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北京市石景山区2015届高三3月统一测试(一模)数学文试题

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2015 年北京市石景山区高三统一测试



学(文科)

本试卷共 6 页,150 分.考试时长 120 分钟.请务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考 试结束后上交答题卡.

第一部分(选择题

共 40 分)

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一 项. 1.已知集合 A ? {?1, 2} , B ? x ? Z 0 ? x ? 2 ,则 A A. {0} B. {2} C. {0,1, 2} ) D.关于 x ? ? 对称 D. ?

?

?

B =(



2.函数 y ? sin(? ? x) ?1 的图象( A.关于 x ?

?
2

对称 B.关于 y 轴对称 C.关于原点对称

3.两旅客坐火车外出旅游,希望座位 连在一起,且有一个靠窗,已知火车上 的座位的排法如图所示,则下列座位 号码符合要求的是( A.48,49 C.75,76 ) 窗 口 1 6 11 16 2 7 12 17 过 道 3 8 13 … 4 9 14 … 5 10 15 … 窗 口

B.62,63 D.84,85

4.如图,在 6 ? 6 的方格纸中,若起点和终点均在格点的向量

a, b , c 满足 c ? xa ? yb ,( x, y ? R) ,则 x ? y ? (
A. 0 B. 1 C. 5 5 D.



b


13 5

c


a


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5.阅读右面的程序框图,若输出的 y ? 则输入的 x 的值可能为( A. ?1 C. 1 B. 0 D. 5 )

1 , 2

开始

输入整数x

x?2




y ? sin(

? x) 6
y

y ? 2x

输出

结束

6.函数 f ( x) ? ( x ? a)( x ? b) (其中 a ? b )
f ( x)

y

的图象如右图所示,则函数 g ( x) ? a ? b
x

-1 O y 1 y

. . 1

x

的大致图象是( y

) y

. . O 1 x
1 A

. . O 1 x
1 B

. 1 . x O
C

. . O 1 x
1 D

7.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线 画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中, 最长的棱的长度为( A. 2 2 C. 3 ) B. 6 D. 2 3

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8.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,

1 点 M 在棱 AB 上,且 AM ? ,点 P 是平面 3
ABCD 上的动点,且动点 P 到直线 A1D1 的距离 与点 P 到点 M 的距离的平方差为 1, 则动点 P 的轨迹是( A.圆 B.抛物线 ) C.双曲线 D.椭圆

D1 A1 B1

C1

D A

. P . M

C B

第二部分(非选择题
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.已知角 ? 的终边经过点 P( x, ? 6) ,且 tan ? ? ?

共 110 分)

3 ,则 x 的值为 5



?x ? y ? 2 ? 0 y ? 10.设变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 7 ? 0 ,则 的最大值为 x ?x ? 1 ?



11.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖.有人走访了四位歌手,甲说:“是 乙或丙获奖”,乙说:“甲、丙都未获奖”,丙说:“我获奖了”,丁说:“是乙获奖了”.四位歌 手的话只有两句是对的,则获奖的歌手是 12.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A (0, 2) ,B ( ?2,0) ,C (1,0) ,分别以△ABC 的 边 AB、AC 向外作正方形 ABEF 与 ACGH , 则直线 FH 的一般式方程为 . B O C E F y H A G x .

13.某学校拟建一块周长为 400 米的操场,如图所示, 操场的两头是半圆形,中间区域是矩形,学生做操 一般安排在矩形区域,为了能让学生的做操区域 尽可能大,矩形的长应该设计成 米.

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14 . 已 知 集 合 M ? {( x , y ) | y?

f ( x )} , 若 对 于 任 意 ( x1, y1 ) ? M , 存 在 ( x2 , y2 ) ? M , 使 得

x1 x2 ? y1 y2? 0 成立,则称集合 M 是“垂直对点集”.给出下列四个集合:
① M ? {( x, y )| y ? x 2 +1} ; ③ M ? {( x, y)| y ? 2 x ? 2} ; 其中是“垂直对点集”的序号是 ② M ? {( x, y)| y ? log2 x} ; ④ M ? {( x, y )| y ? sin x ? 1} . .

三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分 13 分) 设数列 ?an ? 错误!未找到引用源。的前 n 项和为 Sn ,点 ( n , 均在函数 y ? x 错误!未找到引用源。的图象上. (Ⅰ)求数列 ?an ? 错误!未找到引用源。的通项公式; (Ⅱ)若 ?bn ? 错误!未找到引用源。为等比数列,且 b1 ? 1, b1b2b3 ? 8 ,求数列 ?an +bn ? 错误!未找 到引用源。的前 n 项和错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。.

Sn ), n ? N * 错误!未找到引用源。 n

16.(本小题满分 13 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 (Ⅰ)求 cos C 的值; (Ⅱ)求 sin B 的值; (Ⅲ)若 b ? 3 3 ,求△ABC 的面积.
b 2 3 ? , A ? 3C ? ? . c 3

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17.(本小题满分 13 分) 已知高二某班学生语文与数学的学业水平测试成绩抽样统计如下表,若抽取学生 n 人,成绩分为 A(优秀)、B(良好)、C(及格)三个等级,设 x,y 分别表示语文成绩与数学成绩.例如:表中 语文成绩为 B 等级的共有 20+18+4=42 人.已知 x 与 y 均为 B 等级的概率是 0.18.

x
人数 语 文

A

B

C

y

数学

A B C (Ⅰ)求抽取的学生人数;

7 9 a

20 18 4

5 6 b

(Ⅱ)设该样本中,语文成绩优秀率是 30%,求 a,b 值; (Ⅲ)已知 a ? 10, b ? 8 ,求语文成绩为 A 等级的总人数比语文成绩为 C 等级的总人数少的概率.

18.(本小题满分 14 分) 如图,已知 AF ? 平面 ABCD,四边形 ABEF 为矩形,四边形 ABCD 为直角梯形,

? DAB ? 90 ,AB//CD,AD = AF = CD = 2,AB = 4.
(Ⅰ)求证:AC ? 平面 BCE; (Ⅱ)求三棱锥 A ? CDE 的体积; (Ⅲ)线段 EF 上是否存在一点 M,使得 BM ? CE ? 若存在,确定 M 点的位置;若不存在,请说明理由. F

E

B C A D

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19.(本小题满分 14 分)

2 x2 y2 如图,已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,短轴的右端点为 B, M(1,0) 2 b a
为线段 OB 的中点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 M 任意作一条直线与椭圆 C 相交于两点 P,Q 试问在 x 轴上是否存在定点 N,使得∠PNM =∠QNM ? 若存在,求出点 N 的坐标;若不存在,说明理由.
Q

y

O

. . M B N x

P

20.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ? ln x ?

1 2 ax ? 2 x . 2

(Ⅰ)若函数 f ( x ) 在定义域内单调递增,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若 a ? ? 取值范围; (Ⅲ)设各项为正数的数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? ln an ? an ? 2(n ? N *) , 求证: an ? 2 ? 1 .
n

1 1 ,且关于 x 的方程 f ( x ) ? ? x ? b 在 [1 , 4] 上恰有两个不等的实根,求实数 b 的 2 2

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