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两条直线的交点坐标


§3.3.1两直线的交点坐标

已知两条直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 相交, 如何求这两条直线交点 的坐标?

1-1.求直线 l1:3x+4y-5=0 与直线 l2:2x-3y+8=0 的
交点 M 的坐标. 解:由 l1 与 l2 的方程联立方程组
? ?3x+4y-5=0 ? ? ?2x-3y+8=0 ? ?x=-1 ,解得? ? ?y=2

.

∴点 M 的坐标为(-1,2).

方程组解的情况与方程组所表示的两条 直线的位置关系有何对应关系?

?l1 , l2相交 ? 唯一解 ? ? 直线l1 , l2解方程组?无穷多解 ? ?l1 , l2重合 ? 无解 ?l , l 平行 ? ?1 2

问题2:如何根据两直线的方程系数之间的关 系来判定两直线的位置关系?

? l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 A1B1C1 ? 0, A2 B2C2 ? 0 ? ? l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0
A1 B1 C1 ? ? A2 B2 C2 A1 B1 C1 ? ? A2 B2 C2 A1 B1 ? A2 B2

l1与l2重合 l1与l2平行 l1与l2相交

判断两直线的位置关系 例 1: 分别判断下列直线是否相交,若相交,求出它们的交 点.

(1)l1:2x-y=7 和 l2:3x+2y-7=0;
(2)l1:2x-6y+4=0 和 l2:4x-12y+8=0; (3)l1:4x+2y+4=0 和 l2:y=-2x+3.

思维突破:可依据方程组解的情况来判断两直线的位置关
系.

讨论两直线的位置关系
例3.已知直线 l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0, 求 m 的值,使得: (1)l1 和 l2 相交;(2)l1⊥l2;(3)l1∥l2;(4)l1 和 l2 重合.

解:(1)l1 和 l2 相交?1×3-(m-2)m≠0,
∴m2-2m-3≠0?m≠-1,或 m≠3, ∴当 m≠-1 且 m≠3 时,l1 和 l2 相交.

1 (2)l1⊥l2?1×(m-2)+m×3=0?m=2, 1 ∴当 m=2时,l1⊥l2 .

(3)∵m=0 时,l1 不平行 l2,

m-2 3 2m ∴l1∥l2? 1 =m≠ 6 ,解得 m=-1.
(4)∵m=0 时,l1 与 l2 不重合,

m-2 3 2m ∴l1 与 l2 重合时,有 1 =m= 6 ,解得 m=3.

例 4:若直线 x+a2y+6=0 和直线(a-2)x+3ay+2a=0 没
有公共点,则 a 的值是__________.

正解:由题意可得两直线平行,当 a=0 时,直线 x+6=0 和-2x=0 平行,没有公共点;

a- 2 3a 当 a≠0 时,由 1 = a2 得,a=-1 或 a=3.
当 a=-1 时,直线 x+y+6=0 和-3x-3y-2=0 平行,
没有公共点, 当 a=3 时,直线 x+9y+6=0 和 x+9y+6=0 重合,有无

数个公共点,不满足题意,应舍去.
综上,a 的值为 0 或-1.

4-1.若三条直线 l1:x-y=0;l2:x+y-2=0;l3:5x-ky -15=0 围成一个三角形,则 k 的取值范围是( A.k∈R 且 k≠±5 且 k≠1 B.k∈R 且 k≠±5 且 k≠-10 B )

C.k∈R 且 k≠±1 且 k≠0
D.k∈R 且 k≠±5 解析:三条直线如果有两条平行或三条直线交于一点时就 不能围成三角形.

直线恒过定点问题
例 2:已知直线(a-2)y=(3a-1)x-1.求证:无论 a 为何值 直线总经过一定点. 证明:应用过两直线交点的直线系方程,将方程整理为 a(3x -y)+(-x+2y-1)=0. ?1 3? 直线 3x-y=0 与 x-2y+1=0 的交点?5,5?,
? ? ?1 3? ∴直线系恒过的定点为?5,5?. ? ?

∴无论 a

?1 3? 为何值时直线总经过定点?5,5?. ? ?

(1)曲线过定点,即与参数无关,则参数的同 次幂的系数为0,从而可求出定点.(2)分别令参数为两个特殊值, 得方程组,求出点的坐标代入原方程,若满足,则此点为定点.

2-1.已知直线方程为(2+λ)x+(1-2λ)y+4-3λ=0.

求证:不论λ取何实数值,此直线必过定点. 证明:把直线方程整理为 2x+y+4+λ(x-2y-3)=0.解方
? ?2x+y+4=0 程组? ? ?x-2y-3=0 ? ?x=-1 ,得? ? ?y=-2

.

即点(-1,-2)适合方程 2x+y+4+λ(x-2y-3)=0,也就 是适合方程(2+λ)x+(1-2λ)y+4-3λ=0.所以,不论λ取何实数

值,直线(2+λ)x+(1-2λ)y+4-3λ=0 必过定点(-1,-2).

练习:
1.直线 3x+5y-1=0 与直线 4x+3y-5=0 的交点是( C ) A.(-2,1) B.(-3,2)

C.(2,-1)

D.(2,-2)

2.两条直线 2x+3y-k=0 与直线 x-ky+12=0 的交点在 y 轴上,那么 k 的值是( C ) A.-24

B.6
D.以上都不对

C.±6

3.如果直线 ax+2y+2=0 与直线 3x-y-2=0 平行,那么 系数 a 为( B ) A.-3 C.- 3 2 B.-6

D.

2 3

4.过点(-1,3)且垂直于直线 x-2y+3=0 的直线方程为 ( A ) A.2x+y-1=0 C.x+2y-5=0 B.2x+y-5=0 D.x-2y+7=0

备用:
已知两直线 l1:mx+y-(m+1)=0 和 l2:x+my-2=0, 问实数 m 取何值时,l1 与 l2 分别是下列位置关系: (1)相交;(2)平行;(3)重合; (4)垂直;(5)交点在第一象限.

小结:
1.如何求两直线的交点.
2.两直线方程组成的方程组的系数与直线的位置关系. 3.直线恒过定点的问题.


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