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《棱柱、棱锥、棱台和球的表面积 9


1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积

一.直棱柱的表面积 1.直棱柱的侧面积等于它的底面周长c 和高h的乘积,即S直棱柱侧=c· h.

2. 直棱柱的表面积就等于侧面积与上、下

底面面积的和.
3.斜棱柱的侧面积,可以先求出每个侧面 的面积,然后求和,也可以用直截面周长 与侧棱长的乘积来求. 其中直截面就是和 棱垂直的截面. 如果斜棱柱的侧棱长为l,直截面的周长 为c’,则其侧面积的计算公式就是 S侧=c’·l.

二.正棱锥的表面积 1. 正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜 高乘积的一半,即S正棱锥侧= 1 na· h’. 其中 2 a为底面正多边形的边长,底面周长为c, 斜高为h’,
h h'

a

如上图,以正四棱锥为例简单推导计算 公式。由于正四棱锥的侧面展开图是一些 全等的等腰三角形,底面是正多边形,若 设它的底面边长为a,底面周长为4a,斜高 为h’,容易得到正四棱锥的侧面积计算公 1 1 式为S正四棱锥侧= · 4a· h 2 ’= ch’, 2 对于正n棱锥,其侧面积计算公式为 1 S正棱锥侧= 2 c· h’. 2.正棱锥的表面积等于正棱锥的侧面积 与底面积之和.

三. 正棱台的表面积
1 1.正棱台的侧面积是S= 2 (c+c’)·h’,其中

上底面的周长为c’,下底面的周长为c,斜 高为h’.
a' h h'

a

三. 正棱台的表面积
1 1.正棱台的侧面积是S= 2 (c+c’)·h’,其中

上底面的周长为c’,下底面的周长为c,斜 高为h’.
a' h h'

a

2.正棱台可以看作是用平行正棱锥底面

的平面截得的,因此正棱台的侧面展开图
是一些等腰梯形, 设正棱台上、下底面周长为c’,c,斜高 为h’,可得正棱台的侧面积 1 S正棱台侧= (c+c’)·h’。 2 3.正棱台的表面积等于它的侧面积与底 面积之和。

四. 圆柱、圆锥、圆台的侧面积 (1)将圆柱沿一条母线剪开后,展开图 是一个矩形,这个矩形的一边为母线, 另一边为圆柱底面圆的圆周长,设圆柱 底面半径为r,母线长为l,则侧面积 S圆柱侧=2πrl.
O`

O

(2)将圆锥沿一条母线剪开,展开在一 个平面上,其展开图是一个扇形,扇形的 半径为圆锥的母线,扇形的弧是圆锥底面 圆的圆周,因此该扇形的圆心角 θ=
2? r ,r为圆锥底面半径,l为圆锥 l

的母线长,根据扇形面积公式可得: 1 S圆锥侧= ·2πr· l=πrl,其中l为圆锥母线长, 2 r为底面圆半径。

S

?

c=2 ? r

l

O

r

A

(3)圆台可以看成是用一个平行底面的 平面截圆锥所得,因此圆台的侧面展开图 是一个扇环,设圆台上、下底半径为r、R, 母线长为l.
1 则S圆台侧=π(r+R)l= (c1+c2)l,其中r,R 2

分别为上、下底面圆半径,c1,c2分别为
上、下底面圆周长,l为圆台的母线。

S c1 c2 O1 l R r

O2

五.球的表面积 球面面积(也就是球的表面积)等于它 的大圆面积的4倍, 即S球=4πR2,其中R为球的半径.

例1. 一个长方体的长、宽、高分别为5、 4、3,求它的表面积。 解:长方体的表面积 S=2(5×4+4×3+5×3)=94.

例2. 已知正四棱锥底面正方形长为4cm, 高与斜高的夹角为30°,求正四棱锥的侧 面积及全面积.(单位:cm2,精确到0.01 )
P

解:正棱锥的高PO,斜 高PE,底面边心距OE 组成直角三角形。

D O E B

C

因为OE=2, ∠OPE=30°,

A

所以斜高
因此S侧=

OE 2 PE ? ? ?4 sin 30? 0.5
1 2

ch’=32(cm2)

S全=S侧+S底=48(cm2)

P

D

例3. 如图所示是一个容器的盖子,它是用 一个正四棱台和一个球焊接而成的。球的 半径为R,正四棱台的两底面边长分别为 3R和2.5R,斜高为0.6R; (1)求这个容器盖子的表面积;
(2)若R=2cm,为盖子涂色时所用的涂 料每0.4kg可以涂1m2,计算100个这样的盖 子涂色需涂料多少千克(精确到0.1kg)。

解:(1)因为
1 S正四棱台=4× ×(2.5R+3R)×0.6R 2

+(2.5R)2+(3R)2

=21.85R2.
S球=4πR2. 因此,这个盖子的全面 积为S全=(21.85+4π)R2.

(2)取R=2,π=3.14,得

S全=137.67cm2. 又 (137.67×100)÷10000×0.4≈0.6(kg), 因此涂100个这样的盖子共需涂料0.6kg.

例4. 在球心同侧有相距9cm的两个平行截 面,它们的面积分别为49πcm2和400π cm2,求球的表面积. 解:由截面圆的面积分别 是49πcm2和400π cm2,
B A

解得AO1=20cm,
BO2=7cm. 设OO1=x, 则OO2=x+9.

O2 O1 O

所以R2=x2+202=(x+9)2+72.
解得x=15(cm).

所以圆的半径R=25(cm).
所以S球=4πR2=2500π(cm2)

练习:
1. 在正方体的八个顶点中,有四个恰好是 正四面体的顶点,则正方体的表面积与此

正四面体的表面积的比值为( B )
(A) 2
6 (C) 2

( B) 3 ( D) 3
3

2. 侧面都是直角三角形的正三棱锥, 底面边长为 ( A )

2 ,该三棱锥的全面积是
3 (B) 4

(A)
(C)

3? 3 2 3? 3 4

( D)

6? 3 4

3. 球内接正方体的表面积与球的表面积 的比为( A )

(A)2:π (B)3:π
(C)4:π (D)6:π

? 4.

已知圆锥的侧面积为 3?,底面圆 的半径为1,求圆锥的母线长_______, 3 圆锥的高为 2 。

?

5. 已知正六棱台的上、下底面边长分别 是2 和4,高是2,则这个棱台的侧面积等



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