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二次函数知识点总结与典型例题1

二次函数知识点总结及典型例题
一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地,如果 y ? ax2 ? bx ? c(a, b, c是常数, a ? 0) ,那么 y 叫做 x 的二次函数。

y ? ax2 ? bx ? c(a, b, c是常数,a ? 0) 叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于 x ? ? 抛物线的主要特征: ①有开口方向;②有对称轴;③有顶点。 3、二次函数图像的画法 五点法: (1)先根据函数解析式,求出顶点坐标,在平面直角坐标系中描出顶点 M,并用虚线 画出对称轴 (2)求抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 与坐标轴的交点: 当抛物线与 x 轴有两个交点时,描出这两个交点 A,B 及抛物线与 y 轴的交点 C,再找 到点 C 的对称点 D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来,并向上或向下延伸,就得到 二次函数的图像。 当抛物线与 x 轴只有一个交点或无交点时,描出抛物线与 y 轴的交点 C 及对称点 D。 由 C、M、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像,可再描出 一对对称点 A、B,然后顺次连接五点,画出二次函数的图像。 二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式: (1)一般式: y ? ax ? bx ? c(a, b, c是常数, a ? 0)
2

b 对称的曲线,这条曲线叫抛物线。 2a

(2)顶点式: y ? a( x ? h) ? k (a, h, k是常数, a ? 0)
2
2 2 (3)当抛物线 y ? ax ? bx ? c 与 x 轴有交点时,即对应二次好方程 ax ? bx ? c ? 0

有实根 x1 和 x2 存在时,根据二次三项式的分解因式 ax ? bx ? c ? a( x ? x1 )(x ? x2 ) ,二
2

1

次函数 y ? ax2 ? bx ? c 可转化为两根式 y ? a( x ? x1 )(x ? x2 ) 。如果没有交点,则不能这 样表示。 三、二次函数的性质 1、二次函数的性质
二次函数 函数

y ? ax2 ? bx ? c(a, b, c是常数,a ? 0)
a>0 a<0

y y

图像

0

x

0

x

(1)抛物线开口向下,并向下无限延伸; (1)抛物线开口向上,并向上无限延伸;

性质

b ,顶点坐标是 2a 4ac ? b 2 b (? , ) ; 2a 4a b (3)在对称轴的左侧,即当 x< ? 时,y 随 x 2a b 的增大而减小; 在对称轴的右侧, 即当 x> ? 2a
(2)对称轴是 x= ? 时,y 随 x 的增大而增大,简记左减右增; (4)抛物线有最低点,当 x= ?

b ,顶点坐标是 2a 4ac ? b 2 b (? , ) ; 2a 4a b (3)在对称轴的左侧,即当 x< ? 时,y 2a
(2)对称轴是 x= ? 随 x 的增大 而增大;在对称轴的右侧,即当 x> ? 时,y 随 x 的增大而减小,简记左增右减; (4)抛物线有最高点,当 x= ?

b 2a

y 有最小值,

y最小值

b 时, 2a 4ac ? b 2 ? 4a

y 有最大值,

y最大值

b 时, 2a 4ac ? b 2 ? 4a

2

2、二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a, b, c是常数, a ? 0) 中, a、b、c 的含义:

a 表示开口方向: a >0 时,抛物线开口向上

a <0 时,抛物线开口向下
b 与对称轴有关:对称轴为 x= ?
b 2a

(0, c ) c 表示抛物线与 y 轴的交点坐标: 3、二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与 x 轴的交点坐标。 因此一元二次方程中的 ? ? b 2 ? 4ac ,在二次函数中表示图像与 x 轴是否有交点。 当 ? >0 时,图像与 x 轴有两个交点; 当 ? =0 时,图像与 x 轴有一个交点; 当 ? <0 时,图像与 x 轴没有交点。 补充: 1、两点间距离公式(当遇到没有思路的题时,可用此方法拓展思路,以寻求解题方法) y 如图:点 A 坐标为(x1,y1)点 B 坐标为(x2,y2) 则 AB 间的距离,即线段 AB 的长度为

?x1 ? x2 ?2 ? ? y1 ? y 2 ?2
0

A

x B

2、函数平移规律(中考试题中,只占 3 分,但掌握这个知识点,对提高答题速度有很 大帮助,可以大大节省做题的时间) 左加右减、上加下减 四、二次函数的最值 如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值) ,即当

x??

4ac ? b 2 b 时, y最值 ? 。 2a 4a

3

如果自变量的取值范围是 x1 ? x ? x2 ,那么,首先要看 ?

b 是否在自变量取值范围 2a

x1 ? x ? x2 内,若在此范围内,则当 x= ?

4ac ? b 2 b 时, y最值 ? ; 2a 4a

若不在此范围内,则需要考虑函数在 x1 ? x ? x2 范围内的增减性,
2 如果在此范围内, y 随 x 的增大而增大, 则当 x ? x2 时, 当 x ? x1 y最大 ? ax2 ? bx2 ? c , 2 时, y最小 ? ax1 ? bx1 ? c ; 2 如果在此范围内, y 随 x 的增大而减小, 则当 x ? x1 时,y最大 ? ax1 当 x ? x2 ? bx1 ? c , 2 时, y最小 ? ax2 ? bx2 ? c 。

典型例题
2 ? ?? x ? 1? ? 1? x≤3? 1. 已知函数 y ? ? , 则使 y=k 成立的 x 值恰好有三个, 则 k 的值为 ( 2 ? ?? x ? 5? ? 1? x>3?



A.0 【答案】D

B.1

C.2

D.3

2. 如图为抛物线 y ? ax ? bx ? c 的图像, A、 B、 C 为抛物线与坐标轴的交点, 且 OA=OC=1,
2

则下列关系中正确的是 A.a+b=-1 B. a-b=-1

C. b<2a

D. ac<0

【答案】B 3. 二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象如图所示,则反比例函数 y ?
2

a 与一次函数 y ? bx ? c x

在同一坐标系中的大致图象是(

).

4

【答案】D

4. 如图,已知二次函数 y ? x 2 ? bx ? c 的图象经过点(-1,0) , (1,-2) ,当 y 随 x 的增大 而增大时, x 的取值范围是 .

y
1
-1 O

y ? x 2 ? bx ? c

1
(1,-2)

x

【答案】 x ?

1 2

5. 在平面直角坐标系中,将抛物线 y ? x2 ? 2x ? 3 绕着它与 y 轴的交点旋转 180° ,所得抛 物线的解析式是( A. y ? ?( x ? 1)2 ? 2 C. y ? ?( x ? 1)2 ? 2 【答案】B 6. 已 知 二 次 函 数 y ? ax2 ? bx ? c 的 图 像 如 图 , 其 对 称 轴 x ? ?1 , 给 出 下 列 结 果
2 ①b ? 4ac ②abc ? 0 ③2a ? b ? 0 ④a ? b ? c ? 0 ⑤a ? b ? c ? 0 ,则正确的结论是(

) . B. y ? ?( x ? 1)2 ? 4 D. y ? ?( x ? 1)2 ? 4



A ① ② ③ ④ 【答案】 D
2

B ② ④ ⑤

C

② ③ ④

D

① ④ ⑤

7.抛物线 y ? ax ? bx ? c 上部分点的横坐标 x ,纵坐标 y 的对应值如下表: x y … … -2 0 -1 4 0 6 1 6 2 4 … …

从上表可知,下列说法中正确的是

. (填写序号)
2

① 抛物线与 x 轴的一个交点为(3,0) ; ② 函数 y ? ax ? bx ? c 的最大值为 6;

5

③ 抛物线的对称轴是 x ? 【答案】① ③ ④

1 ; 2

④ 在对称轴左侧, y 随 x 增大而增大.

8. 如图,在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,点 A 的坐标是(-2,4) ,过点 A 作 AB⊥ y 轴,垂足为 B,连结 OA. (1)求△ OAB 的面积; (2)若抛物线 y ? ? x2 ? 2 x ? c 经过点 A. ① 求 c 的值; ② 将抛物线向下平移 m 个单位, 使平移后得到的抛物线顶点落在△ OAB 的内部 (不包括 △ OAB 的边界) ,求 m 的取值范围(直接写出答案即可) .

解:(1) ∵ 点 A 的坐标是(-2,4) ,AB⊥ y 轴, ∴ AB=2,OB=4,∴S?OAB ?

1 1 ? AB ? OB ? ? 2 ? 4 ? 4 2 2

(2)① 把点 A 的坐标(-2,4)代入 y ? ? x2 ? 2 x ? c , 得 ?(?2)2 ? 2 ? (?2) ? c ? 4 ,∴ c=4 ② ∵ y ? ? x2 ? 2x ? 4 ? ?( x ? 1)2 ? 4 , ∴ 抛物线顶点 D 的坐标是(-1,5),AB 的中点 E 的坐标是(-1,4) ,OA 的 中点 F 的坐标是(-1,2) , ∴ m 的取值范围为 l<m<3.

6

9.已知二次函数 y= ?

1 2 3 x + x 的图像如图. 4 2

(1)求它的对称轴与 x 轴交点 D 的坐标; (2)将该抛物线沿它的对称轴向上平移,设平移后的抛物线与 x 轴、y 轴的交点分别 为 A、B、C 三点,若∠ ACB=90° ,求此时抛物线的解析式; (3)设(2)中平移后的抛物线的顶点为 M,以 AB 为直径,D 为圆心作⊙ D,试判断 直线 CM 与⊙ D 的位置关系,并说明理由.

1 3 解: (1)二次函数 y=- x2+ x 的对称轴为 x=3,∴ D(3,0) . 4 2

1 3 (2)设抛物线向上平移 h 个单位(h>0) ,则平移后的抛物线解析式为 y=- x2+ x+h. 4 2 ∵ ∠ ACB=90° ,∴ OC2=OA· OB. 设点 A、B 的横坐标分别为 x1、x2,则 h2=- x1· x2.

7

1 3 ∵ x1、x2 是一元二次方程- x2+ x+h=0 的两个根, 4 2 1 3 ∴ x1· x2=-4h,∴ h2=4h,∴ h=4,∴ 抛物线的解析式为 y=- x2+ x+4. 4 2

(3)CM 与⊙ D 相切,理由如下: 连结 CD、CM,过点 C 作 CN⊥ DM 于点 D,如下图所示:

∵ AB 是⊙ D 的直径,∠ ACB=90° , ∴ 点 C 在⊙ D 上. 1 3 25 根据平移后的抛物线的解析式 y=- x2+ x+4 可得:OD=3,OC=4,DM= ,CD=5. 4 2 4 9 15 15 25 ∴ CN=3,MN= ,∴ CM= .∵ CM= ,CD=5,DM= , 4 4 4 4 ∴ △ CDM 是直角三角形且∠ DCM=90° ,∴ CM 与⊙ D 相切.

8

10. 如图 10,在平面直角坐标系 xOy 中,AB 在 x 轴上,AB=10,以 AB 为直径的⊙ O′与 y 轴正半轴交于点 C,连接 BC,AC.CD 是⊙ O′的切线,AD⊥ CD 于点 D,tan∠ CAD= 物线 y ? ax ? bx ? c 过 A,B,C 三点.
2

1 ,抛 2

(1)求证:∠ CAD=∠ CAB; (2)① 求抛物线的解析式; ② 判定抛物线的顶点 E 是否在直线 CD 上,并说明理由; (3)在抛物线上是否存在一点 P,使四边形 PBCA 是直角梯形.若存在,直接写出点 P 的坐标(不写求解过程) ;若不存在,请说明理由.

(1)证明:连接 O′C. ∵ CD 是⊙ O′的切线,∴ O′C⊥ CD. ∵ AD⊥ CD,∴ O′C∥ AD,∴ ∠ O′CA=∠ CAD. ∵ O′C=O′A,∴ ∠ O′CA=∠ CAB, ∴ ∠ CAD=∠ CAB.

(2)① ∵ AB 是⊙ O′的直径,∴ ∠ ACB=90° ∵ OC⊥ AB,∴ ∠ CAB=∠ OCB,∴ △ CAO∽ △ BCO,∴ 即 OC 2 ? OA? OB .∵ tan∠ CAO=tan∠ CAD= 又∵ AB=10, ∴OC 2 ? 2OC ? (10 ? 2OC) ,
OC OB ? OA OC

1 ,∴ OA=2OC 2

∵ OC>0

∴ OC=4,OA=8,OB=2.∴ A(-8,0) ,B(2,0) ,C(0,4) . ∵ 抛物线 y ? ax 2 ? bx ? c 过 A,B,C 三点.∴ c=4

9

1 ? ?a ? ? 4 ?4a ? 2b ? 4 ? 0 ? 由题意得 ? ,解之得 ? , ?64a ? 8b ? 4 ? 0 ?b ? ? 3 ? 2 ?

∴y ? ?

1 2 3 x ? x?4. 4 2

2 设直线 DC 交 x 轴于点 F,易证△ AOC≌ ○ △ ADC,∴ AD=AO=8.

∵ O′C∥ AD,∴ △ FO′C∽ △ FAD,∴ ∴ 8(BF+5)=5(BF+10),∴BF ?

O' F O' C ? AF AD

16 10 ,∴F ( ,   0) . 3, 3

3 ?m ? 4 ? ?k ? ? ? 设直线 DC 的解析式为 y ? kx ? m ,则 ?16 ,即 ? 4 ? ? 3 k ?m?0 m ? 4 ? ?

3 1 3 1 25 ∴ y ? ? x ? 4 .由 y ? ? x 2 ? x ? 4 ? ? ( x ? 3) 2 ? 得 4 4 2 4 4

顶点 E 的坐标为 E (?3,

25 25 3 将 E (?3, ) 代入直线 DC 的解析式 y ? ? x ? 4 中, ). 4 4 4

3 25 右边 ? ? ? (?3) ? 4 ? 抛物线的顶点 E 在直线 CD 上. ? 左边.∴ 4 4

11. 如图所示,在平面直角坐标系中,四边形 ABCD 是直角梯形,BC∥ AD,∠ BAD= 90° , BC 与 y 轴相交于点 M,且 M 是 BC 的中点,A、B、D 三点的坐标分别是 A(-1,0) ,B( -1, 2),D( 3,0),连接 DM,并把线段 DM 沿 DA 方向平移到 ON,若抛物线 y=ax2+bx+c 经过 点 D、M、N. (1)求抛物线的解析式 (2)抛物线上是否存在点 P.使得 PA= PC.若存在,求出点 P 的坐标;若不存在.请 说明理由。 (3)设抛物线与 x 轴的另—个交点为 E.点 Q 是抛物线的对称轴上的—个动点,当点 Q 在什么位置时有 QE ? QC 最大?并求出最大值。 y

N

B

M C

E

A 图

O

D

x

10

(1)解:由题意可得 M(0,2) ,N(-3,2)

2?c ? ? a ?3 b ?c ∴ ?2 ? 9 ?0 ? 9a ? 3 , b ?c ?
1 2 1 x ? x?2 9 3

1 ? ?a ? ? 9 ? 1 ? 解得: ? b ? ? 3 ? ? c?2 ? ?

∴ y= ?

(2)∵ PA= PC ,∴ P 在 AC 的垂直平分线上,依题意,AC 的垂直平分线经过 B(-1,2) , (1,0) , 这条直线为 y=-x+1.

? y ? ?x ?1 ? 1 1 ? y ? ? x2 ? x ? 2 ? 9 3 ?
解得: ?

? x1 ? 3 ? 3 2 ? ? ? y1 ? ?2 ? 3 2 ,

? x2 ? 3 ? 3 2 ? ? ? ? y2 ? ?2 ? 3 2
P2( 3 ? 3 2, ?2 ? 3 2 ) .

∴ P1( 3 ? 3 2, ?2 ? 3 2 ) ,

(3)D 为 E 关于对称轴 x=1.5 对称,CD 所在的直线 y=-x+3. ∴ yQ=4.5, ∴ Q(-1.5,4.5) .

QE ? QC 最大值为 CD= 22 ? 22 = 2 2 .个单位/秒.



3







,

. 当t ?

9 121 11 9 3 时, 有最大值为 , 此时 P( , ). 2 4 2 2 1 2 x +bx-2 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于 C 点,且 A(一 1,0). 2

12.如图,抛物线 y=

⑴求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标; ⑵判断△ABC的形状,证明你的结论;
11

⑶点M(m,0)是x轴上的一个动点,当CM+DM的值最小时,求m的值.

(1)∵点A(-1,0)在抛物线y=

1 2 1 3 x + bx-2上,∴ × (-1 )2 + b× (-1) –2 = 0,解得b = ? 2 2 2 1 3 1 3 1 1 3 25 ∴抛物线的解析式为 y= x2- x-2. y= x2- x-2 = ( x2 -3x- 4 ) = (x- )2, 2 2 2 2 2 2 2 8
∴顶点 D 的坐标为 (

3 25 ,). 2 8
∴C(0,-2) ,OC = 2. ∴x1 = -1, x2 = 4, ∴B (4,0) BC2 = OC2 + OB2

(2)当 x = 0 时 y = -2, 当 y = 0 时,

1 2 3 x - x-2 = 0, 2 2

∴OA = 1, OB = 4, AB = 5. = 20, ∴AC2 +BC2 = AB2.

∵AB2 = 25,

AC2 = OA2 + OC2 = 5,

∴△ABC 是直角三角形.

(3)作出点 C 关于 x 轴的对称点 C′,则 C′(0,2) ,OC′=2,连接 C′D 交 x 轴 于点 M, 根据轴对称性及两点之间线段最短可知,MC + MD 的值最小.

?n ? 2 41 ? 设直线 C′D 的解析式为 y = kx + n , 则 ? 3 . 25 ,解得 n = 2, k ? ? k?n?? 12 ? 8 ?2
∴ y??

41 41 24 24 . ∴m? x ? 2 .∴当 y = 0 时, ? x ? 2 ? 0 , x ? 12 12 41 41

13. (2011 浙江金华, 10 分)在平面直角坐标系中,如图 1,将 n 个边长为 1 的正方形并 排组成矩形 OABC,相邻两边 OA 和 OC 分别落在 x 轴和 y 轴的正半轴上,设抛物线 y=ax2+bx+c(a<0)过矩形顶点 B、C. (1)当 n=1 时,如果 a=-1,试求 b 的值; (2)当 n=2 时,如图 2,在矩形 OABC 上方作一边长为 1 的正方形 EFMN,使 EF 在线段

12

CB 上,如果 M,N 两点也在抛物线上,求出此时抛物线的解析式; (3)将矩形 OABC 绕点 O 顺时针旋转,使得点 B 落到 x 轴的正半轴上,如果该抛物线同时 经过原点 O, ①试求出当 n=3 时 a 的值; ② 直接写出 a 关于 n 的关系式.
y

y

CDy= 1.15厘米
M N B
O

C

B

C
x


O A

F

E A

C

O

x


A

B x

图1

图2

y

图3

解: (1)由题意可知,抛物线对称轴为直线 x=

1 , 2

b 1 ? ,得 b= 1; ∴? 2a 2
(2)设所求抛物线解析式为 y ? ax ? bx ? 1 ,
2

C O

B x A

由对称性可知抛物线经过点 B(2,1)和点 M(

1 ,2) 2
y

?1 ? 4a ? 2b ? 1, ? ∴? 1 1 2 ? a ? b ? 1. ? ? 4 2

4 ? a?? , ? ? 3 解得 ? 8 ?b ? . ? 3 ? 4 2 8 ∴ 所求抛物线解析式为 y ? ? x ? x ? 1 . 3 3
2

C B O D A x

(3)①当 n=3 时,OC=1,BC=3, 设所求抛物线解析式为 y ? ax ? bx , 过 C 作 CD⊥ OB 于点 D,则 Rt△ OCD∽ Rt△ CBD, OD OC 1 ∴ 设 OD=t,则 CD=3t, ? ? , CD BC 3 2 2 2 ∵OD ? CD ? OC , ∴(3t ) ? t ? 1 ,
2 2 2

y

∴t ?

1 10 ? , 10 10
又 B( 10 ,0) ,
C O

M

N B x A

∴ C(

3 10 10 ), , 10 10

F

E

∴ 把 B 、C 坐标代入抛物线解析式,得

13

?0 ? 10a ? 10b, ? ?3 1 10 10 ? a ? b. ? 10 10 ?10
②a ? ?

解得:a= ?

10 ; 3

n2 ? 1 . n

14


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