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精品课件-平面向量复习(公开课精华)_图文

平面向量复习(公开课精华)

知识网络
向量

向量有关概念 向量的定义

向量的运算 向量的加法

基本应用 平行与垂直的条件

单位向量及零向量

向量的减法

求长度

相等向量及相反向量 实数和向量的积

求角度

平行向量和共线向量 向量的数量积

一、向量的概念
1、向量:既有 大小 ,又有 方向 的量 叫做向量。
向量的两要素: 大小 和 方向 (与位置无关,没有大小)
二、向量的表示

1、代数字母表示: AB或a (可运算) | AB|或| a|

2、几何有向表示:
3、坐标表示:(综合运算)
a?xi?yj ?(x,y)
OA?(x,y)

(有向线段、作图)

y
? y a? A (x,y) Oji?x

? a
x

三、几个特点向量
1、零向量:长度为零 的向量叫零向量。记作 0 ,

零向量的方向是 任意的 ,零向量与任意向量 平行。

2、单位向量:长度为1 的向量叫单位向量。记作

a |a |



3、相等向量: 长度相等,方向相同 的向量叫相等向量。

4、相反向量: 长度相等,方向相反的向量叫相反向量。

5、平行向量:表示向量的一些有向线段,平行或在一直线上

的向量叫平行向量。 注意:共线向量也称平行向量

6、请说出以上向量的相互关系?

三、向量的运算

(一)向量的加法

1、作图 三角形法则:A B ? B C ?A Ca + b

平行四边形法则: 2、坐标运算: 设 a? ( x1, y1 ) , b? ( x2, yA2) a
则 a ? b ?( x1?x2, y1?y2) D

(二)向量的减法 A B ? A D ? D Bb a + b

1、作图 平行四边形法则:

Aa

C
b
B
C
B

2、坐标运算: 设 a? ( x1, y1 ) , b? ( x2, y2)
则 a ? b ?( x1?x2, y1?y2)

(三)数乘向量 λ a(? ? R)
1、 ? a 的大小和方向:(1)长度: ?a ? ? a (2)方向: 当? ? 0时, ?a与 a同 向 当? ? 0时, ?a与 a异 向
?? ?? 当? ?0时, ?a?0
2、数乘向量的坐标运算 : a ? ( x , y ) ? ( x , y )
3、数乘向量的运算律:
???a??????a( ???) a??a??a ? ( a ? b ) ? ?a ? ?b
4、平面向量基本定理
如 果 e1, e2是 同 一 个 平 面 内 的 两 个 不 共 线 向 量 , 那 么 对 于
这 一 平 面 内 的 任 一 向 量 a, 有 且 只 有 一 对 实 数 ?1 , ?2使 ? ? a?1e1?2e2

(四) 数量积

1、平面向量数量积的定义: a ? b ? | a| ?| b| cos?
? 2、数量积的几何意义:
等 于 a 的 长 度 | a | 与 b 在 a 方 向 上 的 投 影 | b | c o s 的 乘 积 .

3、数量积的坐标运算

B

a?b?x1x2?y1y2

θ

4、运算律: (1) a?b?b?a O

B1

A

( 2 )?( a ) ?b??( a?b ) ?a( ? ?b )

( 3)a( ?b) ?c?a?c?b?c

平面向量的数量积a·b的性质: ①e·a=a·e=|a|cosθ
②a⊥b ?a·b=0
③a,b同向a·b=|a||b|反向时a·b=-|a|·|b|
a2=a·a=|a|2(a·a= a2 )
④cosθ= a ?b
|a |?|b |
⑤|a·b|≤|a|·|b|

四、向量垂直的判定

( 1)a?b?a?b?0 向量表示 ( 2 ) a? b? x1x2?y1y2?0坐标表示
五、向量平行的判定(共线向量的判定)

( 1) a//b?b??a( a?0) 向量表示

( 2 ) b / / a ? x 1 y 2 ? x 2 y 1 ? 0 , 其 中 a ? ( x 1 , y 1 ) , b ? ( x 2 , y 2 )

六、向量的长度

坐标表示

( 1 ) a?a?|a|2, | a |?

2
a

( 2 ) 设 a ? ( x , y ) , 则 | a |? x 2 ? y 2

( 3 ) A ( x 若 1 , y 1 ) B ( x , 2 , y 2 )|A , |? B ( x则 1?x2) 2?( y1?y2) 2

七、向量的夹角

cos? ? a ?b
| a || b |

?

x1x2 ?y1y2 x12 ?y12 ? x22 ?y22

特别注意:
a?b?0? co?s?0? ?为锐?角 ?0 或
a?b?0? co?s?0? ?为钝?角 ??或
由此,当需要判断或证明两向量夹角为锐角或钝角时,应
排除夹角为0或? 的情况,也就是要进一步说明两向量不共
线。

典型例题分析:
例1 e1、e2不共线,a=e1+e2 b=3e1-3e2 a与b是否共线。
解:假设,a与b共线则 e1+e2=λ(3e1-3e2)=3λe1-3λe2 1=3λ 1=-3λ 这样λ不存在。 ∴a与b不共线。

例2 设a,b是两个不共线向量。AB=2a+kb BC=a+b CD=a-2b A、B、D共线则k=_____(k∈R)
解:BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b 2a+kb=λ(2a-b)=2λa-λb
2=2λ ∴λ=-1
k=-λ k=-1 ∴k=-1

例3、 已知a=(3,-2) b=(-2,1) c=(7,-4), 用a、b表示c。
解:c = m a+n b (7,-4)=m(3,-2)+n(-2,1) 3m-2n=7 m=1 -2m+n=-4 n=-2 c = a-2b

例4、 |a|=10 b=(3,-4)且a∥b求a
解:设a =(x,y) 则 x2+y2=100 -4x-3y=0 x=6 x=-6 y=-8 y=8 a=(6,-8)或(-6,8)

例5、 设|a|=|b|=1 |3a-2b|=3则|3a+b|=____

解:法1 a=(x1y1) b=(x2,y2)

x12+y12=1

x22+y22=1

3a-2b=3(x1,y1)-2(x2,y2)=(3x1-2x2,3y1-2y2)

∴9(x12+y12)+4(x12+y12)-12(x1x2+y1y2)=9

x1x2+y1y2=

1 3

3a+b=3(x1,y1)+(x2,y2)=(3x1+x2,3y1+y2)

|3a+b|2=(3x1+x2)2+(3y1+y2)2

=9(x12+y12)+(x22+y22)+6(x1x2+y1y2)=12 ∴(3a+b)=2 3

法2 9=9a2+4b2-12a·b

∴a·b=

1 3

又,(3a+b)2=9a2+b2+6a·b=12

∴|3a+b|=2 3

例 6 、 设 e 1 ,e 2 为 两 个 单 位 向 量 且 夹 角 为 6 0 o 。
? 若 a ? 2 e 1 ? e 2 ,b ? ? 3 e 1 ? 2 e 2 。 求 a 与 b 的 夹 角 .

? ? 2

2

22

2

解:∵ a ? 2 e 1 ? e 2? 2 e 1 ? e 2? 4 e 1 ? 4 e 1 e 2 ? e 2

22

1

? 4 e 1? e 2? 4 e 1 ?e 2 ? c o s 6 0 ? ? 4 ? 1 ? 4 ? 1 ? 1 ? 2 ? 1 ? 7

∴ a ? 7 同理可得 b ? 7

? ?? ? a ? b ? cos2 ?e 1 ?? ae 2 ?b ? ?3 e 1 ?? 722 e 2 ??? 1? 6 e 1 2 ? e 1 e 2 ? 2 e 2 2 ? ? 7 2 a ? b 7? 7 2

∴θ=120°

例 7 、 已 知 a? ( 1 , 2 ) , b? ( ?3 , 2 ) , 当 k为 何 值 时 , ( 1 ) ka?b 与 a?3 b垂 直 。 ( 2 ) ka?b与 a?3 b平 行 。 平 行 时 它 们 是 同 向 还 是 反 向 ?
(1)k=19
(2)k ? ? 1 , 反向 3

例8. 若向量a ? 0,b ? a , c ? (cos? ,sin? ),
a

则b与c一定满足( )

??

??

A. b?? a? ? ? C. (b ? c ) ? (b ? c )

B. b ?c ? 0 D.以上都不对

例8. 若向量a ? 0,b ? a , c ? (cos? ,sin? ),
a

则b与c一定满足( )

[解]
?

? b

? 1,

? c

?

cos2 ? ? sin2 ? ? 1

? ?(b

?

?? c )(b

?

? c)

?

? b2

?

? c

2

?

0

?? ??

?(b ? c ) ? (b ? c ).

[答案] C

例9. 已知在?ABC中,OA?OB ? OB ?OC ? OC ?OA, 则O是?ABC 的 _______ 心.
[解] 由OA?OB ? OB ?OC得: OB ? (OA ? OC) ? 0, 即OB ?CA ? 0 ?OB ? CA,同理OC ? AB,OA ? BC, 故O是?ABC的垂心.

考点归纳 1、向量的概念 2、实数与向量的积 3、平面向量的坐标运算 4、线段的定比分点 5、平面向量的数量积

练习

一、选择题:

1、如图所示,G为ABC的重心,则

GA+GB-GC等于( D )

A

A. 0 B. GE C. 4GD D. 4GF

F

E

G

B

DC

2、若a=(λ,2),b=(-3,5),且a与b的

夹角为钝角,则λ的取值范围是( A)

A.λ> 103B.λ≥ C103 .λ< D103.λ≤

10 3

3、已知|a|=18,|b|=1,a·b=-9,则a和b

的夹角θ是( A)

A.120。 B.150。 C.60。 D.30。

4、已知|a|=|b|=1,a与b的夹角为90。, c=2a+3b,d=ka-4b,c⊥d,k=( B )
A. -6 B. 6 C. 3 D. -3 5、已知|a|=3,|b|=4,(a+b)·(a+3b)=33, 则a与b的夹角为( C )
A. 30。 B. 60。 C. 120。 D. 150。 6.若|a-b|= 41?20 3,|a|=4,|b|=5,则a·b=(A )
A.10 3 B.-10 3 C.10 2 D.10

二、解答题:

7、已知e1与e2是夹角为60。的单位向 量,且a=2e1+e2,b=-3e1+2e2,求a·b及a 与b的夹角α。

解:e1,e2是单位向量,且夹角为60。

∴e1.e2=|e1||e2|cos60。= 12

∴a·b=(2e1+e2)·(-3e1+2e2)

=-6|e12|+e1·e2+2e22=-3

1 2

而|a|2=a2=(2e1+e2)2=4e12+4e1·e2+e22=7

|b|2=b2=(-3e1+2e2)2=9e12-2e1·e2+4e22=7

|a|= 7 |b|= 7 ∴cosα=

a?b |a||b|

?

?

α12 =120。

8、(1)已知a,b都是非零向量,且

a+3b与7a-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直,

求a与b的夹角;(2)已知|a|= 3 ,|b|= 2 ,

且a与b的夹角为

? 6

,试求a+2b与a-b

的夹角θ的大小。

解:(1)(a+3b)·(7a-5b)=0

(a-4b)·(7a-2b)=0

7a+16a·b-15b=0

7a2-30a·b+8b2=0

a2=b2 2a·b=b2

∴cosθ=

? a ?b
| a || b |

1 2

θ=60。

(2)a2=3 b2=4 |a|·|b|=2 3 a·b=|a|·|b|cosθ= 3·cos30。=3
| a?2b|? (a?2b)2 ? a2 ?4ab?4b2 ? 31

| a?b|? (a?b)2 ? a2 ?2ab?b2 ?1

cosQ? (a?2b)(a?b) |a?2b| a| ?b|

??23311

Q?arcco?s(23311)

9、已知△ABC中,A(2,4),B(-1,-2), C(4,3),BC边上的高为AD。 (1)求证:AB⊥AC; (2)求点D和向量AD的坐标; (3)求证:AD2=BD·DC 解:(1)A(2,4) B(-1,-2) C(4,3)
AB=(-3,-6) AC=(2,-1) AB·AC=(-3)×2+(-6)×(-1)=0 AB⊥AC

(2)D(x,y)

AD=(x-2,y-4) BC=(5,5)

BD=(x+1,y+2)

AD⊥BC

∴AD·BC=0

5(x-2)+5(y-4)=0 又B、D、C共线

∴5×(x+1)-5(y+2)=0

x+y-6=0 x-y-1=0

?

x= y=

7 2 5 2

AD=(

3 2

,-

3 2

)

D(

7 2

,

5 2

)

(3)AD=(

3 2

,-

3 2

)

BD=(

9 2

,

9 2

)

DC=(

1 2

|AD|2=

,
9
4

1 2

)

+

9 4

=

9 2

BD·DC=

9 4

+

9 4

=

9 2

∴AD2=BD·DC