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l00888.com:2017_18学年高中数学第二章2.4.2平面向量数量积的坐标表示模夹角学案含解析

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2.4.2

平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

[提出问题] 已知两个向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2). 问题 1:若 i,j 是两个互相垂直且分别与 x 轴,y 轴的正半轴同向的向量,则 a,b 如何 用 i,j 表示? 提示:a=x1i+y1j,b=x2i+y2j. 问题 2:|a|,|b|分别用坐标怎样表示? 提示:|a|= |b|=

x1i+y1j
2

2



2 x2 1+y1;

x2i+y2j



2 x2 2+y2.

问题 3:能用 a,b 的坐标表示 a·b 吗? 提示:a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j) =x1x2i +(x1y2+x2y1)i·j+y1y2j =x1x2+y1y2. 问题 4:垂直的条件和向量夹角能用坐标表示吗? 提示:能. [导入新知] 1.平面向量数量积的坐标表示 若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a·b=x1x2+y1y2,即两个向量的数量积等于它们对应坐 标的乘积的和. 2.两个向量垂直的坐标表示 设两个非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
2 2

a⊥b?x1x2+y1y2=0.
3.三个重要公式 (1)向量模的公式:设 a=(x1,y1),则|a|= x1+y1. (2)两点间的距离公式:若 A(x1,y1),B(x2,y2),则| AB |=
2 2

x2-x1

2

+ y2-y1

2

.

(3)向量的夹角公式:设两非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),a 与 b 的夹角为 θ ,则 cos θ =

x1x2+y1y2 . 2 2 x +y1 x2 2+y2
2 1

[化解疑难] 向量的模的坐标运算的实质 向量的模即为向量的长度,其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离,如 a=(x,y),

则在平面直角坐标系中, 一定存在点 A(x, y), 使得 OA =a=(x, y), 故| OA |=|a|= x +y ,
2 2

即|a|为点 A 到原点的距离.同样若 A(x1,y1),B(x2, y2),则 AB =(x2-x1,y2-y1),故| AB | =

x2-x1

2



y2-y1

2

,即平面直角坐标系中任意两点间的距离公式.由此可知向量的

模的运算实质即为平面直角坐标系中两点间的距离的运算.

平面向量数量积的坐标运算 [例 1] (1)(广东高考)在平面直角坐标系 xOy 中,已知四边形 ABCD 是平行四边形, AB =(1,-2), AD =(2,1),则 AD · AC =( A.5 C.3 B.4 D.2 )

(2)已知向量 a=(1,3),b=(2,5),c=(2,1),求:①2a·(b-a);②(a+2b)·c. [解] (1)A (2)①∵2a=2(1,3)=(2,6), b-a=(2,5)-(1,3)=(1,2), ∴2a·(b-a)=(2,6)·(1,2) =2×1+6×2=14. ②∵a+2b=(1,3)+2(2,5)=(1,3)+(4,10)=(5,13),∴(a+2b)·c=(5,13)·(2,1) =5×2+13×1=23. [类题通法] 数量积运算的途径及注意点 (1)进行向量的数量积运算,前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题时通常有两条 途径:一是先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算;二是先利用数量积的运算律将原 式展开,再依据已知计算. (2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目,只需把握图形的特征,并写出相应点的 坐标即可求解. [活学活用] 已知向量 a 与 b 同向,b=(1,2),a·b=10. (1)求向量 a 的坐标; (2)若 c=(2,-1),求(b·c)·a. 答案:(1)(2,4) (2)0 向量的模的问题 [例 2] (1)若向量 a=(2x-1,3-x), b=(1-x, 2x-1), 则|a-b|的最小值为________. (2)若向量 a 的始点为 A(-2,4),终点为 B(2,1),求: ①向量 a 的模;

②与 a 平行的单位向量的坐标; ③与 a 垂直的单位向量的坐标. [解] (1) 2 (2)①∵a= AB =(2,1)-(-2,4)=(4,-3), ∴|a|= 4 + -
2 2

=5.

②与 a 平行的单位向量是±

a 1 =± (4,-3), |a| 5

3? ? 4 3? ?4 即坐标为? ,- ?或?- , ?. 5? ? 5 5? ?5 ③设与 a 垂直的单位向量为 e=(m,n),则 a·e=4m-3n=0,

m 3 ∴ = . n 4
又∵|e|=1,∴m +n =1. 3 ? ?m=5, 解得? 4 ?n=5, ? 3 ? ?m=-5, 或? 4 ?n=-5, ?
2 2

4? ?3 4? ? 3 ∴e=? , ?或 e=?- ,- ?. 5 5 5 5? ? ? ? [类题通法] 求向量的模的两种基本策略 (1)字母表示下的运算: 利用|a| =a ,将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题. (2)坐标表示下的运算: 若 a=(x,y),则 a·a=a =|a| =x +y ,于是有|a|= x +y . [活学活用] 设 x, y∈R,向量 a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且 a⊥c,b∥c,则|a+b|=( A. 5 C.2 5 答案:B B. 10 D.10 )
2 2 2 2 2 2 2 2

向量的夹角和垂直问题

[例 3] 已知平面向量 a=(3,4),b=(9,x),c=(4,y),且 a∥b,a⊥c.

(1)求 b 与 c; (2)若 m=2a-b,n=a+c,求向量 m,n 的夹角的大小. [解] (1)∵a∥b,∴3x=4×9,∴x=12. ∵a⊥c,∴3×4+4y=0, ∴y=-3,∴b=(9,12),c=(4,-3). (2)m=2a-b=(6,8)-(9,12)=(-3,-4),

n=a+c=(3,4)+(4,-3)=(7,1).
设 m,n 的夹角为 θ ,

m·n 则 cos θ = = |m||n|
= -25 25 2 =- 2 . 2

-3×7+ - -
2

+ -

2

7 +1

2

2

3π 3π ∵θ ∈[0,π ],∴θ = ,即 m,n 的夹角为 . 4 4 [类题通法] 解决向量夹角问题的方法及注意事项 (1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积 a·b 以及|a||b|,再由 cos θ =

a·b x1x2+y1y2 求出 cos θ ,也可由坐标表示 cos θ = 2 2 直接求出 cos θ .由三角函 2 |a||b| x1+y1 x2 2+y2

数值 cos θ 求角 θ 时,应注意角 θ 的取值范围是 0≤θ ≤π .

a·b (2)由于 0≤θ ≤π ,利用 cos θ = 来判断角 θ 时,要注意 cos θ <0 有两种情况: |a||b|
一是 θ 是钝角,二是 θ =π ;cos θ >0 也有两种情况:一是 θ 为锐角,二是 θ =0. [活学活用] 1.已知 a,b 为平面向量,a=(4,3),2a+b=(3,18),则 a,b 的夹角 θ 的余弦值等于 ( ) A. C. 8 65 16 65 8 B.- 65 16 D.- 65

答案:C 2.已知向量 OA =(3,-4), OB =(6,-3), OC =(5-m,-(3+m)).若△ABC 为 直角三角形,且∠A 为直角,求实数 m 的值. 7 答案:m= 4

7.向量与平面几何的交汇问题 [典例] (上海高考)在矩形 ABCD 中,边 AB,AD 的长分别为 2,1.若 M,N 分别是边 BC,

CD 上的点,且满足

| BM | | CN | = ,则 AM · AN 的取值范围是________. | BC | | CD |

| BM | | CN | [解析] 法一:设 = =λ (0≤λ ≤1),则 BM =λ BC =λ AD , DN = | BC | | CD | (1 - λ ) DC = (1 - λ ) AB ,则 AM · AN = ( AB + BM )·( AD + DN ) = ( AB + λ AD )·[ AD + (1 - λ ) AB ] = AB · AD + (1 - λ ) AB + λ AD + λ (1 - λ ) AD · AB . 因为 AB · AD =0,所以 AM · AN =4-3λ . 因为 0≤λ ≤1,所以 1≤ AM · AN ≤4, 即 AM · AN 的取值范围是[1,4].
2 2

法二:以边 AB 所在直线为 x 轴,边 AD 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系,如图所示. 因为 AB=2,AD=1,所以 A(0,0),B(2,0),C(2,1),D(0,1). 2-x 设 M(2,b),0≤b≤1,N(x,1),0≤x≤2,根据题意得,b= ,所以 AN =(x,1),AM 2

? 2-x?,所以 AM · AN =3x+1(0≤x≤2),1≤3x+1≤4,即 1≤ AM · AN ≤4. =?2, 2 ? 2 2 ? ?
所以 AM · AN 的取值范围是[1,4]. [答案] [1,4] [多维探究] 由于向量与平面几何都具有数与形相结合的特性,因此在向量与平面几何的交汇处设计 试题已逐渐成为高考命题的一个亮点.平面向量与平面几何的结合通常涉及夹角、平行、垂 直、共线等问题的处理,目标是将几何问题坐标化、符号化、数量化,从而将其推理转化为 运算. [活学活用]

1.(天津高考)已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形,点 D,E 分别是边 AB,BC 的中点, ― → ― → 连接 DE 并延长到点 F,使得 DE=2EF,则 AF · BC 的值为( 5 A.- 8 C. 1 4 B. D. 1 8 11 8 )

答案:B 2.如图,菱形 ABCD 的边长为 2,∠BAD=60°,M 为 DC 的中点,若

N 为菱形内任意一点(含边界),则 AM · AN 的最大值为________.
答案:9 3.已知在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P 是腰 DC 上的动点, 则| PA +3 PB |的最小值为________. 答案:5

― → ― →

[随堂即时演练] 1.已知向量 a=(1,-1),b=(2,x),若 a·b=1,则 x=( A.-1 C. 1 2 1 B.- 2 D.1 )

答案:D 2.已知向量 OA =(-1,2), OB =(3,m),若 OA ⊥ AB ,则 m 的值是( A. 3 2 3 B.- 2 D.-4 )

C.4 答案:C

3.设平面向量 a=(1,2),b=(-2,y),若 a∥b,则|3a+b|等于________. 答案: 5 4.已知向量 a 与 b 的夹角为 60°,且 a=(-2,-6),|b|= 10,则 a·b=________. 答案:10 5.以原点 O 和点 A(5,2)为顶点作等腰直角三角形 OAB,使∠B=90°,求点 B 和向量 AB 的坐标.

3? 3 7 ?7 ?3 7? ? 7 3? 答案:B? ,- ?或 B? , ?; AB =- ,- 或 AB =?- , ? 2? 2 2 ?2 ?2 2? ? 2 2? [课时达标检测] 一、选择题 1.(福建高考)设 a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若 b⊥c,则实数 k 的值等于( 3 A.- 2 C. 5 3 5 B.- 3 D. 3 2 )

答案:A 2.已知平面向量 a=(2,4),b=(-1,2),若 c=a-(a·b)b,则|c|等于( A.4 2 C.8 答案:D 3. 已知向量 a=(1,2), b=(2, -3), 若向量 c 满足(c+a)∥b, c⊥(a+b), 则 c 等于( ) B.2 5 D.8 2 )

?7 7? A.? , ? ?9 3? ?7 7? C.? , ? ?3 9?
答案:D

7? ? 7 B.?- ,- ? 9? ? 3 7? ? 7 D.?- ,- ? 3? ? 9

4.已知向量 a=(3,1),b=(1,3),c=(k,-2),若(a-c)∥b,则向量 a 与向量 c 的夹 角的余弦值是( A. 5 5 5 5 ) B. 1 5

C.-

1 D.- 5

答案:A 5.已知 i 与 j 为互相垂直的单位向量,a=i-2j,b=i+λ j,且 a 与 b 的夹角为锐角, 则实数 λ 的取值范围是( )

1? ? A.(-∞,-2)∪?-2, ? 2? ?

?1 ? B.? ,+∞? 2 ? ?
2? ?2 ? ? C.?-2, ?∪? ,+∞? 3? ?3 ? ? 1? ? D.?-∞, ? 2? ?

答案:A 二、填空题 6.已知 A(1,2),B(3,4),|n|= 2,则| AB ·n|的最大值为________. 答案:4 7.如图, 已知点 A(1,1)和单位圆上半部分上的动点 B, 若 OA ⊥ OB , 则向量 OB 的坐标为________. 答案:?-

? ?

2 2? , ? 2 2 ?

8. 已知 a=(λ , 2λ ), b=(3λ , 2), 若 a 与 b 的夹角为锐角, 则 λ 的取值范围是________. 4? ? 1? ?1 ? ? 答案:?-∞,- ?∪?0, ?∪? ,+∞? 3? ? 3? ?3 ? ? 三、解答题 9.已知 a,b,c 是同一平面内的三个向量,其中 a=(1,2). (1)若|c|=2 5,且 c∥a,求 c 的坐标; (2)若|b|= 5 ,且 a+2b 与 2a-b 垂直,求 a 与 b 的夹角 θ . 2
2 2

解:(1)设 c=(x,y),∵|c|=2 5,∴ x +y =2 5, ∴x +y =20. 由 c∥a 和|c|=2 5,
? ?1·y-2·x=0, 可得? 2 2 ?x +y =20, ?
2 2

解得?

? ?x=2, ?y=4, ?

或?

? ?x=-2, ?y=-4. ?

故 c=(2,4)或 c=(-2,-4). (2)∵(a+2b)⊥(2a-b),∴(a+2b)·(2a-b)=0, 即 2a +3a·b-2b =0, 5 5 ∴2×5+3a·b-2× =0,整理得 a·b=- , 4 2
2 2

a·b ∴cos θ = =-1. |a||b|
又 θ ∈[0,π ],∴θ =π . 10. 平面内有向量 OA =(1,7),OB =(5,1),OP =(2,1), 点 M 为直线 OP 上的一动点. (1)当 MA · MB 取最小值时,求 OM 的坐标; (2)在(1)的条件下,求 cos∠AMB 的值. 解:(1)设 OM =(x,y),∵点 M 在直线 OP 上, ∴向量 OM 与 OP 共线,又 OP =(2,1).

∴x×1-y×2=0,即 x=2y. ∴ OM =(2y,y).又 MA = OA - OM , OA =(1,7), ∴ MA =(1-2y,7-y). 同理 MB = OB - OM =(5-2y,1-y). 于是 MA · MB =(1-2y)(5-2y)+(7-y)(1-y)=5y -20y+12. 20 可知当 y= =2 时, MA · MB 有最小值-8,此时 OM =(4,2). 2×5 (2)当 OM =(4,2),即 y=2 时, 有 MA =(-3,5), MB =(1,-1), | MA |= 34,| MB |= 2,
2

MA · MB =(-3)×1+5×(-1)=-8.

MA · MB -8 4 17 cos∠AMB= = =- . 17 34× 2 | MA || MB |

3? ? 1 11.设平面向量 a=(cos α ,sin α )(0≤α <2π ),b=?- , ?,且 a 与 b 不共线. 2 2 ? ? (1)求证:向量 a+b 与 a-b 垂直; (2)若两个向量 3a+b 与 a- 3b 的模相等,求角 α . 解:(1)证明:由题意知,

a+b=?cos α - ,sin α + a-b=?cos α + ,sin α -

? ? ? ?

1 2 1 2

3? ?, 2? 3? ?, 2?

1 3 2 2 ∵(a+b)·(a-b)=cos α - +sin α - =0, 4 4 ∴(a+b)⊥(a-b). 1 2 2 (2)|a|=1,|b|=1,由题意知( 3a+b) =(a- 3b) ,化简得 a·b=0,∴- cos α + 2 3 sin α =0, 2 ∴tan α = 3 , 3

π 7π 又 0≤α <2π ,∴α = 或 α = . 6 6


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