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高中数学选修2-1(人教B版)第二章圆锥曲线与方程2.1知识点总结含同步练习题及答案


高中数学选修2-1(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案
第二章 圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程

一、学习任务 了解曲线与方程的对应关系;了解求曲线方程的一般步骤,能求一些简单曲线的方程. 二、知识清单
轨迹与轨迹方程 曲线系

三、知识讲解
1.轨迹与轨迹方程 描述: 一般地,一条曲线可以看成动点依某种条件运动的轨迹,所以曲线的方程又常称为满足某种条件 的点的轨迹方程. 在平面直角坐标系中,如果曲线 C 与方程 F (x, y) = 0 之间具有如下关系: (1)曲线 C 上点的坐标都是方程 F (x, y) = 0 的解; (2)以方程 F (x, y) = 0 的解为坐标的点都是曲线 C 上. 那么,曲线 C 叫做方程 F (x, y) = 0 的曲线,方程 F (x, y) = 0 叫做曲线 C 的方程. 例题: 设圆 C : (x ? 1)2 + y 2 = 1 ,过原点 O 作圆的任意弦,求所作弦的中点的轨迹方程. 解:解法一:直接法.

设 OQ 为过点 O 的一条弦,P (x, y) 为 OQ 中点,M 为 OC 中点,则 M (

CP ⊥ OQ. 所以 |MP | =
得方程

1 , 0) , 2

1 1 |OC | = 2 2

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 √(x ? )2 + y 2 = . 2 2
整理得

整理得

(x ?

1 2 1 ) + y 2 = (0 < x ≤ 1). 2 4

解法二:定义法. 设 OQ 为过点 O 的一条弦,P (x, y) 为 OQ 中点,M 为 OC 中点,则 M (

CP ⊥ OQ.
因为 ∠OP C = 90? ,所以动点 P 在以 M ( 故所求圆的方程为

1 , 0) , 2

1 , 0) 为圆心,OC 为直径的圆上. 2

(x ?

1 2 1 ) + y 2 = (0 < x ≤ 1). 2 4

解法三:相关点法. 设 OQ 为过点 O 的一条弦,P (x, y) 为 OQ 中点,Q(x1 , y 1 ),则

x ? ?x = 1 , 2 ? ? y = y1 , ? 2 { x1 = 2x, y 1 = 2y.

所以

因为点 Q在圆上,所以
2 = 1, (x1 ? 1)2 + y 1



(2x ? 1)2 + 4y 2 = 1(0 < x ≤ 1),
整理得

(x ?

1 2 1 ) + y 2 = (0 < x ≤ 1). 2 4

解法四:参数法. 设点 P 的坐标为 (a, b) ,动弦 OQ 的方程为 y = kx ,则 b = ka ,故 k = 由

b . a

{


y = kx, (x ? 1)2 + y 2 = 1,

(1 + k2 )x2 ? 2x = 0,
所以

x1 + x2 =


1 + k2

2

.

x1 + x2 = 2a,
所以

a=
代入 k =

1 + k2

1

.

b ,整理得 a (a ? 1 2 1 ) + b 2 = (0 < a ≤ 1), 2 4

所以 P 点轨迹方程为 (x ?

1 2 1 ) + y 2 = (0 < x ≤ 1). 2 4

A 、B 是抛物线 y 2 = 4ax(a > 0) 上的两动点,且 OA ⊥ OB ,OP ⊥ AB 于点 P ,求动点 P 的轨迹. 解:设点 P 的坐标为 (x, y) ,直线 OA 的方程为 y = kx ,显然 k ≠ 0,则直线 OB 的方 1 程为 y = ? x.由 k { y 2= kx, y = 4ax,
解得 A 点坐标为 ( 时,

4a 4a , ).同理,可得 B 点的坐标为 (4ak2 , ?4ak),从而当 k ≠ ±1 2 k k 1 + k) 1 k = = , 1 1 4a( ? k2 ) ?k k k2 4a( 1

kAB

故得直线 AB 的方程为

y + 4ak =

1 ?k k

(x ? 4ak2 ),



(
直线 OP 的方程为

1 ? k)y + 4a = x ? ① k 1 ? k)x ? ② k

y = ?(
可知 P 点的坐标同时满足 ①②,由②,得

y 1 ?k = , k ?x
代入①,得

?y 2 + 4ax = x2 ,
故有

(x ? 2a)2 + y 2 = 4a2 (x ≠ 0)
当 k = ±1 时,容易验证 P 点的坐标仍适合上述方程. 故点 P 的轨迹方程为 (x ? 2a)2 + y 2 = 4a2 (x ≠ 0),它表示以点 (2a, 0) 为圆心,以 2a 为半 径的圆除去坐标原点后的部分.

2.曲线系 描述: 具有某种共同性质的所有曲线的集合,称为一个曲线系,并用含有一个参数的方程来表示.高中 常用的曲线系有直线系与圆系. 1. 直线系 具有某种共同属性的一类直线的集合,称为直线系.它的方程称直线系方程.几种常见的 直线系方程: (1)共点直线系:过已知点 P (x0 , y 0 ) 的直线系方程 y ? y 0 = k(x ? x0 ) (k 为参数) (2)平行直线系:斜率为 k 的直线系方程 y = kx + b (b 是参数)          与已知直线 Ax + By + C = 0 平行的直线系方程 Ax + By + λ = 0 (λ 为参数) (3)垂直直线系:与已知直线 Ax + By + C = 0 垂直的直线系方程 Bx ? Ay + λ = 0(λ 为参数) (4)过直线 l 1 :A 1 x + B 1 y + C1 = 0 与 l 2 :A 2 x + B 2 y + C2 = 0 的交点的直线系 方程:A 1 x + B 1 y + C1 + λ(A 2 x + B 2 y + C2 ) = 0(λ 为参数),此直线系不含直线 l 2 . 2. 圆系 具有某种共同属性的圆的集合,称为圆系.它的方程称为圆系方程.几种常见的圆系方 程: (1)同心圆系: (x ? x 0 )2 + (y ? y 0 )2 = r2 ,x0 、y 0 为常数,r 为参数. (2)过两已知圆 C1 :f 1 (x, y) = x2 + y 2 + D 1 x + E1 y + F1 = 0 和 C2 : f 2 (x, y) = x2 + y 2 + D 2 x + E2 y + F2 = 0 的交点的圆系方程为: x2 + y 2 + D 1 x + E1 y + F1 + λ(x2 + y 2 + D 2 x + E2 y + F2 ) = 0(λ ≠ ?1 ),不包含 圆 C2 . 注:若 λ = ?1 时,变为 (D 1 ? D 2 )x + (E1 ? E2 )y + F1 ? F2 = 0,其中两圆相交 时,此直线表示为公共弦所在直线,当两圆相切时,此直线为两圆的公切线,当两圆相离 时,此直线表示与两圆连心线垂直的直线. 3. 过直线与圆交点的圆系方程 设直线 l :Ax + By + C = 0 与圆 C :x2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 相交,则过直线 l 与圆 C 交点的圆系方程为 x2 + y 2 + Dx + Ey + F + λ(Ax + By + C ) = 0. 例题: 求经过直线 l 1 :x + 2y ? 5 = 0 和直线 l 2 :x + y ? 3 = 0 的交点且和直线 l 3 :

3x + 4y ? 5 = 0 垂直的直线 l 的方程. 解:因为过 l 1 和 l 2 交点的直线系方程可写为 (x + 2y ? 5) + λ(x + y ? 3) = 0.
此方程不包含直线 l 2 . 整理得 (1 + λ)x + (2 + λ)y ? 5 ? 3λ = 0. 因为 l ⊥ l 3 ,所以 ? 为 l 的方程.

1+λ 4 11 ,代入 ① 式整理得 4x ? 3y + 2 = 0 ,即 = ,所以 λ = ? 2+λ 3 7

求解下列各题: (1)求过两圆 x 2 + y 2 + 6x ? 4 = 0 和 x2 + y 2 + 6y ? 28 = 0 的交点,且圆心在直线 x ? y ? 4 = 0 上的圆的方程; (2)求经过圆 C1 :x 2 + y 2 ? 6x = 0 与圆 C2 :x2 + y 2 = 4 的交点,且经过点 P (2, ?2) 的圆 C 的方程. 解:(1)设所求的圆的方程为 x 2 + y 2 + 6x ? 4 + λ(x2 + y 2 + 6y ? 28) = 0(λ ≠ ?1),即

x2 + y 2 +
所以圆心为 (?

6 6λ 4 + 28λ x+ y? = 0. 1+λ 1+λ 1+λ

3 3λ ,? ) ,且其在直线 x ? y ? 4 = 0 上,所以 1+λ 1+λ ? 3 3λ + ? 4 = 0. 1+λ 1+λ

解得 λ = ?7 . 故所求的圆的方程为 x 2 + y 2 ? x + 7y ? 32 = 0. (2)设所求圆 C 的方程为 x 2 + y 2 ? 6x + λ(x2 + y 2 ? 4) = 0(λ ∈ R, 且 λ ≠ ?1),由圆 C 过点 P (2, ?2) ,得 2 2 + (?2)2 ? 12 + λ[2 2 + (?2)2 ? 4] = 0 ,解得 λ = 1,故所求圆 C 的方 程为 2x 2 + 2y 2 ? 6x ? 4 = 0. 即 x 2 + y 2 ? 3x ? 2 = 0.

四、课后作业

(查看更多本章节同步练习题,请到快乐学kuailexue.com)

1. 已知两定点 A (?2, 0) ,B (1, 0),如果动点 P 满足 |P A| = 2|P B|,则点 P 的轨迹所包围的面积等 于 ( A.π
答案: B 解析:

)
B.4π C.8π D.9π

设点 P 的坐标是 (x,y),由 |P A| = 2 |P B|,得 √(x + 2)2 + y 2 = 2√(x ? 1)2 + y 2 ,化简得

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

(x ? 2)2 + y 2 = 4 ,所以点 P 的轨迹是以 (2, 0) 为圆心,2 为半径的圆,所以所求面积为 4π.
2. 动点 A 在圆 x 2 + y 2 = 1 上移动时,它与定点 B (3, 0) 连线的中点的轨迹方程是 ( A.(x + 3)2 + y 2 = 4 C.(2x ? 3)2 + 4y 2 = 1 B.(x ? 3)2 + y 2 = 1 D.(x + 3)2 + y 2 =

)

1 2

答案: C 解析: 设中点

M (x, y) ,则动点 A (2x ? 3, 2y) , ∵点 A 在圆 x 2 + y 2 = 1 上, ∴ (2x ? 3)2 + (2y)2 = 1 ,即 (2x ? 3)2 + 4y 2 = 1 . )

3. 下列命题正确的是 (

A.到两坐标轴的距离相等的点组成的直线方程是 y = x 的中线方程为 y = x

B.已知三点 A (2, 0) , B (0, 2) , C (0, 0) , △ABC 的边 AB 边上 C.到两坐标轴的距离的乘积是 1 的点的轨迹方程是 xy = ±1 D.到 x 轴的距离等于 1 的点的轨迹方程是 y = 1
答案: C 解析: A中,到两坐标轴距离相等的点组成的直线是

B中,△ABC 的边 AB 上的中线是一条线段,不是直线; D中,到 x 轴的距离等于 1 的点的轨迹方程是 y = 1 或 y = ?1; C中,到两坐标轴的距离的乘积是 1 的点满足 |x| ? |y| = 1 ,即 xy = ±1 . 4. 已知两直线 a1 x + b 1 y + 1 = 0 和 a2 x + b 2 y + 1 = 0 的交点为 P (2, 3) ,则过两点 Q1 (a1 , b 1 ) ,

y = x 或 y = ?x;

Q2 (a2 , b 2 ) 的直线方程是
答案:



2x + 3y + 1 = 0

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