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理科数学第一轮复习等差与等比数列的综合问题


等差与等比数列的综合问题
一、知识点 (一)等差数列的补充性质

(1)若{an }, {bn }均为等差数列, 且公差分别为d1, d 2 , 则数列{pan }, {an + q}, {an ± bn }也为等差数
列, 且公差分别为pd1, d1 + q, d1 ± d 2 .

(2)若 a1>0,d<0,Sn 有最大值,可由不等式组 ?

? an ≥ 0 来确定 n。 ?a n +1 ≤ 0

若 a1<0,d>0,Sn 有最小值,可由不等式组 ? (二) 等比数列的补充性质

? an ≤ 0 来确定。 ?a n +1 ≥ 0

?1? ?a ? 若{an }, {bn }均为等比数列, 且公差分别为q1, q2 , 则数列{pan }, ? ?, {an ? bn }, ? n ?, an ? an ? ? bn ? 1 p 也为等比数列, 且公差分别为pq, , pq, , q . q q

二、范例解析 例 1、 (1)设等差数列的前 n 项之和为 Sn,已知 a3=12,S12>0,S13<0,求公差 d 的取值范 围。 (2)指出 S1,S2,S3,…Sn 中哪一个值最大,并说明理由。 解: (1) S12 = 12a1 +

?2a1 + 11d > 0 12 × 11 12 × 13 d > 0 , S13 = 13a1 + d < 0 ,即 ? , 2 2 ? a1 + 6d < 0
24 < d < ?3 。 7

由 a 3 = a1 + 2d = 12 ,代入得: ?

(2)解一:由 S12 = 6(a 6 + a 7 ) > 0 , S13 = 13a 7 < 0 可知: a 6 > 0 , a 7 < 0 ,所以 S6 最 大。 解二、 S n =

24 d 2 ? 5d ? < d < ?3 可知,它的图象是开口向下的抛物线 n + ?12 ? ?n ,由 ? 7 2 2 ? ?

上的一群离散的点,根据图象可知 S6 最大。

24 5d ? 24 13 d? 5d ? 24 ? d 5d ? 24 2 解三、 S n = ? n ? ) ,由 ? < d < ?3 得 6 < < ? ? ( 7 2d 2 2? 2d ? 2 2d
2

又抛物线开口向下,所以 S6 最大。 评注:求等差数列 Sn 最值有三法:借助求和公式是关于 n 的二次函数的特点,用配方法求

解; 借助等差数列的性质判断,通过”转折项”求解;借助二次函数图象求解。 (经过原点) 练习:已知等差数列{an}中, a1 > 0, S 5 = S12 ,问 S1,S2,S3,…Sn 中哪一个值最大。 a a {b b b 例 2 已知{an}是等比数列, 1 =2, 3 =18; n}是等差数列, 1 =2, 1+ b2+ b3+ b4= a1+ a2+ a3>20. (1) 求数列{bn}的通项公式; (2) 求数列{bn}的前 n 项和 Sn 的公式; (3) 设 Pn= b1+ b4+ b7+…+ b3n-2,Qn= b10+ b12+ b14+…+ b2n+8,其中 n=1,2,…,试比较 Pn 与 Qn 的大小,并证明你的结论。 详见优化设计 P44 典例剖析例 1,解答过程略。 例 3、已知函数 f ( x ) =
?1

1 x2 ? 4

( x < ?2 )

(1) 求 f

(x )
1 a n +1
2 n +1

(2) 设 a1 = 1, (3) 设 bn = a

=?f

?1

(a n )(n ∈ N ? ), 求a n

+ a 2 n + 2 + L + a 2 2 n +1 是否存在最小的正整数 k,使对任意 n ∈ N ? 有

bn <

k 成立?若存在,求出 k 的值,若不存在,说明理由? 25
?1

解: (1)由题 f

(x ) = ?
1 an
2

1 + 4 (x > 0 ) x2 1 a n +1
2

(2)由

1 a n +1

=

+ 4 得 a n+1 > 0, 且 1 4n ? 3

?

1 an
2

=4

所以

1 an
2

= 4n ? 3 即 a n =

(3)先证明{bn}是单调递减数列,所以要对任意 n ∈ N 有 bn < 只须满足 b1 <

?

k 成立 25

k 即可,解得存在最小的正整数 k=8 满足条件。 25

例 4 在等比数列{an}(n∈N*)中, a1 > 1 ,公比 q>0。设 bn=logan,且 b1+ b3+ b5=6,b1+b3+ b5=0。 (1) 求证:数列{bn}是等差数列; (2) 求{bn}的前 n 项和 Sn 及{an}的通项 an; (3) 试比较 an 与 Sn 的大小。 详见优化设计 P44 典例剖析例 3,解答过程略。

三、小结 解答数列综合题,要重视审题,精心联想,沟通联系,解答数列应用性问题,关键是如何 将它转化为数学问题。 四、作业 优化设计


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