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高中数学必修3复习_统计的讲义与习题(含答案及详细解答过程)

【知识点:统计】 一.简单随机抽样 1.总体和样本 总体:在统计学中 , 把研究对象的全体叫做总体. 个体:把每个研究对象叫做个体. 总体容量:把总体中个体的总数叫做总体容量. 为了研究总体 的有关性质,一般从总体中随机抽取一部分: 研究,我们称它为样本 .其中个体的个数称为样本容量 。 .. .... 2.简单随机抽样,也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排队等,完全随 机地抽取调查单位。特点是:每个样本单位被抽中的可能性相同(概率相等) ,样本的每 个单位完全独立, 彼此间无一定的关联性和排斥性。 简单随机抽样是其它各种抽样形式的基 础。通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时,才采用这种方法。 3.简单随机抽样常用的方法: (1)抽签法;⑵随机数表法;⑶计算机模拟法;⑷使用统计软件直接抽取。 在简单随机抽样的样本容量设计中, 主要考虑: ①总体变异情况; ②允许误差范围; ③概率保证程度。 4.抽签法: (1)给调查对象群体中的每一个对象编号; (2)准备抽签的工具,实施抽签 (3)对样本中的每一个个体进行测量或调查 例:请调查你所在的学校的学生做喜欢的体育活动情况。 5.随机数表法: 例:利用随机数表在所在的班级中抽取 10 位同学参加某项活动。 二.系统抽样 1.系统抽样(等距抽样或机械抽样) : 把总体的单位进行排序,再计算出抽样距离,然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。 第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。 d(抽样距离)=N(总体规模)/n(样本规模) 三.分层抽样 1.分层抽样(类型抽样) : 先将总体中的所有单位按照某种特征或标志(性别、年龄等)划分成若干类型或层次, , , ,

然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本, 最后, 将 这些子样本合起来构成总体的样本。 2.分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体,再抽取不同的子总体 中的样本分别代表该子总体,所有的样本进而代表总体。 3.分层的比例问题: (1)按比例分层抽样:根据各种类型或层次中的单位数目占总体单位数目的比重来抽取 子样本的方法。 四.样本频率分布图 1.作图步骤:(1)求极差(一组数据中最大值和最小值得差) (2)决定组距和组数; (3)将数据分组; (4)计算各小组的频率,列频率分布表; (5)画频率分布直方图 2.特点: (1)以面积的形式反映数据落在各小组的频率大小;

频率 ? 频率 组距 ( 3)各小长方形的面积的 总和等于 1. (2)小长方形的面积? 组距?
五.茎叶图 适用范围:在样本数据较少时,用茎叶图表示数据的效果较好,它不但可以保留所有信 息,而且可以随时记录。当样本数据较多时,茎叶图就不太方便了。 六.用样本的数字特征估计总体的数字特征 1、本均值: x ?

x1 ? x2 ? ? ? xn n

2、 .样本标准差: s ?

s2 ?

( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 n

3.用样本估计总体时,如果抽样的方法比较合理,那么样本可以反映总体的信息,但从样 本得到的信息会有偏差。在随机抽样中,这种偏差是不可避免的。 虽然我们用样本数据得到的分布、 均值和标准差并不是总体的真正的分布、 均值和标准 差,而只是一个估计,但这种估计是合理的,特别是当样本量很大时,它们确实反映了总体 的信息。 4. (1)如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数,标准差不变 (2)如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数 k,标准差变为原来的 k 倍 五.两个变量的线性相关

1、概念: (1)回归直线方程

? ? ? ? bx ? a y

(2)回归系数

? b?

? (x
i ?1 n

n

i

? x)( y i ? y )
i

? (x
i ?1

?

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y ? nx
2

? x) 2

?x
i ?1

? ? a ? y ?bx

2 i

2.最小二乘法 3.直线回归方程的应用 (1)描述两变量之间的依存关系;利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依存 的数量关系 (2)利用回归方程进行预测;把预报因子(即自变量 x)代入回归方程对预报量(即 因变量 Y)进行估计,即可得到个体 Y 值的容许区间。 (3)利用回归方程进行统计控制规定 Y 值的变化,通过控制 x 的范围来实现统计控 制的目标。 (4)回归直线一定经过样本的中心点( x , y ),据此性质可以解决有关的计算问题. 【例题讲解】 1. 某同学使用计算器求 30 个数据的平均数时,错将其中一个数据 105 输入为 15 , 那么由此求出的平均数与实际平均数的差是( ) A 3.5 B ?3 C 3 D ? 0 .5
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2. 设有一个直线回归方程为 y ? 2 ? 1.5 x ,则变量 x 增加一个单位时( A C
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y 平均增加 1.5 个单位 y 平均减少 1.5 个单位

B

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y 平均增加 2 个单位 y 平均减少 2 个单位

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D

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3.

从 N 个编号中抽取 n 个号码入样,若采用系统抽样方法进行抽取, 则分段间隔应为( )

A

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N n

B

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n

C

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?N ? ? ?n? ?

D

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?N ? ?1 ? ?n? ?

4.从某厂生产的 802 辆轿车中抽取 80 辆测试某项性能.请合理选择抽样方法进行抽样,并 写出抽样过程.

5. 为了了解参加运动会的 2000 名运动员的年龄情况,从中抽取 100 名运动员;就这个问 题,下列说法中正确的有 ; ① 2000 名运动员是总体;②每个运动员是个体;③所抽取的 100 名运动员是一个样本; ④样本容量为 100 ;⑤这个抽样方法可采用按年龄进行分层抽样;⑥每个运动员被抽到的概 率相等
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6. 数据 70,71,72,73 的标准差是______________
2

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7. 数据 a1 , a2 , a3 ,..., an 的方差为 ? ,平均数为 ? ,则 (1)数据 ka1 ? b, ka2 ? b, ka3 ? b,..., kan ? b,(kb ? 0) 的标准差为 平均数为
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(2)数据 k ( a1 ? b), k (a2 ? b), k (a 的标准差为 kb? 0) 3 ? b),...,k (a n ? b ), ( 平均数为 8.
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用样本频率分布估计总体频率分布的过程中,下列说法正确的是( A C
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总体容量越大,估计越精确 样本容量越大,估计越精确

B D

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总体容量越小,估计越精确 样本容量越小,估计越精确

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9

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从两个班中各随机的抽取 10 名学生,他们的数学成绩如下: 甲班 乙班 76 86 74 84 82 62 96 76 66 78
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76 92

78 82

72 74

52 88

68 85

画出茎叶图并分析两个班学生的数学学习情况

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【课堂练习】 1. 相关关系与函数关系的区别是 2. 从 10 个篮球中任取一个,检验其质量,则应采用的抽样方法为_______________ 3. 下列说法错误的是 ( ) A 在统计里,把所需考察对象的全体叫作总体 B 一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据 C 平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势
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一组数据的方差越大,说明这组数据的波动越大 4. 要了解全市高一学生身高在某一范围的学生所占比例的大小,需知道相应样本的( ) A 平均数 B 方差 C 众数 D 频率分布 5. 要从已编号( 1 60 )的 60 枚最新研制的某型导弹中随机抽取 6 枚来进行发射试验, 用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的 6 枚导弹的编号可能是( ) D
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A C

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5,10,15, 20, 25,30 1, 2,3, 4,5,6
2

B

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3,13, 23,33, 43,53
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D

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2, 4,8,16,32, 48


6. 数据 a1 , a2 , a3 ,..., an 的方差为 ? ,则数据 2a1 , 2a2 , 2a3 ,..., 2an 的方差为( A

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?2 2

B

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?2

C

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2? 2

D

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4? 2

7. 已知样本 9,10,11, x, y 的平均数是 10 ,标准差是 2 ,则 xy ? 8. 有 50 件产品编号从 1 到 50 ,现在从中抽取 5 件检验,用系统抽样 确定所抽取的编号为( A C ) B D

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5,10,15, 20, 25 5,11,17, 23, 29

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5,15, 20,35, 40 10, 20,30, 40,50

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9. (2013· 武夷模拟)用系统抽样法要从 160 名学生中抽取容量为 20 的样本, 将 160 名学生随 机地从 1~160 编号,按编号顺序平均分成 20 组(1~8 号,9~16 号,…,153~160 号), 若第 16 组抽出的号码为 126,则第 1 组中用抽签的方法确定的号码是________. 10.(2012· 江西)样本(x1,x2,…,xn)的平均数为 x ,样本(y1,y2,…,ym)的平均数为 y ( x 1 ≠ y ). 若样本(x1, x2, …, xn, y1, y2, …, ym)的平均数 z =α x +(1-α) y , 其中 0<α< , 2 则 n,m 的大小关系为 A.n<m B.n>m C.n=m ( ). D.不能确定

11. 已知施化肥量 x 与水稻产量 y 的试验数据如下表, 则变量 x 与变量 y 是________相关(填 “正”或“负”). 施化肥量 x 水稻产量 y 15 330 20 345 25 365 30 405 35 445 40 450 45 455

12.(2013· 长春调研)已知 x,y 取值如下表:

x y

0 1.3

1 1.8

4 5.6

5 6.1

6 7.4

8 9.3 ).

^ 从所得的散点图分析可知:y 与 x 线性相关,且y=0.95x+a,则 a=( A.1.30 B.1.45 C.1.65 D.1.80

13.某班同学利用国庆节进行社会实践,对[25,55]岁的人群随机抽取 n 人进行了一次生活习 惯是否符合低碳观念的调查,若生活习惯符合低碳观念,称为“低碳族”,否则称为“非低 碳族”, 得到如下统计表和各年龄
组数 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 分组 [25,30) [30,35) [35,40) [40,45) [45,50) [50,55] 低碳族的人数 120 195 100 a 30 15 占本组的频率 0.6 p 0.5 0.4 0.3 0.3

段人数频率分布直方图:

(1)补全频率分布直方图;

(2)求 n,a,p 的值.

14

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以下是某地搜集到的新房屋的销售价格 y 和房屋的面积 x 的数据:

(1)画出数据对应的散点图; (2)求线性回归方程,并在散点图中加上回归直线; (3)据(2)的结果估计当房屋面积为 150m 时的销售价格
2
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15.(2012· 揭阳调研)某校高一某班的某次数学测试成绩(满分为 100 分)的茎叶图和频率分布 直方图都受了不同程度的破坏,但可见部分如图,据此解答下列问题:

(1)求分数在[50,60]的频率及全班人数; (2)求分数在[80,90]之间的频数,并计算频率分布直方图中[80,90]间的矩形的高.

16.已知某单位有 50 名职工,现要从中抽取 10 名 职工,将全体职工随机按 1~50 编号,并按编号顺序 平均分成 10 组,按各组内抽取的编号依次增加 5 进行 系统抽样. (1) 若第 5 组抽出的号码为 22,写出所有被抽出职工 的号码; (2)分别统计这 10 名职工的体重(单位:公斤),获得体重数据的茎叶图如图所示,求 该样本的方差; (3)在(2)的条件下,从这 10 名职工中随机抽取两名体重不轻于 73 公斤(≥73 公斤)的 职工,求体重为 76 公斤的职工被抽取到的概率.

【课后作业】 1. 一个容量为 20 的样本,已知某组的频率为 0.25 ,则该组的频数为__________
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2.

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用随机数表法从 100 名学生(男生 25 人)中抽取 20 人进行评教,某男生 被抽取的机率是___________________
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3.(2013· 沈阳质检)沈阳市某高中有高一学生 600 人,高二学生 500 人,高三学生 550 人, 现对学生关于消防安全知识了解情况进行分层抽样调查,若抽取了一个容量为 n 的样本, 其中高三学生有 11 人,则 n 的值等于________

4.

一个容量为 20 的样本数据,分组后组距与频数如下表:
组 距

?10,20? ?20,30? ?30,40? ?40,50? ?50,60? ?60,70?
2 3 4 5 4 2

频 数

则样本在区间 ? ??,50? 上的频率为__________________

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5. 某单位有老年人 28 人,中年人 54 人,青年人 81 人,为调查身体健康状况,需要从中抽 取一个容量为 36 的样本,用分层抽样方法应分别从老年人、中年人、青年人中各抽取 _________人、 人、 人
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6. 某学校共有教师 490 人, 其中不到 40 岁的有 350 人,40 岁及以上的有 140 人 为了了 解普通话在该校中的推广普及情况, 用分层抽样的方法, 从全体教师中抽取一个容量为 70 人 的样本进行普通话水平测试,其中在不到 40 岁的教师中应抽取的人数为多少人?
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7. 如图,从参加环保知识竞赛的学生中抽出 60 名,将其成绩(均为整数)整理后画出的 频率分布直方图如下:观察图形,回答下列问题:

(1) 79.5 89.5 这一组的频数、频率分别是多少? (2)估计这次环保知识竞赛的及格率( 60 分及以上为及格)

统计答案 【例题答案】 例 1. B 例 2. 0.7 少输入 90,

90 ? 3, 平均数少 3 ,求出的平均数减去实际的平均数等于 ?3 30
例 3. C 剔除零头

14 ? 0.7 20

4.[审题视点] 因为 802 不能整除 80,为了保证“等距”分段,应先剔除 2 个个体. 解 由于总体及样本中的个体数较多,且无明显差异,因此采用系统抽样的方法,步骤 如下: 第一步:先从 802 辆轿车中剔除 2 辆轿车(剔除方法可用随机数法); 800 第二步:将余下的 800 辆轿车编号为 1,2,…,800,并均匀分成 80 段,每段含 k= = 80 10 个个体; 第三步:从第 1 段即 1,2,…,10 这 10 个编号中,用简单随机抽样的方法抽取一个编号 (如 5)作为起始编号; 第四步:从 5 开始,再将编号为 15,25,…,795 的个体抽出,得到一个容量为 80 的样 本. 解决系统抽样问题的两个关键步骤为: (1)分段的方法应依据抽取的样本容量而定,即根据定义每段抽取一个样本. (2)起始编号的确定应用简单随机抽样的方法,一旦起始编号确定,其他编号便随之确定 5.④,⑤,⑥ 6.

2000 名运动员的年龄情况是总体;每个运动员的年龄是个体;

5 2

X?

7 0? 7 1 ? 7? 2 73 ?71.5, 4

s?
7

1 5 [(70 ? 71.5)2 ? (71 ? 71.5)2 ? (72 ? 71.5)2 ? (73 ? 71.5) 2 ] ? 4 2

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(1) k ? , k ? ? b (2) k ? , k ? ? kb (1) X ?

ka1 ? b ? ka2 ? b ? ... ? kan ? b a ? a ? ... ? an ?k? 1 2 ? b ? k? ? b n n

s? ?k

1 [(ka1 ? b ? k ? ? b)2 ? (ka2 ? b ? k ? ? b)2 ? ... ? (kan ? b ? k ? ? b) 2 ] n 1 [(a1 ? ? )2 ? (a2 ? ? )2 ? ... ? (an ? ? ) 2 ] ? k ? n
k (a1 ? b) ? k (a2 ? b) ? ... ? k (an ? b) a ? a ? ... ? an ?k? 1 2 ? nb ? k ? ? nb n n

(2) X ?

s? ?k

1 [(ka1 ? kb ? k ? ? kb)2 ? (ka2 ? kb ? k ? ? kb)2 ? ... ? (kan ? kb ? k ? ? kb) 2 ] n 1 [(a1 ? ? )2 ? (a2 ? ? )2 ? ... ? (an ? ? ) 2 ] ? k ? n

8. C 9. 解: 甲班 2 6 8 6 6 4 2 2 6 乙班 5 6 2 7 4 6 8 8 2456 8 9 2
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乙班级总体成绩优于甲班 【课堂练习】 1.函数关系是两个变量之间有完全确定的关系, 而相关关系是两个变量之间并没有严格的确 定关系,当一个变量变化时,另一变量的取值有一定的随机性 2. 简单随机抽样 3. B 平均数不大于最大值,不小于最小值
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4

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D

5

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B

60 ? 10 ,间隔应为 10 6

6. D

?2 ?

n 1 n 1 n 2 1 2 ( X ? X ) , (2 X ? 2 X ) ? 4 ? ? i ? i ? ( X i ? X )2 ? 4? 2 , n i ?1 n i ?1 n i ?1

7. 96

9 ? 10 ? 11 ? x ? y ? 50, x ? y ? 20 , 1 ? 1 ? ( x ?10)2 ? ( y ?10)2 ? 10 ,

x2 ? y2 ? 20( x ? y) ? ?192,( x ? y)2 ? 2xy ? 20( x ? y) ? ?192, xy ? ?96
8.D 间隔为 10 9. 6 解析 设第 1 组抽取的号码为 b,则第 n 组抽取的号码为 8(n-1)+b,∴8×(16-1) +b=126,∴b=6,故第 1 组抽取的号码为 6. 10.解析 依题意得 x1+x2+…+xn=n x ,y1+y2+…+ym=m y , x1+x2+…+xn+y1+y2+…+ym=(m+n) z =(m+n)α x +(m+n)(1-α) y , ∴n x +m y =(m+n)α x +(m+n)(1-α) y ,

? ?n=?m+n?α, ∴? 于是有 n-m=(m+n)[α-(1-α)]=(m+n)(2α-1), ?m=?m+n??1-α?, ?
1 ∵0<α< ,∴2α-1<0,∴n-m<0,即 m>n. 2 答案 A

11 .正 1 1 12.解析 依题意得, x = ×(0+1+4+5+6+8)=4, y = ×(1.3+1.8+5.6+6.1+7.4+ 6 6 ^ 9.3)=5.25.又直线y=0.95x+a 必过样本中心点( x , y ), 即点(4,5.25), 于是有 5.25=0.95×4 +a,由此解得 a=1.45,选 B. 13.[审题视点] (1)要补全频率分布直方图, 关键是计算出第二组的频率; (2)灵活运用关系式: 频率 频数 ×组距=频率, =频率求解. 组距 样本容量 解 (1)第二组的频率为 1-(0.04+0.04+0.03+0.02+0.01)×5=0.3,所以小长方形的高 0.3 为 =0.06.频率分布直方图如图所示. 5

120 200 (2)第一组的人数为 =200,频率为 0.04×5=0.2, 所以 n= =1 000. 0.6 0.2 195 由(1)知, 第二组的频率为 0.3, 所以第二组的人数为 1 000×0.3=300, 所以 p= =0.65. 300 第四组的频率为 0.03×5 = 0.15 ,所以第四组的人数为 1 000×0.15 = 150 ,所以 a = 150×0.4=60. (1)绘制频率分布直方图时需注意:①制作好频率分布表后可以利用各组的频 频率 率之和是否为 1 来检验该表是否正确; ②频率分布直方图的纵坐标是 , 而不是频率. 组距 频率 (2)由频率分布直方图进行相关计算时,需掌握下列关系式: ×组距=频率. 组距 14. 解: (1)数据对应的散点图如图所示:
5 1 5 2 (2) x ? ? xi ? 109, l xx ? ? ( xi ? x) ? 1570, 5 i ?1 i ?1 5

y ? 23.2, l xy ? ? ( xi ? x)( yi ? y) ? 308
i ?1

设所求回归直线方程为 y ? bx ? a , 则b ?

?

l xy l xx

?

308 ? 0.1962 1570
308 ? ? 1.8166 ,故所求回归直线方程为 y ? 0.1962x ? 1.8166 1570
2

a ? y ? b x ? 23.2 ? 109 ?

(3)据(2) ,当 x ? 150m 时,销售价格的估计值为:

? y ? 0.1962? 150 ? 1.8166 ? 31.2466(万元)
15.解 (1)分数在[50,60]的频率为 0.008×10=0.08. 由茎叶图知,分数在[50,60]之间的频数为 2,所以全班人数为 2 =25. 0.08

(2)分数在[80,90]之间的频数为 25-2-7-10-2=4,频率分布直方图中[80,90]间的矩形 4 的高为 ÷ 10=0.016. 25 16.解 (1)由题意,第 5 组抽出的号码为 22. 因为 k+5×(5-1)=22,所以第 1 组抽出的号码应该为 2,抽出的 10 名职工的号码 分别为 2,7,12,17,22,27,32,37,42,47. (2)因为 10 名职工的平均体重为 x= 1 (81+70+73+76+78+79+62+65+67+59)=71, 10

1 所以样本方差为:s2= (102+12+22+52+72+82+92+62+42+122)=52. 10 (3)从 10 名职工中随机抽取两名体重不轻于 73 公斤的职工,共有 10 种不同的取法: (73,76),(73,78),(73,79),(73,81),(76,78),(76,79),(76,81),(78,79),(78,81),(79,81). 记“体重为 76 公斤的职工被抽取”为事件 A, 它包括的事件有(73,76), (76,78), (76,79), (76,81)共 4 个. 4 2 故所求概率为 P(A)= = . 10 5

【课后作业】1. 5 3.解析 由 n

频率=

频数 样本容量

2

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1 5

每个个体被抽取的机率都是

20 1 ? 100 5

11 = ,得 n=33(人). 600+500+550 550

4. 0.7 5
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14 ? 0.7 20

36 36 36 ? 6, 54 ? ? 12, 81? ? 18, 163 163 163 70 1 1 ? , ,在不到 40 岁的教师中应抽取的人数为 350 ? ? 50 6. 解:而抽取的比例为 490 7 7
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6, 1, 2 1 8 总人数为 28 ? 54 ? 81 ? 163, 28 ?

7.解: (1)频率为: 0.025 ?10 ? 0.25 ,频数: 60 ? 0.25 ? 15 (2) 0.015 ?10 ? 0.025 ?10 ? 0.03 ?10 ? 0.005 ?10 ? 0.75


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