AC上,

E、F在斜边BC上.
求证:EF2=BE· FC.

证明:过点 A 作 AH⊥BC 于 H. 则 DE∥AH∥GF. DE BE GF FC ∴AH=BH,AH=CH. DE· GF BE· FC ∴ = . AH2 BH· CH 又∵AH2=BH· CH, ∴DE· GF=BE· FC. 而 DE=GF=EF, ∴EF2=BE· FC.

4.如图所示,设 CD 是 Rt△ABC 的斜边 AB 上的高. 求证:CA· CD=BC· AD. 证明:由射影定理知:
CD2=AD· BD, CA2=AD· AB, BC2=BD· AB. ∴CA· CD= AD2· AB=AD· BD· BD· AB, BC· AD=AD· AB· BD. 即 CA· CD=BC· AD.


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