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高中数学人教b版必修515 等比数列前n项和的性质及应用含解析

学业分层测评(十五) 等比数列前 n 项和的性质及应用 (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1. 已知 an=(-1)n, 数列{an}的前 n 项和为 Sn, 则 S9 与 S10 的值分别是( A.1,1 C.1,0 B.-1,-1 D.-1,0 ) 【解析】 S9=-1+1-1+1-1+1-1+1-1=-1. S10=S9+a10=-1+1=0. 【答案】 D 2.已知等比数列的公比为 2,且前 5 项和为 1,那么前 10 项和等于( A.31 C.35 【解析】 根据等比数列性质得 S10-1 ∴ =25,∴S10=33. 1 【答案】 B 3.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 4a1,2a2,a3 成等差数列.若 a1=1, 则 S4 等于( ) B.33 D.37 S10-S5 =q5, S5 ) A.7 C.15 【解析】 设{an}的公比为 q, ∵4a1,2a2,a3 成等差数列, B .8 D.16 ∴4a2=4a1+a3,即 4a1q=4a1+a1q2, 即 q2-4q+4=0,∴q=2, 又 a1=1, 1-24 ∴S4= =15,故选 C. 1-2 【答案】 C 4.在等比数列{an}中,如果 a1+a2=40,a3+a4=60,那么 a7+a8=( A.135 C.95 B.100 D.80 ) 【解析】 由等比数列的性质知 a1+a2,a3+a4,a5+a6,a7+a8 成等比数 列, 60 3 其首项为 40,公比为 = . 40 2 ?3? ? ? ∴a7+a8=40×? ?3=135. ?2? 【答案】 A 5.数列{an},{bn}都是等差数列,a1=5,b1=7,且 a30+b30=60,则{an +bn}的前 30 项的和为( A.1 000 ) B.1 020 C.1 040 D.1 080 【解析】 {an+bn}的前 30 项的和 S30=(a1+b1)+(a2+b2)+…+(a30+b30) =(a1+a2+a3+…+a30)+(b1+b2+b3+…+b30)= 15(a1+a30+b1+b30)=1 080. 【答案】 D 二、填空题 6.等比数列{an}共有 2n 项,它的全部各项的和是奇数项的和的 3 倍,则公 比 q=________. 【解析】 设{an}的公比为 q,则奇数项也构成等比数列,其公比为 q2,首 项为 a1, a1?1-q2n? a1[1-?q2?n] S2n= ,S 奇= . 1-q 1-q2 a1?1-q2n? 3a1?1-q2n? 由题意得 = . 1 -q 1-q2 ∴1+q=3,∴q=2. 【答案】 2 7.数列 11,103,1 005,10 007,…的前 n 项和 Sn=________. 【解析】 数列的通项公式 an=10n+(2n-1). 所以 Sn=(10+1)+(102+3)+…+(10n+2n-1)=(10+102+…+10n)+ 10?1-10n? n?1+2n-1? 10 [1+3+…+(2n-1)]= + = (10n-1)+n2. 1-10 2 9 【答案】 10 (10n-1)+n2 9 30?a1+a30? 30?b1+b30? + = 2 2 8. 如果 lg x+lg x2+…+lg x10=110, 那么 lg x+lg2x+…+lg10x=________. 【33300078】 【解析】 由已知(1+2+…+10)lg x=110, ∴55lg x=110.∴lg x=2. ∴lg x+lg2x+…+lg10x=2+22+…+210=211-2=2 046. 【答案】 2 046 三、解答题 9.在等比数列{an}中,已知 S30=13S10,S10+S30=140,求 S20 的值. 【解】 ∵S30≠3S10,∴q≠1. ? ?S30=13S10, 由? ? ?S10+S30=140, ? ?S10=10, 得? ? ?S30=130. a ?1-q ? ? 1-q ∴? a ?1-q ? ? 1-q 1 1 10? =10, 30? =130. ∴q20+q10-12=0,∴q10=3,∴S20= =40. a1?1-q20? =S10(1+q10)=10×(1+3) 1-q 10.已知{an}是首项为 1 的等比数列,Sn 是{an}的前 n 项和,且 9S3=S6, ? ?1? ? 求数列? ?的前 5 项和. ? ?an? ? 【解】 若 q=1,则由 9S3=S6 得 9×3a1=6a1,则 a1=0,不满足题意, 故 q≠1. a1?1-q3? a1?1-q6? 由 9S3=S6 得 9× = ,解得 q=2.故 an=a1qn-1=2n-1, 1-q 1-q ?1? ? ? =? ?n-1. an ?2? 1 ? 1 ?1? ? 所以数列? ?是以 1 为首项, 为公比的等比数列,其前 5 项和为 S5= 2 ? ?an? ? ? ?1? ? ? ? ?? 1×?1-? ?5? ? ?2? ? 31 = . 1 16 1- 2 [能力提升] 1.(2015· 广州六月月考)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S10∶S5=1∶2, 则 S15∶S5=( A.3∶4 C.1∶2 ) B.2∶3 D.1∶3 【解析】 在等比数列{an}中,S5,S10-S5,S15-S10,…成等比数列,因 3 为 S10∶S5=1∶2,所以 S5=2S10,S15= S5,得 S15∶S5=3∶4,故选 A. 4 【答案】 A S1+S2+…+Sn 2. 设数列{an}的前 n 项和为 Sn, 称 Tn= 为数列 a1, a2, a3, …, n an 的“理想数”,已知数列 a1,a2,a3,a4,a5 的理想数为 2 014,则数列 2, a1,a2,…,a5 的“理想数”为( A.1 673

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