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三角函数的图象与性质单元测试卷


三角函数的图象与性质单元测试卷
一、选择题(每小题 7 分,共 42 分) 1.(2009· 福建理,1)函数 f(x)=sin xcos x 的最小值是 1 1 A.-1 B.- C. 2 2 1 解析 ∵f(x)=sin xcos x= sin 2x. 2 π 1 ∴当 x=kπ- ,k∈Z 时,f(x)min=- . 4 2 答案 B ( D.1 )

4π 2.(2009· 全国Ⅰ理,8)如果函数 y=3cos(2x+φ)的图象关于点? 3 ,0?中心对称,那么|φ|的最 ? ? 小值为 π A. 6 ( π B. 4 π C. 3 π D. 2 )

4π 4 8π 解析 由 y=3cos(2x+φ)的图象关于点? 3 ,0?中心对称知,f?3π?=0,即 3cos? 3 +φ?= ? ? ? ? ? ? 8π π π 8π 0.∴ +φ=kπ+ (k∈Z).∴φ=kπ+ - (k∈Z). 3 2 2 3 π 8π? π |φ|的最小值为?2π+2- 3 ?= . ? 6 答案 A πx 3.(2010· 枣庄调研)已知函数 y=sin 在区间[0,t]上至少取得 2 次最大值,则正整数 t 的最 3 小值是 ( ) A.6 B.7 C.8 D.9 解析 T=6,则 ∴t≥

5T ≤t, 4

15 , 2

∴tmin=8. 答案 C 4.(2010· 嘉兴模拟)已知在函数 f(x)= 3sin πx 图象上,相邻的一个最大值点与一个最小值点 R 恰好在 x2+y2=R2 上,则 f(x)的最小正周期为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 ∵x2+y2=R2,∴x∈[-R,R]. ∵函数 f(x)的最小正周期为 2R, R ∴最大值点为? 2 , 3?, ? ? R 相邻的最小值点为?- 2 ,- 3?, ? ? 代入圆方程,得 R=2,∴T=4. 答案 D

5.(2009· 浙江理,8)已知 a 是实数,则函数 f(x)=1+asin ax 的图象不可能是

`(

)

解析 图 A 中函数的最大值小于 2,故 0<a<1,而其周期大于 2π.故 A 中图象可以是函 数 f(x)的图象.图 B 中,函数的最大值大于 2,故 a 应大于 1,其周期小于 2π,故 B 中 图象可以是函数 f(x)的图象.当 a=0 时,f(x)=1,此时对应 C 中图象,对于 D 可以看出 其最大值大于 2,其周期应小于 2π,而图象中的周期大于 2π,故 D 中图象不可能为函 数 f(x)的图象. 答案 D 6.(2009· 巢湖期末)给出下列命题: 2 π ①函数 y=cos?3x+2?是奇函数; ? ? 3 ②存在实数 α,使得 sin α+cos α= ; 2 ③若 α、β 是第一象限角且 α<β,则 tan α<tan β; 5π π ④x= 是函数 y=sin?2x+ 4 ?的一条对称轴方程; ? ? 8 π π ⑤函数 y=sin?2x+3?的图象关于点?12,0?成中心对称图形. ? ? ? ? 其中正确的序号为 ( ) A.①③ B.②④ C.①④ D.④⑤ 2x π? 2 解析 ①y=cos? 3 +2??y=-sin x 是奇函数; ? 3 π? ②由 sin α+cos α= 2sin?α+4?的最大值为 2, ? 3 3 因为 2< ,所以不存在实数 α,使得 sin α+cos α= ; 2 2 ③α,β 是第一象限角且 α<β.例如:45° <30° +360° , 但 tan 45° >tan(30° +360° ),即 tan α<tan β 不成立; 5π 5π π 3π π ④把 x= 代入 y=sin?2x+ 4 ?=sin =-1,所以 x= 是函数 y=sin?2x+ 4 ?的一条对称 ? ? ? ? 8 2 8 轴; π π π ⑤把 x= 代入 y=sin?2x+3?=sin =1, ? ? 12 2 π π 所以点?12,0?不是函数 y=sin?2x+3?的对称中心. ? ? ? ? 综上所述,只有①④正确. 答案 C

二、填空题(每小题 6 分,共 18 分) 7.(2010· 株州调研)函数 y=lg(sin x)+ 1 1 cos x- 的定义域为________________,函数 y= 2 2

π 2 sin?4-3x?的单调递增区间为______________. ? ?

?sin x>0 ? 解析 ①要使函数有意义必须有? , 1 ?cos x-2≥0 ? ?2kπ<x<π+2kπ ?sin x>0 ? ? 即? (k∈Z), 1 ,解得? π π ?cos x≥2 ?-3+2kπ≤x≤3+2kπ ? ?
π ∴2kπ<x≤ +2kπ,k∈Z, 3 π ? ? ∴函数的定义域为?x|2kπ<x≤3+2kπ,k∈Z?.
? ?

π 2 2 π 1 1 ②由 y= sin?4-3x?得 y=- sin?3x-4?, ? ? 2 ? 2 ? π 2 π 3 由 +2kπ≤ x- ≤ π+2kπ, 2 3 4 2 9 21π 得 π+3kπ≤x≤ +3kπ,k∈Z, 8 8 故函数的单调递增区间为 ?9π+3kπ,21π+3kπ? (k∈Z). 8 ?8 ? ?2kπ,π+2kπ? (k∈Z) 答案 ? 3 ? 9 21π ? π+3kπ, +3kπ? (k∈Z) 8 ?8 ? π π π π π 8.(2008· 辽宁理,16)已知 f(x)=sin?ωx+3? (ω>0),f?6?=f?3?,且 f(x)在区间?6,3?上有最 ? ? ? ? ? ? ? ? 小值,无最大值,则 ω=________. 解析 如图所示,

π ? f ( x) ? sin(?x ? ), 3 π π 且 f ( ) ? f ( ), 6 3 π π 又 f(x)在区间 ( , ) 内只有最小值、无最大值, 6 3 π π ? 6 3 ? π 处取得最小值. ∴f(x)在 x= 2 4 π π π ∴ ? ? ? 2k π ? (k∈Z). 4 3 2 10 ∴ω=8k(k∈Z). 3 10 14 ? ; ∵ω>0,∴当 k=1 时,ω=83 3 10 38 14 ? 当 k=2 时,ω=16 ,此时在区间 内存在最大值.故ω= . 3 3 3 14 答案 3

π 9.(2010· 绍兴月考)关于函数 f(x)=4sin?2x+3?(x∈R),有下列命题: ? ? ①由 f(x1)=f(x2)=0 可得 x1-x2 必是 π 的整数倍; π ②y=f(x)的表达式可改写为 y=4cos?2x-6?; ? ? π ? ③y=f(x)的图象关于点?-6,0?对称; ? π ④y=f(x)的图象关于直线 x=- 对称. 6 其中正确的命题的序号是________.(把你认为正确的命题序号都填上) π T 解析 函数 f(x)=4sin?2x+3?的最小正周期 T=π,由相邻两个零点的横坐标间的距离是 ? ? 2 π = 知①错. 2 π π 利用诱导公式得 f(x)=4cos?2-?2x+3?? ?? ? ? π π? =4cos?6-2x?=4cos?2x-6?,知②正确. ? ? ? π 由于曲线 f(x)与 x 轴的每个交点都是它的对称中心,将 x=- 代入得 f(x)= 6 π? π? π ? 4sin?2×?-6?+3 =4sin 0=0,因此点?-6,0?是 f(x)图象的一个对称中心,故命题③正 ? ? ? ? 确. π 曲线 f(x)的对称轴必经过图象的最高点或最低点,且与 y 轴平行,而 x=- 时 y=0,点 6 ?-π,0?不是最高点也不是最低点,故直线 x=-π不是图象的对称轴,因此命题④不正 ? 6 ? 6 确. 答案 ②③ 三、解答题(共 40 分) 10.(13 分)(2010· 怀化模拟)设函数 f(x)=sin(2x+φ) (-π<φ<0),y=f(x)图象的一条对称轴是 π 直线 x= . 8 (1)求 φ; (2)求函数 y=f(x)的单调增区间. π π 解 (1)令 2× +φ=kπ+ ,k∈Z, 8 2 π 5 1 ∴φ=kπ+ ,又-π<φ<0,则- <k<- , 4 4 4 3π ∴k=-1,则 φ=- . 4 3π (2)由(1)得:f(x)=sin?2x- 4 ?, ? ? π 3π π 令- +2kπ≤2x- ≤ +2kπ, 2 4 2 π 5π 可解得 +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z, 8 8 π 5π 因此 y=f(x)的单调增区间为?8+kπ, 8 +kπ?,k∈Z. ? ?

11.(13 分)(2008· 天津文,17)已知函数 f(x)=2cos2ωx+2sin ωxcos ωx+1 (x∈R,ω>0)的最小

π 正周期是 . 2 (1)求 ω 的值; (2)求函数 f(x)的最大值,并且求使 f(x)取得最大值的 x 的集合. 1+cos 2ωx 解 (1)f(x)=2 +sin 2ωx+1 2 =sin 2ωx+cos 2ωx+2 π π = 2?sin 2ωxcos4+cos 2ωxsin4?+2 ? ? π? = 2sin?2ωx+4?+2. ? π 2π π 由题设,函数 f(x)的最小正周期是 ,可得 = , 2 2ω 2 所以 ω=2. π (2)由(1)知,f(x)= 2sin?4x+4?+2. ? ? π π π kπ 当 4x+ = +2kπ,即 x= + (k∈Z)时, 4 2 16 2 π sin?4x+4?取得最大值 1,所以函数 f(x)的最大值是 ? ? π kπ ? ? 2+ 2,此时 x 的集合为?x|x=16+ 2 ,k∈Z?. ? ? 12.(14 分)(2009· 肇庆模拟)设函数 f(x)=cos ωx( 3sin ωx+cos ωx),其中 0<ω<2. π π (1)若 f(x)的周期为 π,求当- ≤x≤ 时 f(x)的值域; 6 3 π (2)若函数 f(x)的图象的一条对称轴为 x= ,求 ω 的值. 3 3 1 1 解 f(x)= sin 2ωx+ cos 2ωx+ 2 2 2 π? 1 =sin?2ωx+6?+ . ? 2 (1)因为 T=π,所以 ω=1. π 1 ∴f(x)=sin?2x+6?+ , ? ? 2 π 5π π π π 当- ≤x≤ 时,2x+ ∈?-6, 6 ?, ? 6 3 6 ? 3? 所以 f(x)的值域为?0,2?. ? π (2)因为 f(x)的图象的一条对称轴为 x= , 3 π π π 所以 2ω?3?+ =kπ+ (k∈Z), ? ? 6 2 3 1 ω= k+ (k∈Z), 2 2 1 又 0<ω<2,所以- <k<1,又 k∈Z, 3 1 所以 k=0,ω= . 2


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