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绝对值的三角不等式

三中学案

成功相伴

绝对值不等式证明
主备人:迟克勤 张滢好 李红涛 审核: 朱玉国

学习目标:

1.对深化绝对值的定义及其几何意义的理解和掌握; 2. 理解关于绝对值三角不等式并会简单应用
王新敞
奎屯 新疆

高考要求:(1)理解绝对值的几何意义,并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件: |a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R);|a+b|≤|a-c|+|c-b|(a,b∈R). 难点: 利用绝对值的三角不等式证明

一、绝对值三角不等式 复习: 绝对值的几何意义: 10. 实数 a 的绝对值 | a | ,表示数轴上坐标为 a 的点 A

20. ? 两个实数 a , b ,它们在数轴上对应的点分别为 A, B ,
那么 | a ? b | 的几何意义是 思考:比较大小:

3 ? (?2)

3 ? ?2 ;

3? 2

3 ? ? 2 ; ? 3 ? (?2)
,当且仅当

3 ? ?2
时,等号成立. ,当且仅当

1.定理 1:如果 a,b 是实数,则|a+b|≤

2 . 定 理 2 : 如 果 a , b , c 是 实 数 , 则 |a - c| ≤
时,等号成立. 探究 绝对值三角不等式:探究 | a | , | b | , | a ? b | 之间的关系. ① a ? b ? 0 时,如下图, 容易得:

| a ?b|

| a| ?|b|

.

② a ? b ? 0 时,如图, 容易得:

| a ?b|

| a| ?|b|

.

绝对值不等式证明- 1 -

三中学案

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③ a ? b ? 0 时,显然有: | a ? b | 定理 1 如果 a, b ? R , 那么 | a ? b |

| a | ? | b | .综上,得 | a | ? | b | . 当且仅当
则当 a, b 不共线时, 由

时, 等号成立.

在上面不等式中,用向量 a, b 分别替换实数 a , b ,

向 量 加 法 三 角 形 法 则 : 向 量 a, b , a ? b 构 成 三 角 形 , 因 此 有

| a? b|

| a? |

|b |

它的几何意义就是: 定理 1 的证明:

定理 2 如果 a, b, c ? R , 那么 | a ? c |

| a ? b | ? | b ? c | . 当且仅当

时, 等号成立.

例 1 设? ? 0, x ? a ?

?
4

, y ?b ?

?
6

,求证: 2x ? 3 y ? 2a ? 3b ? ?

例 2:设 M , ? ? 0 x ? a ?

?
2

, y ?b ?

?
2

, a ? M , y ? M ,求证: xy ? ab ? M?

绝对值不等式证明- 2 -

三中学案

成功相伴

推论: (1) a, b ? R 证明 a ? b ? a ? b



(2)

a ? b ? a?b

例3

已知实数 a, b, c, 满足不等式 a ? b ? c ,证明不等式 x ? a ? x ? b ? c 的解集为 R

思考:利用三角不等式讨论 f ( x) ? x ? 5 ? x ?1 的最小值 巩固练习: 1、已知 x ? a ? 2 , y ? b ? 2 ,求证: ( x ? y) ? (a ? b) ? c. 。
c c

2、 (1) 、已知 A ? a ?

c c , B ? b ? . 求证: ( A ? B) ? (a ? b) ? c 。 2 2 c c (2) 、已知 x ? a ? , y ? b ? . 求证: 2x ? 3 y ? 2a ? 3b ? c 。 4 6

绝对值不等式证明- 3 -

三中学案

成功相伴

3、⑴ a ? b ? a ? b ≥ 2 a ;⑵ a ? b ? a ? b ≤ 2 b

4、 (2012 江苏高考题)已知实数 x,y 满足:|x+y|<3,|2x-y|<6,求证:|y|<18.

1

1

5

作业:教材 19 页习题 1-4:3 5 7 8。

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