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【章节训练】1.1+分类加法计数原理与分步乘法计数原理++-1


【章节训练】1.1 分类加法计数原理与分步乘法计 数原理 -1

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【章节训练】1.1 分类加法计数原理与分步乘法计 数原理 -1
一、选择题(共 10 小题) 1. (2011?重庆二模)有一名同学在填报高考志愿时选定了某院校以后,需从该院校所设的 A、B、C 三个专业中选 择两个作为第一专业和第二专业,再从剩余的一个专业和该院校所设的其他三个专业 D、E、F 中选择两个作为第 三专业和第四专业,则该同学填报这个院校专业的方式有( ) A.36 种 B.48 种 C.72 种 D.96 种 2. (2014?丰台区一模)如果某年年份的各位数字之和为 7,我们称该年为“七巧年”.例如,今年年份 2014 的各位 数字之和为 7,所以今年恰为“七巧年”.那么从 2000 年到 2999 年中“七巧年”共有( ) A.24 个 B.21 个 C.19 个 D.18 个 3. (2010?昌平区二模)2010 年的自主招生工作,部分高校实施校长实名推荐制.某中学获得推荐 4 名学生的资格, 可以选择的大学有三所,而每所大学至多接受该校的 2 名推荐生,那么校长推荐的方案有( ) A.18 种 B.24 种 C.36 种 D.54 种 4. (2012?南充三模)用数字 0、1、2、3、4、5 组成,没有重复数字且大于 201345 的六位数的个数为( A.480 B.478 C.479 D.600 )

5. (2014?江西二模)某高校的 8 名属“老乡”关系的同学准备拼车回家,其中大一、大二、大三、大四每个年级各两 名,分乘甲、乙两辆汽车,每车限坐 4 名同学(乘同一辆车的 4 名同学不考虑位置) ,其中大一的孪生姐妹需乘同 一辆车,则乘坐甲车的 4 名同学恰有 2 名来自于同一年级的乘坐方式共有( ) A.18 种 B.24 种 C.36 种 D.48 种 6. (2010?沈阳模拟)已知某旅店有 A,B,C 三个房间,房间 A 可住 3 人,房间 B 可住 2 人,房间 C 可住 1 人, 现有 3 个成人和 2 个儿童需要入住,为确保安全,儿童需由成人陪同方可入住,则他们入住的方式共有( ) A.120 种 B.81 种 C.72 种 D.27 种 7. (2010?德阳二模)2010 年上海世博会即将开幕,为了更加有效地让人们关注、了解和参与这次盛会,上海市市 政管理委员会欲在某步行街的一侧如图所示的 6 块有关世博会的宣传广告牌,每块广告牌的底色可选用蓝、红两种 颜色中的一种.若要求相邻的两块广告牌的底色不能同为红色,则不同配色方案的种数为( )

A.20

B.21

C.30

D.31

8. (2010?唐山二模)从 0,1,2,3,4,5,6 中任取 3 个数字组成没有重复数字的 3 位数,基中能被 5 整除的数 共有( ) A.30 个 B.50 个 C.55 个 D.90 个 9. (2010?宜春模拟)25 人排成 5×5 方阵,从中选出 3 人,要求其中任意 2 人既不同行也不同列,则不同的选法为 ( ) A.60 种 B.100 种 C.300 种 D.600 种

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www.jyeoo.com 10. (2012?浦东新区三模)把一张纸片剪成 4 块,再从所得的纸片中任取若干块,每块又剪成 4 块,像这样依次地 进行下去,到剪完某一次为止.那么在下面四个数中,可能是剪出的纸片数的是( ) A.1001 B.1002 C.1003 D.1004 二、填空题(共 10 小题) (除非特别说明,请填准确值) 11. (2008?重庆)某人有 4 种颜色的灯泡(每种颜色的灯泡足够多) ,要在如图所示的 6 个点 A、B、C、A1、B1、 C1 上各装一个灯泡,要求同一条线段两端的灯泡不同色,则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有 _________ 种(用数字作答) .

12. (2010?上海)以集合 U={a,b,c,d}的子集中选出 4 个不同的子集,需同时满足以下两个条件: (1)?、U 都 要选出; (2)对选出的任意两个子集 A 和 B,必有 A?B 或 B?A,那么共有 _________ 种不同的选法. 13. (2011?西山区模拟)在(x+1) (2x+1)…(10x+1) , (x∈N)的展开式中一次项的系数为 _________ 字作答) . (用数

14. (2014?宁波模拟)有 7 个座位连成一排,4 人就坐,要求恰有两个空位相邻且甲乙两人不坐在相邻座位,则不 同的坐法有 _________ 种(用数字作答) . 15. (2005?浙江)从集合{P,Q,R,S}与{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}中各任取 2 个元素排成一排(字母和 数字均不能重复) 、每排中字母 Q 和数字 0 至多只能出现一个的不同排法种数是 _________ . (用数字作答) 、 16. (2009?卢湾区一模)已知数列{an}共有 6 项,若其中三项是 1,两项是 2,一项是 3,则满足上述条件的数列共 有 _________ 个. 17. (2010?河南三模)某购物广场前要建造一个花圃,花圃分为 6 个部分,现要栽种 4 种不同颜色的花,每部分栽 种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,不同的栽种方法共有 _________ 种(用数字作答)

18. (2013?浙江模拟)有两排座位,前排 11 个座位,后排 12 个座位.现在安排甲、乙 2 人就座,规定前排中间的 3 个座位不能坐,并且甲、乙不能左右相邻,则一共有不同安排方法多少种? _________ (用数字作答) . 19. (2010?湖北模拟)北京大学今年实施校长实名推荐制,某中学获得推荐 4 名学生的资格,校长要从 7 名优秀学 生中推荐 4 名,7 名学生中有 2 人有体育特长,另有 2 人有艺术特长,其余 3 人有其他特长,那么至少含有一名有 体育特长和一名有艺术特长的学生的推荐方案有 _________ 种(用数字作答) . 20. (2011?武昌区模拟)如图是某汽车维修公司的维修点环形分布图.公司在年初分配给 A、B、C、D 四个维修点 某种配件各 50 件.在使用前发现需将 A、B、C、D 四个维修点的这批配件分别调整为 40、45、54、61 件,但调整 只能在相邻维修点之间进行.那么要完成上述调整,最少的调动件次(n 件配件从一个维修点调整到相邻维修点的 调动件次为 n)为 _________ .

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三、解答题(共 1 小题) (选答题,不自动判卷) 21. (2014?合肥一模)某办公室共有 6 人,组织出门旅行,旅行车上的 6 个座位如图所示,其中甲、乙两人的关系 较为亲密,要求在同一排且相邻,则不同的安排方法有 _________ 种.

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【章节训练】1.1 分类加法计数原理与分步乘法计 数原理 -1
参考答案与试题解析
一、选择题(共 10 小题) 1. (2011?重庆二模)有一名同学在填报高考志愿时选定了某院校以后,需从该院校所设的 A、B、C 三个专业中选 择两个作为第一专业和第二专业,再从剩余的一个专业和该院校所设的其他三个专业 D、E、F 中选择两个作为第 三专业和第四专业,则该同学填报这个院校专业的方式有( ) A.36 种 B.48 种 C.72 种 D.96 种 考点: 计数原理的应用. 专题: 排列组合. 分析: 分别确定从该院校所投的 A、B、C 三个专业中选择两个作为第一专业和第二专业、从剩余的一个专业和该 院校所投的其他三个专业 D、E、F 中选择两个作为第三专业和第四专业的方法,利用乘法原理,即可得到 结论. 解答: 解:由题意,从该院校所投的 A、B、C 三个专业中选择两个作为第一专业和第二专业,共有 =6 种方法,
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再从剩余的一个专业和该院校所投的其他三个专业 D、E、F 中选择两个作为第三专业和第四专业,共有 =12 种方法, 根据乘法原理,可得该同学填报这个院校专业的方式有 6×12=72 种, 故选 C. 点评: 本题考查计数原理的运用,考查学生分析解决问题的能力,考查学生的计算能力,属于中档题. 2. (2014?丰台区一模)如果某年年份的各位数字之和为 7,我们称该年为“七巧年”.例如,今年年份 2014 的各位 数字之和为 7,所以今年恰为“七巧年”.那么从 2000 年到 2999 年中“七巧年”共有( ) A.24 个 B.21 个 C.19 个 D.18 个 考点: 专题: 分析: 解答: 计数原理的应用;分类加法计数原理. 排列组合. 按照定义直接分类求出结果即可. 解:某年年份的各位数字之和为 7,我们称该年为“七巧年”. ∴ 从 2000 年到 2999 年中“七巧年”需要后面三个数之和为 5,有 0、1、4; 0、0、5; 2、3、0; 2、2、1; 1,1,3 五个类型,后三个数字是 0、1、4; 2、3、0; 3 各有 A3 =6 个,即 12 个. 后三个数字是 0、0、5;
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www.jyeoo.com 2、2、1; 1、1、3 各有 3 个,共有 9 个; 共有 12+9=21. 故选:B. 点评: 本题考查排列组合的实际应用,计数原理的应用,考查分类讨论思想. 3. (2010?昌平区二模)2010 年的自主招生工作,部分高校实施校长实名推荐制.某中学获得推荐 4 名学生的资格, 可以选择的大学有三所,而每所大学至多接受该校的 2 名推荐生,那么校长推荐的方案有( ) A.18 种 B.24 种 C.36 种 D.54 种 考点: 分步乘法计数原理. 分析: 分类计数原理和分步计数原理区分开,校长推荐的方案中:三校都推;只推二校. 解答: 解:校长推荐三校时,学生只能是 1 人、1 人、2 人,共有 C42?A33=36 种; 2 2 推荐二校时学生只能 2 人、2 人,共有 C3 ?C4 =18 种.所以共有 36+18=54 种. 故选 D 点评: C42?A33 中 C42 是 4 人分组,A33 是 3 人全排列;C32?C42 中 C32 是 3 校选 2 所,C42 是从 4 人中选 2 人进一 所学校,另 2 人进另一所.
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4. (2012?南充三模)用数字 0、1、2、3、4、5 组成,没有重复数字且大于 201345 的六位数的个数为( A.480 B.478 C.479 D.600 考点: 计数原理的应用. 专题: 计算题. 分析: 由以 1 开头的没有重复数字的六位数的个数为
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,且 201345 是以 2 开头的没有重复数字的六位数中最小 ,可得 5 ﹣ ﹣1

的一个,所有的没有重复数字的六位数的个数为 5 即为所求. 解答: 解:由以 1 开头的没有重复数字的六位数的个数为 位数中最小的一个, 所有的没有重复数字的六位数的个数为 5 =600,

=120,由于 201345 是以 2 开头的没有重复数字的六

故没有重复数字且大于 201345 的六位数的个数为 600﹣120﹣1=479, 故选 C. 点评: 本题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用,体现了分类讨论的数学思想,注意把特殊元素与位置 综合分析,分类讨论,属于中档题. 5. (2014?江西二模)某高校的 8 名属“老乡”关系的同学准备拼车回家,其中大一、大二、大三、大四每个年级各两 名,分乘甲、乙两辆汽车,每车限坐 4 名同学(乘同一辆车的 4 名同学不考虑位置) ,其中大一的孪生姐妹需乘同 一辆车,则乘坐甲车的 4 名同学恰有 2 名来自于同一年级的乘坐方式共有( ) A.18 种 B.24 种 C.36 种 D.48 种 考点: 计数原理的应用. 专题: 概率与统计. 分析: 分类讨论,第一类,大一的孪生姐妹在甲车上;第二类,大一的孪生姐妹不在甲车上,再利用组合知识, 即可得到结论.
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www.jyeoo.com 解答: 解:由题意,第一类,大一的孪生姐妹在甲车上,甲车上剩下两个要来自不同的年级,从三个年级中选两 个为 ,然后分别从选择的年级中再选择一个学生,为 ,故有 =3×2×2=12 种. ,

第二类,大一的孪生姐妹不在甲车上,则从剩下的 3 个年级中选择一个年级的两名同学在甲车上,为 然后再从剩下的两个年级中分别选择一人(同第一类情况) ,这时共有 =3×2×2=12 种

因此共有 24 种不同的乘车方式 故选 B. 点评: 本题考查计数原理的应用,考查组合知识,考查学生的计算能力,属于中档题. 6. (2010?沈阳模拟)已知某旅店有 A,B,C 三个房间,房间 A 可住 3 人,房间 B 可住 2 人,房间 C 可住 1 人, 现有 3 个成人和 2 个儿童需要入住,为确保安全,儿童需由成人陪同方可入住,则他们入住的方式共有( ) A.120 种 B.81 种 C.72 种 D.27 种 考点: 分步乘法计数原理;排列、组合的实际应用. 分析: 安排住宿时要分四种情况,第一,三个大人一人一间,小孩在 A、B 两个房间排列,第二,三个大人一人 一间,两个孩子在 A 住,第三空出 C 房间,两个大人住 A,一个大人住 B,第四两个大人住 B,列出算式, 得到结果. 解答: 解:由题意知:三个大人一人一间,小孩在 A、B 两个房间排列有 A33A22,
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三个大人一人一间,两个孩子在 A 住有 A3 , 2 2 空出 C 房间,两个大人住 A,一个大人住 B 有 C3 A2 , 2 第四两个大人住 B 有 C3 , 综上所述共有 27 中住法, 故选 D 点评: 本题考查的是排列问题,并且元素的要求很多,把排列问题包含在实际问题中,解题的关键是看清题目的 实质,把实际问题转化为数学问题,解出结果以后再还原为实际问题. 7. (2010?德阳二模)2010 年上海世博会即将开幕,为了更加有效地让人们关注、了解和参与这次盛会,上海市市 政管理委员会欲在某步行街的一侧如图所示的 6 块有关世博会的宣传广告牌,每块广告牌的底色可选用蓝、红两种 颜色中的一种.若要求相邻的两块广告牌的底色不能同为红色,则不同配色方案的种数为( )

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A.20

B.21

C.30

D.31

考点: 计数原理的应用. 专题: 计算题;应用题;分类讨论. 分析: 由题意知,本题需要分类来解,分为这样几种情况当广告牌没有红色时,当广告牌有一块红色时,当广告 牌有两块红色时,当广告牌有三块红色时,由于相邻的两块广告牌的底色不能同为红色,所以先排蓝色的, 让红色的插空. 解答: 解:由题意知,本题需要分类来解, 当广告牌没有红色时,有一种排法, 当广告牌有一块红色时,可以从 6 个位置任选一个,有 6 种结果, 2 当广告牌有两块红色时,先排四块蓝色,形成五个位置,插入两块红色,有 C5 =10 种结果, 3 当广告牌有三块红色时,先排三块蓝色,形成四个位置,插入三块红色,有 C4 =4 种结果, ∴ 相邻的两块广告牌的底色不能同为红色, ∴ 不可能有四块红色广告牌, 根据分类计数原理得到共有 1+6+10+4=21,
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www.jyeoo.com 故选 B. 点评: 本题是一个分类计数问题,在分类时,容易漏掉一种情况,即广告牌全是蓝色的这一种结果,这是一个基 础题,分类时注意做到不重不漏. 8. (2010?唐山二模)从 0,1,2,3,4,5,6 中任取 3 个数字组成没有重复数字的 3 位数,基中能被 5 整除的数 共有( ) A.30 个 B.50 个 C.55 个 D.90 个 考点: 计数原理的应用. 专题: 计算题. 分析: 由题意知能被 5 整除的三位数末位必为 0 或 5.当末位是 0 时,可以直接写出结果,但当末位是 5 时,注意 0 不能放在第一位,① 末位为 0 的三位数其首次两位从 1~6 的 6 个数中任取 2 个排列② 末位为 5 的三位数, 首位从非 0,5 的 5 个数中选 1 个,再挑十位,相加得到结果. 解答: 解:其中能被 5 整除的三位数末位必为 0 或 5.
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① 末位为 0 的三位数其首次两位从 1~6 的 6 个数中任取 2 个排列而成方法数为 A6 =30, 1 1 ② 末位为 5 的三位数,首位从非 0,5 的 5 个数中选 1 个,有 C5 种挑法,再挑十位,还有 C5 种挑法, 1 1 ∴ 合要求的数有 C5 ?C5 =25 种. ∴ 共有 30+25=55 个数. 故选 C. 点评: 本题考查排列组合、计数原理,是一个综合题,本题主要抓住能被 5 整除的三位数的特征(末位数为 0,5) , 还要注意分类讨论及排数字时对首位非 0 的限制 9. (2010?宜春模拟)25 人排成 5×5 方阵,从中选出 3 人,要求其中任意 2 人既不同行也不同列,则不同的选法为 ( ) A.60 种 B.100 种 C.300 种 D.600 种 考点: 计数原理的应用. 专题: 计算题. 分析: 本题是一个计数原理的应用,从 5 列中选择三列 C53=10;从某一列中任选一个人甲有 5 种结果;从另一列 中选一个与甲不同行的人乙有 4 种结果;从剩下的一列中选一个与甲和乙不同行的丙有 3 种结果,相乘得 到结果. 解答: 解:由题意知本题是一个计数原理的应用, 3 从 5 列中选择三列 C5 =10; 从某一列中任选一个人甲有 5 种结果; 从另一列中选一个与甲不同行的人乙有 4 种结果; 从剩下的一列中选一个与甲和乙不同行的丙有 3 种结果 根据分步计数原理知共有 10×5×4×3=600. 故选 D. 点评: 本题主要考查分步计数原理的应用,本题解题的关键是在选择时做到不重不漏,有一个典型的错误是 25×16×9,本题是一个易错题.
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10. (2012?浦东新区三模)把一张纸片剪成 4 块,再从所得的纸片中任取若干块,每块又剪成 4 块,像这样依次地 进行下去,到剪完某一次为止.那么在下面四个数中,可能是剪出的纸片数的是( ) A.1001 B.1002 C.1003 D.1004 考点: 计数原理的应用. 分析: 根据题意,找到规律:只要能够写成 3k+1 的形式,即可得到结论. 解答: 解:第一次取 k1 块,则可剪成 4k1 块,加上留下的(4﹣k1)块,共有 4k1+4﹣k1=4+3k1=3(k1+1)+1 块,
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www.jyeoo.com 第二次取 k2 块,则可剪成 4k2 块,加上留下的(4+3k1﹣k2)块,共有 4+3k1+3k2=3(k1+k2+1)+1 块, … 第 n 次取 kn 块,则分为了 4kn 块,共有 4+3k1+3k2+3kn=3(k1+k2+k3+…+kn+1)+1 块, 从中看出,只要能够写成 3k+1 的形式,就能够得到. 因为 1003=3×334+1 故选 C. 点评: 本题考查计数原理的运用,解题的关键是找到规律:只要能够写成 3k+1 的形式,就能够得到. 二、填空题(共 10 小题) (除非特别说明,请填准确值) 11. (2008?重庆)某人有 4 种颜色的灯泡(每种颜色的灯泡足够多) ,要在如图所示的 6 个点 A、B、C、A1、B1、 C1 上各装一个灯泡, 要求同一条线段两端的灯泡不同色, 则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有 216 种 (用数字作答) .

考点: 分步乘法计数原理. 专题: 压轴题. 3 分析: 由题意知分 3 步进行,为 A、B、C 三点选三种颜色灯泡共有 A4 种选法;在 A1、B1、C1 中选一个装第 4 种颜色的灯泡,有 3 种情况;为剩下的两个灯选颜色,假设剩下的为 B1、C1,若 B1 与 A 同色,则 C1 只能 选 B 点颜色;若 B1 与 C 同色,则 C1 有 A、B 处两种颜色可选.故为 B1、C1 选灯泡共有 3 种选法,即剩下 的两个灯有 3 种情况,根据计数原理得到结果. 解答: 解:每种颜色的灯泡都至少用一个,即用了四种颜色的灯进行安装,分 3 步进行,
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第一步,A、B、C 三点选三种颜色灯泡共有 A4 种选法; 第二步,在 A1、B1、C1 中选一个装第 4 种颜色的灯泡,有 3 种情况; 第三步,为剩下的两个灯选颜色,假设剩下的为 B1、C1,若 B1 与 A 同色,则 C1 只能选 B 点颜色; 若 B1 与 C 同色,则 C1 有 A、B 处两种颜色可选. 故为 B1、C1 选灯泡共有 3 种选法,得到剩下的两个灯有 3 种情况, 3 则共有 A4 ×3×3=216 种方法. 故答案为:216 点评: 本题用到两个计数原理,用两个计数原理解决计数问题时,最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析要 完成的“一件事”是什么,可以“分类”还是需要“分步”. 12. (2010?上海)以集合 U={a,b,c,d}的子集中选出 4 个不同的子集,需同时满足以下两个条件: (1)?、U 都 要选出; (2)对选出的任意两个子集 A 和 B,必有 A?B 或 B?A,那么共有 36 种不同的选法. 考点: 计数原理的应用. 专题: 计算题;压轴题;分类讨论. 分析: 由题意知,子集 A 和 B 可以互换,即视为一种选法,从而对子集 A 分类讨论当 A 是单元集或是四元集,当 A 是二元集,B 相应的只有两种,当 A 是三元集,B 相应的有 6 种结果,根据计数原理得到结论. 解答: 解:因为 U,Φ 都要选出 而所有任意两个子集的组合必须有包含关系 故各个子集所包含的元素个数必须依次递增 而又必须包含空集和全集 所以需要选择的子集有两个 设第二个子集的元素个数为 1 有(a) (b) (c) (d)四种选法
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www.jyeoo.com (1)第三个子集元素个数为 2 当第二个子集为(a)时 第三个子集的 2 个元素中必须包含 a 剩下的一个从 bcd 中选取 有三种选法 所以这种子集的选取方法共有 4×3=12 种 (2)第三个子集中包含 3 个元素 同理三个元素必须有一个与第二个子集中的元素相同 共有 4×3=12 种 (3)第二个子集有两个元素 有 6 种取法 第三个子集必须有 3 个元素且必须包含前面一个子集的两个元素 有两种取法 所以这种方法有 6×2=12 种 综上一共有 12+12+12=36 种 故答案为:36. 点评: 题意的理解是一个难点,另外分类点比较多也是制约思维的一个瓶颈.本题考查集合的子集及利用排列组 合知识解决实际问题,考查分析问题与解决问题的能力. 13. (2011?西山区模拟)在(x+1) (2x+1)…(10x+1) , (x∈N)的展开式中一次项的系数为 55 . (用数字作答) 考点: 计数原理的应用. 专题: 计算题. 分析: 展开式中 x 的一次项系数为每个括号中 x 的系数与其它括号中的常数项 1 相乘得到的结果,故 x 的一次项 系数为 1+2+3+4+…+10,运算求得结果. 解答: 解: (x+1) (2x+1) (3x+1)…(10x+1)展开式中 x 的一次项系数为每个括号中 x 的系数 与其它括号中的常数项 1 相乘得到的结果,
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故 x 的一次项系数为 1+2+3+4+…+10=

=55,

故答案为:55. 点评: 本题主要考查二项式定理,二项展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,属于中档题. 14. (2014?宁波模拟)有 7 个座位连成一排,4 人就坐,要求恰有两个空位相邻且甲乙两人不坐在相邻座位,则不 同的坐法有 336 种(用数字作答) . 考点: 分步乘法计数原理. 专题: 排列组合. 分析: 先将 4 个人排好, 将 2 个空位看成一组与另一个空位插入前 4 个人形成的 5 个空位中, 共有 5×4×
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种方法.

再减去其中甲乙相邻的排法,共计 解答: 解:先将 4 个人排好,有 共有 5×4× 种方法.

?

×4×3 种,即得所求.

种,将 2 个空位看成一组与另一个空位插入前 4 个人形成的 5 个空位中,

再除去甲乙相邻的情况:把甲乙看成一组,与另外 2 个人排列,再把空位插入, 方法有 ? ×4×3 种.

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www.jyeoo.com 故满足条件的排法有 5×4× ﹣ ? ×4×3=336 种,

故答案为:336. 点评: 此题主要考查用排列组合及简单的计数原理问题,用插空法求解是题目的关键,有一定的灵活性,需要同 学们很好的理解,属于中档题. 15. (2005?浙江)从集合{P,Q,R,S}与{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}中各任取 2 个元素排成一排(字母和 数字均不能重复) 、每排中字母 Q 和数字 0 至多只能出现一个的不同排法种数是 5832 . (用数字作答) 、 考点: 专题: 分析: 解答: 分步乘法计数原理;排列、组合及简单计数问题. 压轴题. 应用排列组合分步乘法计数原理,注意条件可以解答.
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解:各任取 2 个元素排成一排(字母和数字均不能重复) ,共有 C4 C10 A4 ;每排中字母 Q 和数字 0 都出现 1 1 4 有 C3 C9 A4 2 2 4 1 1 4 符合题意不同排法种数是 C4 C10 A4 ﹣C3 C9 A4 =5832. 故答案为:5832 点评: 总数剔除不合乎要求的方法在排列组合中常用. 16. (2009?卢湾区一模)已知数列{an}共有 6 项,若其中三项是 1,两项是 2,一项是 3,则满足上述条件的数列共 有 60 个. 考点: 计数原理的应用. 专题: 计算题. 分析: 本题是一个分步计数问题,先排 3,在 6 个位置上排列有 6 种情况;再排是 2 的两项,相当于在 5 个位置中 2 选择两个位置,共有 C5 种;最后排是 1 的三项,不管三个 1 怎么放置,结果只有 1 种情况.最后相乘得 到结果. 解答: 解:由题意知本题是一个分步计数问题, 先排 3,在 6 个位置上排列有 6 种情况;
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再排是 2 的两项,相当于在 5 个位置中选择两个位置,共有 C5 =10 种; 最后排是 1 的三项,不管三个 1 怎么放置,结果只有 1 种情况. 根据分步计数原理知共 6×10=60 种. 故答案为:60 点评: 本题考查计数原理的应用,本题解题的关键是理解所给的相同的元素怎么排列,才可以做到不重不漏,本 题是一个中档题目. 17. (2010?河南三模)某购物广场前要建造一个花圃,花圃分为 6 个部分,现要栽种 4 种不同颜色的花,每部分栽 种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,不同的栽种方法共有 120 种(用数字作答)

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考点: 计数原理的应用. 专题: 计算题;图表型. 分析: 本题可以用分步原理与分类原理相结合来求解本题,先分步,再分类,先栽种 1,有四种选择,再栽种 2, 有 3 种选择,第三步栽种 3,有 2 种选择,第四步栽种 4 时,要分类讨论 解答: 解:先栽种 1,有四种选择,再栽种 2,有 3 种选择,第三步栽种 3,有 2 种选择,第四步栽种 4 时,要分 类讨论,若 4 栽种的花颜色与 2 同,则此时 5 有两种栽种方法,6 有一种栽种方法,若 4 栽种的颜色与 2
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www.jyeoo.com 不同,则 4 有一种栽种方法,若 5 与 2 栽种颜色同,则 6 有两种栽种方法,若 5 与 2 不同,则 5 有一种栽 种方法,6 也是一种 故不同的栽种方法和数是 4×3×2×(1×2×1+1×(1×2+1×1) )=120 种; 故答案为 120 点评: 本题考查计数原理的应用,解题的关键是正确理解题意,用加法原理与乘法原理对栽种方法进行计数.本 题比较抽象,易因为分类不清或找不到合适的分类方法导致答案错误,故解题时要注意分步与分类是否合 理,有没有重复与遗漏的现象. 18. (2013?浙江模拟)有两排座位,前排 11 个座位,后排 12 个座位.现在安排甲、乙 2 人就座,规定前排中间的 3 个座位不能坐,并且甲、乙不能左右相邻,则一共有不同安排方法多少种? 346 (用数字作答) . 考点: 专题: 分析: 解答: 计数原理的应用. 概率与统计. 利用间接法,先求出 2 个人坐的方法数为,再排除两左右相邻的情况,即可得到结论.
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解:由题意,一共可坐的位子有 20 个,2 个人坐的方法数为

,还需排除两左右相邻的情况; ,但 =346.

把可坐的 20 个座位排成连续一行(甲与乙相接) ,任两个座位看成一个整体,即相邻的坐法有 这其中包括甲、乙不在同一排情形,还应再加上 2 .∴ 不同排法的种数为

故答案为:346. 点评: 本题考查计数原理的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 19. (2010?湖北模拟)北京大学今年实施校长实名推荐制,某中学获得推荐 4 名学生的资格,校长要从 7 名优秀学 生中推荐 4 名,7 名学生中有 2 人有体育特长,另有 2 人有艺术特长,其余 3 人有其他特长,那么至少含有一名有 体育特长和一名有艺术特长的学生的推荐方案有 25 种(用数字作答) . 考点: 计数原理的应用. 专题: 计算题. 分析: 本题是一个计数原理的应用,至少含有一名有体育特长和一名有艺术特长的学生,包括四种情况,包括一 个体育,一个艺术,两个其他;一个体育,两个艺术,一个其他;2 个体育,一个艺术,一个其他;2 个体 育,2 个艺术,共有 1 种结果,写出结果数相加. 解答: 解:由题意知本题是一个计数原理的应用, 校长要从 7 名优秀学生中推荐 4 名, 至少含有一名有体育特长和一名有艺术特长的学生,包括四种情况, 2 包括一个体育,一个艺术,两个其他,有 2×2×C3 =12 种结果, 1 一个体育,两个艺术,一个其他,有 2×1×C3 =6 种结果, 1 2 个体育,一个艺术,一个其他,有 2×1×C3 =6 种结果, 2 个体育,2 个艺术,共有 1 种结果 ∴ 推荐方案有 12+6+6+1=25 种结果, 故答案为:25 点评: 本题考查计数原理的应用,本题解题的关键是看出所有符合条件的事件包括四种情况,分别表示出结果数, 最后利用计数原理得到结果,本题是一个易错题,情况比较多,容易漏掉.
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20. (2011?武昌区模拟)如图是某汽车维修公司的维修点环形分布图.公司在年初分配给 A、B、C、D 四个维修点 某种配件各 50 件.在使用前发现需将 A、B、C、D 四个维修点的这批配件分别调整为 40、45、54、61 件,但调整 只能在相邻维修点之间进行.那么要完成上述调整,最少的调动件次(n 件配件从一个维修点调整到相邻维修点的 调动件次为 n)为 16 .
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考点: 专题: 分析: 解答:

计数原理的应用. 探究型. 先分别得到调动的件数的可能性,再相加得出它的最小值. 解:A 调给 D10 件,A 为:40 C 调给 D1 件,D 为:61 B 再调给 C,5 件,B 为:45,C 为:54,合乎题意. 则次数为:10+1+5=16 次. 故它的最小值为 16. 故答案为:16. 点评: 解题关键是理解“正”和“负”的相对性,明确什么是一对具有相反意义的量.在一对具有相反意义的量中,先 规定其中一个为正,则另一个就用负表示.此题还运用了绝对值和方程思想来解题.
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三、解答题(共 1 小题) (选答题,不自动判卷) 21. (2014?合肥一模)某办公室共有 6 人,组织出门旅行,旅行车上的 6 个座位如图所示,其中甲、乙两人的关系 较为亲密,要求在同一排且相邻,则不同的安排方法有 144 种.

考点: 专题: 分析: 解答:

计数原理的应用. 计算题;排列组合. 分类讨论:甲、乙两人在后排,甲、乙两人在中间一排,利用分类计数原理可得结论.
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解:分类讨论:甲、乙两人在后排,可得 甲、乙两人在中间一排,可得

=48 种; =96 种.

∴ 不同的安排方法有 48+96=144 种. 故答案为:144. 点评: 本题考查分类计数原理,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

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