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高中数学必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系课件2.1.1平面及其表示法(含习题课)


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1

空间点、直线、平面的位置关系 金太阳教育网 www.jtyjy.com

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观察长方体,你能发现长方体的顶点,棱所 在的直线,以及侧面、底面之间的位置关系吗?
D?
A?

C?
B?

长方体由上下、前后、 左右六个面围成. 有些面是平行的,有些 面是相交的;有些棱所在直 线与面平行,有些棱所在直 线与面相交,每条棱所在的 直线都可以看成是某个平面 内的直线,等等.
2

D

C
A B

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观察活动室里的地面,它呈现出怎样的形象?

3

一.平面的概念: 光滑的桌面、平静的湖面等都是我们 熟悉的平面形象,数学中的平面概念是现 实平面加以抽象的结果。
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二.平面的特征:

平面没有大小、厚薄和宽窄,平面在空 间是无限延伸的。
4

三.平面的画法:
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(1)水平放置的平面: (2)垂直放置的平面:
?
a

通常把表示平面的平行四边形的锐角 画成450
5

品质来自专业 金太阳教育网 www.jtyjy.com (3)在画图时,如果图形的一部分被另一 信赖源于诚信 部分遮住,可以把遮住部分画成虚线,也可 以不画。

?
?

?
?

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四.平面的表示方法:

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平面可以用希腊字母表示,也可以用代表表示 平面的平行四边形的四个顶点或相对的两个顶点字 母表示。
D C

?

?
A B

如:平面α,平面β,平面ABCD,平面AC平 面BD等。
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五.用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系:

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(1)点与直线的位置关系:
点A在直线a上: 记为:A∈a
A a

点B不在直线a上: 记为:B∈a (2)点与平面的位置关系: 点A在平面α上: 记为:A∈α 记为:B∈ α 点B不在平面α上:

B

B A
8

α

(3)直线与平面的位置关系:

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直线a上的所有点都在平面α上,称直线a在 a ?α 平面α内,或称平面α通过直线a.记为:

直线a与平面α只有一个公共点A时,称直线a 与平面α相交。 记为:a∩α=A
直线a与平面α没有公共点时,称直线a与平 面α平行。 记为:a∩α=φ 或 a∥α.
a
a
α α

a

A

α
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五.用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系:

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B
a B

b a
A α

a

A

α

A

α

A∈a

A∈α

a ?α
b∩α=A

B∈a

B∈α

a∩α=φ 或 a∥α

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典型例题 www.jtyjy.com

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例1 如图,用符号表示下列图形中点、直线、平面 之间的位置关系.

?

a

?
A l

?
a l

B

(1)

b P (2)

?

解:在(1)中, ? ? ? ? l , a ? ? ? A, a ? ? ? B. 在(2)中, ? ? ? ? l , a ? ? , b ? ? , a ? l ? P, b ? l ? P.
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例2.把下列语句用集合符号表示,并画出直观图。 (1)点A在平面α内,点B不在平面α内,点A,B

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都在直线 a上;
(2)平面α与平面β相交于直线 m,直线 a 在平 面α内且平行于直线 m.
B

α
α A

a
m

a

β
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观察下列问题,你能得到什么结论? 桌面α
A

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B

公理1.如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线在此平面内(即这条直线上的 所有的点都在这个平面内)。
l α A

B
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文字语言: 公理1.如果一条直线上两点在一 个平面内,那么这条直线在此平 面内(即这条直线上的所有的点 都在这个平面内)。 图形语言:
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l

α

A

B

符号语言:符号表示:
A ? l , B ? l , 且A ? ? , B ? ? ? l ? ?
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金太阳教育网 www.jtyjy.com 观察下列问题,你能得到什么结论_?

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B
A C
α A

B C

公理2.过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面.
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公理2.过不在同一直线上的三点,有且只有 一个平面.
图形语言:
B α A C

符号语言:
A, B, C三点不共线? 有且只有一个平面 ? 使A ?? , B ?? , C ??
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观察下列问题,你能得到什么结论?
天花板α

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墙面γ

P

墙面β

β

α

P

l

公理3.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么 这两个平面有且只有一条过该点的公共直线。
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公理3.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么
这两个平面有且只有一条过该点的公共直线。

图形语言:

β

α

P

l

符号语言:

P ??且P ? ? ? ? ? ? ? l且P ? l
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例 1.判 断 下 列 命 题 是 正 确 : 否
(×)

( 1)经过三 点 确 定 一 个 平 面 。

( 2) 经 过 同 一 点 的 三 直 线 确 定 一 个 平 面 。 条 (×)

( 3) 若 点 A 直 线 a, 点 A 平 面 α , 则 a α . ? ? ? (×)

( 4) 平 面 α 与 平 面 β 相交,它们只有有限 公 共 点 。 个 (×)

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公理2.过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面.
B
α A C

推论1.一条直线和直线外一点唯一确定一个平面。
A l

α

B

C

推论2.两条相交直线唯一确定一个平面。 推论3.两条平行直线唯一确定一个平面。
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作业: P56习题2.1A组 1,2,3(1)(2)
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补充练习:

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1、A为直线 l 上的点,又点A不在平面 与 的公共点最多有 _______个. 1

l ?

? 内,则

2、四条直线过同一点,过每两条直线作一个平 1或4或6 面,则可以作_____________个不同的平面 .

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金太阳教育网 www.jtyjy.com 点、线、面之间的位置关系及语言表达

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文字语言表达
点A在直线a上 点A不在直线a上 点A在平面α上 点A不在平面α上 直线a在平面α内 直线a在平面α外

图形语言表达
A A

符号语言表达
a A∈a A∈a A∈α

a
A

α

A

A∈ α
α

a
α

a ?α
a

a

b∩α=A a∩α=φ 或 a∥α 24

α

A

α

文字语言: 公理1.如果一条直线上两点在一 个平面内,那么这条直线在此平 面内(即这条直线上的所有的点 都在这个平面内)。 图形语言:
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l

α

A

B

符号语言:符号表示:
A ? l , B ? l , 且A ? ? , B ? ? ? l ? ?
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公理2.过不在同一直线上的三点,有且只有 一个平面.
图形语言:
B α A C

符号语言:
A, B, C三点不共线? 有且只有一个平面 ? 使A ?? , B ?? , C ??
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公理3.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么
这两个平面有且只有一条过该点的公共直线。

图形语言:

β

α

P

l

符号语言:

P ??且P ? ? ? ? ? ? ? l且P ? l
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公理2.过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面.
B
α A C

推论1.一条直线和直线外一点唯一确定一个平面。
A l

α

B

C

推论2.两条相交直线唯一确定一个平面。 推论3.两条平行直线唯一确定一个平面。
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金太阳教育网 www.jtyjy.com 确定平面的条件:

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经过不共线三点

经过一条直线和直线外的一点

经过两条相交直线
经过两条平行直线

有且只有一个平面

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概念巩固

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下列四个命题中,正确的是( D ) A、任何一个平面图形都是一个平面 B、平面就是平行四边形 C、平面图形可以看成是点的有限集 D、三角形可以确定一个平面

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概念巩固

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下列四个命题中,正确的是( C,D) A、三个点确定一个平面 B、一条直线和一个点确定一个平面 C、两条相交直线确定一个平面 D、两条平行直线确定一个平面

31

概念巩固

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下列五个命题中,正确的是( C、E) A、四边形一定是平面图形 B、空间的三个点确定一个平面 C、梯形一定是平面图形 D、六边形一定是平面图形 E、三角形一定是平面图形

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练习2:画出平面

?和平面 ?相交的图形

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练习3:画出满足下列条件的图形(其中 平面, a , b, l 为直线)

?, ? 为

? ? ? ? l , a ? ? , b ? ? , a // l , b // l ,
b ? l ? A, B ? a

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多线共面问题的证明
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例1:两两相交且不过同一点的四条直线必 在同一平面内.
练习:如图:l1 , l2 , l是三条直线,且 l1 ? l2 ? A, 3 .

l2 ? l3 ? B, l3 ? l1 ? C求证: l1 , l2 , l3 , 共面.
l1
C

l2

A

B

l3

34

多线共点问题的证明
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例2:如图,已知三个平面 ? , ? , ? , ? ? ? ? a, 且

? ? ? ? b, ? ? ? ? c, a ? b ? P, 求证:点P在直线c上.

?
b

c a

?
?
35

P

多点共线问题的证明
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例3:如图已知 ?ABC在平面 ? 外. AB ? ? ? P,

AC ? ? ? R, BC ? ? ? Q, 求证:P,Q,R三点共线.
A B C P

?

Q

R

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补充练习:

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1、A为直线 l 上的点,又点A不在平面 与 的公共点最多有 _______个. 1

l ?

? 内,则

2、四条直线过同一点,过每两条直线作一个平 1或4或6 面,则可以作_____________个不同的平面 .

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