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弹性力学重点复习题及其答案


弹性力学重点复习题及其答案
一、填空题 1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、 形变和位移。 2、在弹性力学中规定,线应变以伸长时为正,缩短时为负,与正应力的正负号规定相 适应。 3、在弹性力学中规定,切应变以直角变小时为正,变大时为负,与切应力的正负号规 定相适应。 4、物体受外力以后,其内部将发生内力,它的集度称为应力。与物体的形变和材料强 度直接有关的,是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量,也就是正应力 和切应力。应力及其分量的量纲是 L-1MT-2。 5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。 6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。 7 、已知一点处的应力分量 ? x ?100 MPa , ? y ?50 MPa , ? xy ?10 50 MPa ,则主应力

? 1 ? 150MPa, ? 2 ? 0MPa, ?1 ? 35?16? 。
8、 已知一点处的应力分量, ? x ?200MPa, 则主应力 ? 1 ? 512 ? y ?0 MPa, ? xy ??400 MPa, MPa, ? 2 ? -312 MPa, ?1 ? -37°57′。 9、已知一点处的应力分量,? x ??2000MPa,? y ?1000MPa,? xy ??400 MPa,则主应力

? 1 ? 1052 MPa, ? 2 ? -2052 MPa, ?1 ? -82°32′。
10、在弹性力学里分析问题,要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件,分别建立三 套方程。 11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。 12、 边界条件表示边界上位移与约束, 或应力与面力之间的关系式。 分为位移边界条件、 应力边界条件和混合边界条件。 13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。 14、 有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构, 然后再用结构力学位移法进行求解。 其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。 15、每个单元的位移一般总是包含着两部分:一部分是由本单元的形变引起的,另一部 分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。 16、每个单元的应变一般总是包含着两部分:一部分是与该单元中各点的位置坐标有关 的,是各点不相同的,即所谓变量应变;另一部分是与位置坐标无关的,是各点相 同的,即所谓常量应变。 17、为了能从有限单元法得出正确的解答,位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量 应变,还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。 18、为了使得单元内部的位移保持连续,必须把位移模式取为坐标的单值连续函数,为 了使得相邻单元的位移保持连续, 就不仅要使它们在公共结点处具有相同的位移时, 也能在整个公共边界上具有相同的位移。
1

19、在有限单元法中,单元的形函数 Ni 在 i 结点 Ni=1;在其他结点 Ni=0 及∑Ni=1。 20、 为了提高有限单元法分析的精度, 一般可以采用两种方法: 一是将单元的尺寸减小, 以便较好地反映位移和应力变化情况;二是采用包含更高次项的位移模式,使位移 和应力的精度提高。

二、判断题(请在正确命题后的括号内打“√” ,在错误命题后的括号内打“×” ) 1、连续性假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满,不留下任何空隙。 (√) 2、均匀性假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满,不留下任何空隙。 (×) 3、连续性假定是指整个物体是由同一材料组成的。 (×) 4、平面应力问题与平面应变问题的物理方程是完全相同的。 (×) 5、如果某一问题中,? z ?? zx ?? zy ?0 ,只存在平面应力分量 ? x ,? y ,? xy ,且它们不沿 z 方向变化,仅为 x,y 的函数,此问题是平面应力问题。 (√) 6、如果某一问题中, ? z ?? zx ?? zy ?0 ,只存在平面应变分量 ? x , ? y , ? xy ,且它们不沿 z 方向变化,仅为 x,y 的函数,此问题是平面应变问题。 (√) 7、表示应力分量与面力分量之间关系的方程为平衡微分方程。 (×) 8、表示位移分量与应力分量之间关系的方程为物理方程。 (×) 9、当物体的形变分量完全确定时,位移分量却不能完全确定。 (√) 10、当物体的位移分量完全确定时,形变分量即完全确定。 (√) 11、按应力求解平面问题时常采用位移法和应力法。 (×) 12、按应力求解平面问题,最后可以归纳为求解一个应力函数。 (×) 13、在有限单元法中,结点力是指单元对结点的作用力。 (×) 14、在有限单元法中,结点力是指结点对单元的作用力。 (√) 15、在平面三结点三角形单元的公共边界上应变和应力均有突变。 (√ )

三、简答题 1、简述材料力学和弹性力学在研究对象、研究方法方面的异同点。 在研究对象方面,材料力学基本上只研究杆状构件,也就是长度远大于高度和宽度 的构件;而弹性力学除了对杆状构件作进一步的、较精确的分析外,还对非杆状结构, 例如板和壳,以及挡土墙、堤坝、地基等实体结构加以研究。 在研究方法方面,材料力学研究杆状构件,除了从静力学、几何学、物理学三方面 进行分析以外,大都引用了一些关于构件的形变状态或应力分布的假定,这就大简化了 数学推演,但是,得出的解答往往是近似的。弹性力学研究杆状构件,一般都不必引用 那些假定, 因而得出的结果就比较精确, 并且可以用来校核材料力学里得出的近似解答。 2、简述弹性力学的研究方法。
2

答:在弹性体区域内部,考虑静力学、几何学和物理学三方面条件,分别建立三套方程。 即根据微分体的平衡条件,建立平衡微分方程;根据微分线段上形变与位移之间的几何 关系,建立几何方程;根据应力与形变之间的物理关系,建立物理方程。此外,在弹性 体的边界上还要建立边界条件。在给定面力的边界上,根据边界上微分体的平衡条件, 建立应力边界条件;在给定约束的边界上,根据边界上的约束条件建立位移边界条件。 求解弹性力学问题,即在边界条件下根据平衡微分方程、几何方程、物理方程求解应力 分量、形变分量和位移分量。 3、弹性力学中应力如何表示?正负如何规定? 答:弹性力学中正应力用 ? 表示,并加上一个下标字母,表明这个正应力的作用面与作 用方向;切应力用 ? 表示,并加上两个下标字母,前一个字母表明作用面垂直于哪一个 坐标轴,后一个字母表明作用方向沿着哪一个坐标轴。并规定作用在正面上的应力以沿 坐标轴正方向为正,沿坐标轴负方向为负。相反,作用在负面上的应力以沿坐标轴负方 向为正,沿坐标轴正方向为负。 4、简述平面应力问题与平面应变问题的区别。 答:平面应力问题是指很薄的等厚度薄板,只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变 化的面力,同时,体力也平行于板面并且不沿厚度变化。对应的应力分量只有 ? x ,? y ,

? xy 。而平面应变问题是指很长的柱形体,在柱面上受有平行于横截面并且不沿长度变
化的面力,同时体力也平行于横截面并且不沿长度变化,对应的位移分量只有 u 和 v 5、简述圣维南原理。 如果把物体的一小部分边界上的面力,变换为分布不同但静力等效的面力(主矢 量相同,对于同一点的主矩也相同) ,那么,近处的应力分布将有显著的改变,但是远 处所受的影响可以不计。 6、简述按应力求解平面问题时的逆解法。 答:所谓逆解法,就是先设定各种形式的、满足相容方程的应力函数;并由应力分量与 应力函数之间的关系求得应力分量;然后再根据应力边界条件和弹性体的边界形状,看 这些应力分量对应于边界上什么样的面力, 从而可以得知所选取的应力函数可以解决的 问题。 7、以三节点三角形单元为例,简述有限单元法求解离散化结构的具体步骤。 (1)取三角形单元的结点位移为基本未知量。 (2)应用插值公式,由单元的结点位移求出单元的位移函数。 (3)应用几何方程,由单元的位移函数求出单元的应变。 (4)应用物理方程,由单元的应变求出单元的应力。 (5)应用虚功方程,由单元的应力出单元的结点力。 (6)应用虚功方程,将单元中的各种外力荷载向结点移置,求出单元的结点荷载。 (7)列出各结点的平衡方程,组成整个结构的平衡方程组。 8、为了保证有限单元法解答的收敛性,位移模式应满足哪些条件?
3

答:为了保证有限单元法解答的收敛性,位移模式应满足下列条件: (1)位移模式必须 能反映单元的刚体位移; (2)位移模式必须能反映单元的常量应变; (3)位移模式应尽 可能反映位移的连续性。 9、在有限单元法中,为什么要求位移模式必须能反映单元的刚体位移? 每个单元的位移一般总是包含着两部分:一部分是由本单元的形变引起的,另一部 分是本单元的形变无关的,即刚体位移,它是由于其他单元发生了形变而连带引起的。 甚至在弹性体的某些部位,例如在靠近悬臂梁的自由端处,单元的形变很小,单元的位 移主要是由于其他单元发生形变而引起的刚体位移。因此,为了正确反映单元的位移形 态,位移模式必须能反映该单元的刚体位移。 10、在有限单元法中,为什么要求位移模式必须能反映单元的常量应变? 答:每个单元的应变一般总是包含着两部分:一部分是与该单元中各点的位置坐标有关 的,是各点不相同的,即所谓变量应变;另一部分是与位置坐标无关的,是各点相同的, 即所谓常量应变。而且,当单元的尺寸较小时,单元中各点的应变趋于相等,也就是单 元的应变趋于均匀,因而常量应变就成为应变的主要部分。因此,为了正确反映单元的 形变状态,位移模式必须能反映该单元的常量应变。 11、在平面三结点三角形单元中,能否选取如下的位移模式并说明理由: (1) u( x, y)??1 ?? 2 x 2 ?? 3 y , v( x, y)?? 4 ?? 5 x?? 6 y 2 (2) u( x, y)??1 x 2 ?? 2 xy?? 3 y 2 , v( x, y)?? 4 x 2 ?? 5 xy?? 6 y 2 答: (1)不能采用。因为位移模式没有反映全部的刚体位移和常量应变项;对坐标 x,y 不对等;在单元边界上的连续性条件也未能完全满足。 (2)不能采用。因为,位移模式没有反映刚体位移和常量应变项;在单元边界上 的连续性条件也不满足。 四、分析计算题 1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件,并考虑下列平面问题的 应力分量是否可能在弹性体中存在。 (1) ? x ? Ax?By , ? y ?Cx?Dy , ? xy ?Ex?Fy ; (2) ? x ? A( x 2 ? y 2 ) , ? y ?B( x 2 ? y 2 ) , ? xy ?Cxy ; 其中,A,B,C,D,E,F 为常数。 解:应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件: ( 1 )在区域内的平衡微分方程
? ?? x ?? yx ? ?0 ? ?y ? ?2 ?2 ? ?x ; (2)在区域内的相容方程 ? ? ? ?x 2 ? ?y 2 ? ? ?? y ? ?? xy ?0 ? ?x ? ?y
? ? (3)在边界上的应力 ??? x ?? y ??0 ; ?

4

? ??l? x ?m? yx ?s ? f 边界条件 ? ? ??m? y ?l? xy ?s ? f

x

?s ? ; (4)对于多连体的位移单值条件。 ? ? s y

(1)此组应力分量满足相容方程。为了满足平衡微分方程,必须 A=-F,D=-E。此 外还应满足应力边界条件。 (2)为了满足相容方程,其系数必须满足 A+B=0;为了满足平衡微分方程,其系 数必须满足 A=B=-C/2。上两式是矛盾的,因此,此组应力分量不可能存在。
2 2、已知应力分量 ? x ??Qxy2 ?C1 x 3 , ? y ?? 3 ,? xy ??C2 y 3 ?C3 x 2 y ,体力不计,Q 为 2 C2 xy

常数。试利用平衡微分方程求系数 C1,C2,C3。 解:将所给应力分量代入平衡微分方程
? ?? x ?? yx ? ?0 ? ?y ? ?x ? ? ?? y ? ?? xy ?0 ? ?x ? ?y


??Qy 2 ?3C1 x 2 ?3C 2 y 2 ?C 3 x 2 ?0 ? ??3C 2 xy?2C 3 xy?0


??3C1 ?C3 ?x 2 ??Q?3C 2 ? y 2 ?0 ? ??3C 2 ?2C3 ?xy?0

由 x,y 的任意性,得
?3C1 ?C 3 ?0 ? ?Q ?3C 2 ?0 ?3C ? 2C ?0 3 ? 2

由此解得, C1 ?

Q Q Q , C 2 ?? , C 3 ? 6 3 2

3、已知应力分量 ? x ??q , ? y ??q , ? xy ?0 ,判断该应力分量是否满足平衡微分方程和 相容方程。 解:将已知应力分量 ? x ??q , ? y ??q , ? xy ?0 ,代入平衡微分方程
? ?? x ?? yx ? ? X ?0 ? ?x ?y ? ? ?? y ?? xy ? ?Y ?0 ? ? ?y ?x ?
5

可知,已知应力分量 ? x ??q , ? y ??q , ? xy ?0 一般不满足平衡微分方程,只有体力忽略 不计时才满足。 按应力求解平面应力问题的相容方程:

? 2? xy ?2 ?2 (? x ??? y )? 2 (? y ??? x )?2(1?? ) ?x?y ?y 2 ?x
将已知应力分量 ? x ??q , ? y ??q , ? xy ?0 代入上式,可知满足相容方程。 按应力求解平面应变问题的相容方程:

?2 ? ?2 ? 2 ? ? xy ( ? ? ? ) ? ( ? ? ? ) ? x y y x 1?? 1?? 1?? ?x?y ?y 2 ?x 2
2

将已知应力分量 ? x ??q , ? y ??q , ? xy ?0 代入上式,可知满足相容方程。 4、试写出平面问题的应变分量存在的必要条件,并考虑下列平面问题的应变分量是否 可能存在。 (1) ? x ? Axy , ? y ?By3 , ? xy ?C?Dy 2 ; (2) ? x ? Ay2 , ? y ?Bx2 y , ? xy ?Cxy ; (3) ? x ?0 , ? y ?0 , ? xy ?Cxy ; 其中,A,B,C,D 为常数。 解:应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件,即
2 2 ? 2 ? x ? ? y ? ? xy ? ? ?y 2 ?x 2 ?x?y

将以上应变分量代入上面的形变协调方程,可知: (1)相容。 (2) 2 A?2 By?C (1 分) ;这组应力分量若存在,则须满足:B=0,2A=C。 (3)0=C;这组应力分量若存在,则须满足:C=0,则 ? x ?0 ,? y ?0 ,? xy ?0(1 分) 。 5、证明应力函数 ? ?by2 能满足相容方程,并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解 决什么问题(体力不计, b?0 ) 。 h/2 O h/2 l/2 y
6

x

l/2

解:将应力函数 ? ?by2 代入相容方程

? 4? ? 4? ? 4? ? 2 ? ?0 ?x 4 ?x 2 ?y 2 ?y 4
可知,所给应力函数 ? ?by2 能满足相容方程。 由于不计体力,对应的应力分量为

?x?

? 2? ? 2? ? 2? ? ? ? 0 , , ? ? ? ?0 ? 2 b y xy ?x 2 ?x?y ?y 2

对于图示的矩形板和坐标系,当板内发生上述应力时,根据边界条件,上下左右四 个边上的面力分别为:
h 上边, y ?? , l ? 0 , m??1 , f x ??(? xy ) h ?0 , f y ??(? y ) h ?0 ; y ?? y ?? 2 2 2 h 下边, y ? , l ? 0 , m?1 , f x ?(? xy ) h ?0 , f y ?(? y ) h ?0 ; y? y? 2 2 2 l 左边, x?? , l ??1 , m?0 , f x ??(? x ) l ??2b , f y ??(? xy ) l ?0 ; x?? x?? 2 2 2 l 右边, x ? , l ?1 , m?0 , f x ?(? x ) l ?2b , f y ?(? xy ) l ?0 。 x? x? 2 2 2

可见,上下两边没有面力,而左右两边分别受有向左和向右的均布面力 2b。因此, 应力函数 ? ?by2 能解决矩形板在 x 方向受均布拉力(b>0)和均布压力(b<0)的问题。 6、证明应力函数 ? ? axy 能满足相容方程,并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解 决什么问题(体力不计, a ?0 ) 。 h/2 O h/2 l/2 y 解:将应力函数 ? ? axy 代入相容方程 l/2

x

? 4? ? 4? ? 4? ? 2 ? ?0 ?x 4 ?x 2 ?y 2 ?y 4
7

可知,所给应力函数 ? ? axy 能满足相容方程。 由于不计体力,对应的应力分量为

?x?

? 2? ? 2? ? 2? ? ? ? 0 , , ? ? ? ??a ? 0 y xy ?x 2 ?x?y ?y 2

对于图示的矩形板和坐标系,当板内发生上述应力时,根据边界条件,上下左右四 个边上的面力分别为:
h 上边, y ?? , l ? 0 , m??1 , f x ??(? xy ) h ?a , f y ??(? y ) h ?0 ; y ?? y ?? 2 2 2

h 下边, y ? , l ? 0 , m?1 , f x ?(? xy ) h ??a , f y ?(? y ) h ?0 ; y? y? 2 2 2 l 左边, x?? , l ??1 , m?0 , f x ??(? x ) l ?0 , f y ??(? xy ) l ?a ; x?? x?? 2 2 2 l 右边, x ? , l ?1 , m?0 , f x ?(? x ) l ?0 , f y ?(? xy ) l ??a 。 x? x? 2 2 2

可见,在左右两边分别受有向下和向上的均布面力 a,而在上下两边分别受有向右 和向左的均布面力 a。因此,应力函数 ? ? axy 能解决矩形板受均布剪力的问题。 7、如图所示的矩形截面的长坚柱,密度为 ? ,在一边侧面上受均布剪力,试求应力分 量。
O b x

解: 根据结构的特点和受力情况, 可以假定纵向纤维互不挤压, 即设 ? x ?0 。由此可知

?g

q

?x?

? 2? ?0 ?y 2

将上式对 y 积分两次,可得如下应力函数表达式

? ?x, y ?? f1 ( x) y? f 2 ( x)
y

将上式代入应力函数所应满足的相容方程则可得
y d 4 f 1 ( x) d 4 f 2 ( x) ? ?0 dx4 dx4

这是 y 的线性方程,但相容方程要求它有无数多的解(全柱内的 y 值都应该满足它) , 可见它的系数和自由项都应该等于零,即
d 4 f 1 ( x) ?0 , dx4
8

d 4 f 2 ( x) ?0 dx4

这两个方程要求

f1 ( x)? Ax3 ?Bx2 ?Cx?I ,

f 2 ( x)?Dx3 ?Ex2 ? Jx?K

代入应力函数表达式,并略去对应力分量无影响的一次项和常数项后,便得

? ? y( Ax3 ?Bx2 ?Cx)?Dx3 ?Ex2
对应应力分量为

? 2? ? x ? 2 ?0 ?y
? 2? ? y ? 2 ? y(6 Ax?2 B)?6 Dx?2 E ? ?gy ?x

? xy ??

? 2? ??3 Ax2 ?2 Bx?C ?x?y

以上常数可以根据边界条件确定。 左边, x?0 , l ??1 , m?0 ,沿 y 方向无面力,所以有

?(? xy ) x?0 ?C?0
右边, x?b , l ?1 , m?0 ,沿 y 方向的面力为 q,所以有

(? xy ) x?b ??3Ab2 ?2Bb?q
上边, y?0 , l ? 0 , m??1 ,没有水平面力,这就要求 ? xy 在这部分边界上合成的主 矢量和主矩均为零,即

? (?
0

b

xy

) y ?0 dx?0

将 ? xy 的表达式代入,并考虑到 C=0,则有

? (?3Ax
0

b

2

3 2 ?2Bx)dx?? Ax3 ?Bx2 b 0 ?? Ab ?Bb ?0

而 ? (? xy ) y ?0 ?0dx?0 自然满足。又由于在这部分边界上没有垂直面力,这就要求 ? y 在这部
0

b

分边界上合成的主矢量和主矩均为零,即

? (?
0

b

y

) y ?0 dx?0 ,

? (?
0 2

b

y

) y ?0 x d ? x0

将 ? y 的表达式代入,则有

? (6Dx?2E)dx?3Dx
0 b 0

b

2 ?2Ex b 0 ?3Db ?2 Eb?0 2 b 0

? (6Dx?2E) xdx?2Dx ?Ex
3

?2Db3 ? Eb2 ?0

由此可得
A?? q q , B ? , C ?0 , D ? 0 , E ?0 2 b b
9

应力分量为

? x ?0 ,

? y ?2q ?1?3 ???gy , ? xy ?q ? 3 ?2 ?

y? b?

x? b?

x? x b? b

? ?

虽然上述结果并不严格满足上端面处(y=0)的边界条件,但按照圣维南原理,在稍远 离 y=0 处这一结果应是适用的。 8 、证明:如果体力分量虽然不是常量,但却是有势的力,即体力分量可以表示为
f x ?? ?V ?V , f y ?? ,其中 V 是势函数,则应力分量亦可用应力函数表示为, ?x ?y

?x?

? 2? ? 2? ? 2? ? ? ? V , , ,试导出相应的相容方程。 ? ? ? ? V y xy ?x 2 ?x?y ?y 2

证明:在体力为有势力的情况下,按应力求解应力边界问题时,应力分量 ? x ,? y ,? xy 应当满足平衡微分方程
? ?? x ?? yx ?V ? ? ?0 ? ?y ?x ? ?x (1 分) ? ? ? ? ? ? V y xy ? ? ? ?0 ? ?x ?y ? ?y

还应满足相容方程

? ?f x ?f y ? ?2 ?2 ? ? ? ?x 2 ? ?y 2 ? ??? x ?? y ????1? ? ?? ? ?x ? ?y ? ? ? ? ?2 ?2 ? 1 ? ?f x ?f y ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?x 2 ?y 2 ? x y 1?? ? ? ?x ? ?y ? ? ?

? ? ? (对于平面应力问题) ? ? ? ? (对于平面应变问题) ?

并在边界上满足应力边界条件(1 分) 。对于多连体,有时还必须考虑位移单值条件。 首先考察平衡微分方程。将其改写为
?? yx ?? ?0 ? ?? x ?V ?? ?y ? ?x ? ? ? ?? ?V ?? ?? xy ?0 y ? ?x ? ?y 这是一个齐次微分方程组。为了求得通解,将其中第一个方程改写为

? ?? x ?V ?? ? ??? yx ? ?x ?y

根据微分方程理论,一定存在某一函数 A(x,y) ,使得

? x ?V ?
同样,将第二个方程改写为

?A ?A , ?? yx ? ?x ?y

10

? ?? y ?V ?? ? ??? yx ?(1 分) ?y ?x

可见也一定存在某一函数 B(x,y) ,使得

? y ?V ?
由此得

?B ?B , ?? yx ? ?x ?y

?A ?B ? ?x ?y

因而又一定存在某一函数 ? ?x, y ? ,使得
A?
?? ?? , B? ?x ?y

代入以上各式,得应力分量
? 2? ? 2? ? 2? ? x ? 2 ?V , ? y ? 2 ?V , ? xy ?? ?x ?x?y ?y

为了使上述应力分量能同量满足相容方程,应力函数 ? ?x, y ? 必须满足一定的方程, 将上述应力分量代入平面应力问题的相容方程,得

? ? 2 ? 2 ?? ? 2? ? ?2 ?2 ? ? 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? V ? ? V ? 1 ? ? ? ?x 2 ?y 2 ?? ?y 2 ? ? ?x 2 ? ?y 2 ? ?V ?x 2 ? ?? ? ? ? ? ? 2 ? 2 ?? ? 2? ? 2? ? ? ?2 ?2 ? ? ?2 ?2 ? ? ? ?x 2 ? ?y 2 ? ?? ? 2? 2 ? ???2? ? ?x 2 ? ?y 2 ? ?V ??1?? ?? ? ?x 2 ? ?y 2 ? ?V ? ?? ?y ?x ? ? ? ? ?
简写为

? 4? ??(1?? )? 2V
将上述应力分量代入平面应变问题的相容方程,得

? ? 2 ? 2 ?? ? 2? ? 2? ? 1 ? ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? ? V ? ?V ? ? ?x 2 ?y 2 ?? ?y 2 ??1?? ? ? ?x 2 ? ?y 2 ? ?V ?x 2 ? ?? ? ? ? ? ? 2 ? 2 ?? ? 2? ? 2? ? ? ?2 ?2 ? 1 ? ?2 ?2 ? ? ? ?x 2 ? ?y 2 ? ?? ? 2? 2 ? ???2? ? ?x 2 ? ?y 2 ? ?V ?1?? ? ? ?x 2 ? ?y 2 ? ?V ? ?? ?y ?x ? ? ? ? ?
简写为
1?2? 2 ? 4? ? ? ?V 1??

9、如图所示三角形悬臂梁只受重力作用,而梁的密度为 ? ,试用纯三次的应力函数求 解。
11

O

??

x

?g

y

解:纯三次的应力函数为

? ?ax3 ?bx2 y?cxy2 ?dy3
相应的应力分量表达式为

?x?

? 2? ? xf x ?2cx?6dy , ?y 2

?y?

? 2? ? yf y ?6ax?2by? ?gy , ?x 2

? xy ??

? 2? ??2bx?2cy ?x?y

这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。 现在来考察, 如果适当选择各个系数, 是否能满足应力边界条件。 上边, y?0 , l ? 0 , m??1 ,没有水平面力,所以有

?(? xy ) y?0 ?2bx?0
对上端面的任意 x 值都应成立,可见
b?0

同时,该边界上没有竖直面力,所以有

?(? y ) y ?0 ?6ax?0
对上端面的任意 x 值都应成立,可见
a ?0

因此,应力分量可以简化为

? x ?2cx?6dy , ? y ???gy , ? xy ??2cy
? ?? ?? 斜面, y? xtan? , l ?cos??? ?? ????sin? , m?cos??? ??cos? ,没有面力,所以有 ? ? 2 ??
? ??l? x ?m? yx ?y ? x tan? ?0 ? ?m? y ?l? xy ?y? xtan? ?0 ? ?
由第一个方程,得

??2cx?6dxtan? ?sin? ?2cxtan? cos? ??4cxsin? ?6dxtan? sin? ?0
对斜面的任意 x 值都应成立,这就要求 ?4c?6d tan ? ?0 由第二个方程,得
2cxtan? sin? ??gxtan? cos? ?2cxtan? sin? ??gxsin? ?0
12

对斜面的任意 x 值都应成立,这就要求
2ctan? ??g ?0 (1 分)

由此解得
1 1 c ? ?g cot ? (1 分) , d ?? ?g cot 2 ? 2 3

从而应力分量为

? x ??gxcot? ?2?gycot2 ? , ? y ???gy , ? xy ???gycot?
h 设三角形悬臂梁的长为 l,高为 h,则 tan ? ? 。根据力的平衡,固定端对梁的约束 l 1 反力沿 x 方向的分量为 0,沿 y 方向的分量为 ? ?glh 。因此,所求 ? x 在这部分边界上 2 1 合成的主矢应为零, ? xy 应当合成为反力 ? ?glh 。 2

? ?? ?
h 0 x

x ?l
h

dy?? ?glcot? ?2?gycot2 ? dy??glhcot? ??gh2 cot2 ? ?0
0
xy x ?l

h

?

?

h 1 1 dy ?? ?? ?gy cot ? ?dy ?? ?gh 2 cot ? ?? ?glh 0 0 2 2 可见,所求应力分量满足梁固定端的边界条件。

? ?? ?

10、设有楔形体如图所示,左面铅直,右面与铅直面成角 ? ,下端作为无限长,承受重 力及液体压力,楔形体的密度为 ?1 ,液体的密度为 ? 2 ,试求应力分量。
O x

??

解: 采用半逆解法。 首先应用量纲分析方法来假设应力 分量的函数形式。 取坐标轴如图所示。 在楔形体的任意 一点, 每一个应力分量都将由两部分组成: 一部分由重 力引起,应当与 ?1 g 成正比(g 是重力加速度) ;另一

?2g?

?1g?

部分由液体压力引起,应当与 ? 2 g 成正比。此外,每一 部分还与 ? ,x,y 有关。由于应力的量纲是 L-1MT-2,

y

?1 g 和 ? 2 g 的量纲是 L-2MT-2, ? 是量纲一的
量,而 x 和 y 的量纲是 L,因此,如果应力分量具有多项式的解答,那么它们的表达式 只可能是 A?1 gx , B?1 gy , C? 2 gx , D? 2 gy 四项的组合,而其中的 A,B,C,D 是量纲 一的量,只与 ? 有关。这就是说,各应力分量的表达式只可能是 x 和 y 的纯一次式。 其次,由应力函数与应力分量的关系式可知,应力函数比应力分量的长度量纲高二 次,应该是 x 和 y 纯三次式,因此,假设

? ?ax3 ?bx2 y?cxy2 ?dy3
相应的应力分量表达式为
? 2? ? 2? ? 2? ? ? ? yf ? 6 ax ? 2 by ? ? gy , , ? ? ? ??2bx?2cy ? xf ? 2 cx ? 6 dy y y 1 xy x ?x 2 ?x?y ?y 2
13

?x?

这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。 现在来考察, 如果适当选择各个系数, 是否能满足应力边界条件。 左面, x?0 , l ??1 , m?0 ,作用有水平面力 ? 2 gy ,所以有

?(? x ) x?0 ??6dy?? 2 gy
对左面的任意 y 值都应成立,可见
d ??

?2 g
6

同时,该边界上没有竖直面力,所以有

?(? xy ) x?0 ?2cy?0
对左面的任意 y 值都应成立,可见
c?0

因此,应力分量可以简化为

? x ??? 2 gy , ? y ?6ax?2by?? 1gy , ? xy ??2bx
?? ? 斜面, x? y tan? , l ?cos? , m?cos? ?? ???sin? ,没有面力,所以有 ?2 ?

? ??l? x ?m? yx ?x ? y tan? ?0 ? ?m? y ?l? xy ?x? y tan? ?0 ? ?
由第一个方程,得

?? 2 gycos? ?2bytan? sin? ?0
对斜面的任意 y 值都应成立,这就要求

?? 2 gcos? ?2btan? sin? ?0
由第二个方程,得

??6aytan? ?2by??1 gy?sin? ?2bytan? cos? ???6atan? sin? ?4bsin? ??1 gsin? ?y?0
对斜面的任意 x 值都应成立,这就要求

?6atan? ?4b? ?1 g ?0
由此解得
1 1 1 a ? ?1 g cot ? ? ? 2 g cot 3 ? , b? ? 2 g cot 2 ? 6 3 2

从而应力分量为

? x ??? 2 gy , ? y ???1 gcot? ?2?2 gcot3? ?x???2 gcot2 ? ?? 1g ?y , ? xy ??? 2 gxcot2 ?

14


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