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数列通项、数列前n项和的求法例题+练习


通项公式和前 n 项和
一、新课讲授: 求数列前 N 项和的方法 1. 公式法
(1)等差数列前 n 项和:

Sn ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

特别的,当前 n 项的个数为奇数时, S2k ?1 ? (2k ? 1)? ak ?1 ,即前 n 项和为中间项乘以项数。这个公 式在很多时候可以简化运算。 (2)等比数列前 n 项和: q=1 时, Sn ? na1

q ? 1,Sn ?

a1 1 ? q n 1? q

?

? ,特别要注意对公比的讨论。
2、 S n ?

(3)其他公式较常见公式: 1、 S n ?

? k ? 2n(n ? 1)
k ?1

n

1

?k
k ?1

n

2

1 ? n(n ? 1)(2n ? 1) 6

3、 S n ?

?k
k ?1

n

3

1 ? [ n(n ? 1)]2 2
?1 2 3 n ,求 x ? x ? x ? ? ? ? ? x ? ? ? ? 的前 n 项和. log2 3

[例 1] 已知 log3 x ?

[例 2] 设 Sn=1+2+3+…+n,n∈N*,求 f (n) ?

Sn 的最大值. (n ? 32) S n ?1

2. 错位相减法
这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{an· 的前 n 项和,其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. [例 3] 求和: S n ? 1 ? 3x ? 5x 2 ? 7 x 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n?1 ………………………① bn}

[例 4] 求数列

2 4 6 2n , 2 , 3 ,? ? ?, n ,? ? ? 前 n 项的和. 2 2 2 2

练习: 求:Sn=1+5x+9x2+· · · · · · +(4n-3)xn-1

答案: 当 x=1 时,Sn=1+5+9+· · · · · · +(4n-3)=2n2-n 当 x≠1 时,Sn= 1-x [
1 4x(1-xn) +1-(4n-3)xn ] 1-x

3. 倒序相加法求和
这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序) ,再把它 与原数列相加,就可以得到 n 个 (a1 ? an ) . [例 5] 求 sin 1 ? sin 2 ? sin 3 ? ? ? ? ? sin 88 ? sin 89 的值
2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ?

4. 分组法求和
有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等 比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可. [例 6] 求数列的前 n 项和: 1 ? 1,

1 1 1 ? 4, 2 ? 7,? ? ?, n ?1 ? 3n ? 2 ,… a a a

练习:求数列1 2 ,2 4 ,3 8 ,? ? ?, (n ? 2n ),? ? ? 的前 n 项和。

1

1

1

1

5. 裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解, 然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)如: (1) an ? f (n ? 1) ? f (n) (2)

sin 1? ? tan(n ? 1)? ? tann? cos n? cos(n ? 1)? (2n) 2 1 1 1 ? 1? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

(3) a n ?

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

(4) an ?

(5) an ?

1 1 1 1 ? [ ? ] n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)

(6) a n ?

n ? 2 1 2(n ? 1) ? n 1 1 1 1 ? n ? ? n ? ? , 则S n ? 1 ? n ?1 n n(n ? 1) 2 n(n ? 1) 2 n?2 (n ? 1)2 (n ? 1)2 n
1 1? 2 , 1 2? 3 ,? ? ?, 1 n ? n ?1 ,? ? ? 的前 n 项和.

[例 9] 求数列

[例 10] 在数列{an}中, an ?

1 2 n 2 ? ? ??? ? ,又 bn ? ,求数列{bn}的前 n 项的和. n ?1 n ?1 n ?1 a n ? a n ?1

[例 11] 求证: 解:设 S ?

1 1 1 cos1? ? ? ? ? ? ? ? cos0 ? cos1? cos1? cos 2 ? cos88? cos89? sin 2 1?
1 1 1 ? ? ??? ? ? ? ? ? cos 0 cos 1 cos 1 cos 2 cos 88 cos 89 ?
?



sin 1? ? tan(n ? 1)? ? tann? ? ? cos n cos(n ? 1)
?

(裂项)

∴S ?

1 1 1 ? ? ??? ? (裂项求和) ? ? ? ? cos 0 cos 1 cos 1 cos 2 cos 88 cos 89 ? 1 {(tan 1? ? tan 0 ? ) ? (tan 2 ? ? tan 1? ) ? (tan 3? ? tan 2 ? ) ? [tan 89 ? ? tan 88 ? ]} = ? sin 1


1 1 cos1? ? ? ? (tan 89 ? tan 0 ) ? cot 1 = = sin 1? sin 1? sin 2 1?

∴ 原等式成立

1 1 1 1 ? ? ? 练习:求 3 15 35 63 之和。

6. 合并法求和
针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列的和时,可 将这些项放在一起先求和,然后再求 Sn. [例 12] 求 cos1°+ cos2°+ cos3°+· · ·+ cos178°+ cos179°的值.

[例 14] 在各项均为正数的等比数列中,若 a5 a6 ? 9, 求 log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? ? ? log3 a10 的值.

7. 利用数列的通项求和
先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项及其特征,然后再利用数列的通项揭示的规 律来求数列的前 n 项和,是一个重要的方法.

[例 15] 求 1 ? 11? 111? ? ? ? ? 111 ?? ? ?1 之和. ? ?
n个1

练习:求 5,55,555,…,的前 n 项和。 以上一个 7 种方法虽然各有其特点,但总的原则是要善于改变原数列的形式结构,使其能 进行消项处理或能使用等差数列或等比数列的求和公式以及其它已知的基本求和公式来解决, 只 要很好地把握这一规律,就能使数列求和化难为易,迎刃而解。

求数列通项公式的八种方法

一、公式法(定义法) 根据等差数列、等比数列的定义求通项 二、累加、累乘法 1、累加法 适用于: an?1 ? an ? f (n)

a2 ? a1 ? f (1)
若 an?1 ? an ? f (n) (n ? 2) ,则

a3 ? a2 ? f (2) ? ? an ?1 ? an ? f (n)

两边分别相加得 an ?1 ? a1 ?

? f ( n)
k ?1

n

例 1 已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2n ? 1 ,a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 解:由 an?1 ? an ? 2n ? 1 得 an?1 ? an ? 2n ? 1 则

an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ?2 ) ? ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ? [2(n ? 1) ? 1] ? [2( n ? 2) ? 1] ? ? ? (2 ? 2 ? 1) ? (2 ?1 ? 1) ? 1 ? 2[(n ? 1) ? (n ? 2) ? ? ? 2 ? 1] ? (n ? 1) ? 1 (n ? 1)n ? (n ? 1) ? 1 2 ? (n ? 1)(n ? 1) ? 1 ?2 ? n2
所以数列 {an } 的通项公式为 an ? n2 。 例 2 已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1 ,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。 解法一:由 an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1得 an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1 则

an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ? 2 ) ? ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ? (2 ? 3n ?1 ? 1) ? (2 ? 3n ? 2 ? 1) ? ? ? (2 ? 32 ? 1) ? (2 ? 31 ? 1) ? 3 ? 2(3n ?1 ? 3n ? 2 ? ? ? 32 ? 31 ) ? (n ? 1) ? 3 3(1 ? 3n ?1 ) ? (n ? 1) ? 3 1? 3 ? 3n ? 3 ? n ? 1 ? 3 ?2 ? 3n ? n ? 1

所以 an ? 3n ? n ? 1. 解法二: an?1 ? 3an ? 2 ? 3n ? 1 两边除以 3 则
n ?1

,得

an ?1 an 2 1 ? n ? ? n ?1 , n ?1 3 3 3 3

an ?1 an 2 1 ? n ? ? n ?1 ,故 n ?1 3 3 3 3

an an an ?1 a an ? 2 an ? 2 a n ? 3 a2 a1 a1 ?( n ? ) ? ( n ?1 ? n )?( n ? n ?3 ) ? ? ? ( 2 ? )? n ?2 ?2 3 3 an ?1 an ?1 3 3 3 3 31 3 2 1 2 1 2 1 2 1 3 ? ( ? n ) ? ( ? n ?1 ) ? ( ? n ? 2 ) ? ? ? ( ? 2 ) ? 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2(n ? 1) 1 1 1 1 1 ? ? ( n ? n ? n ?1 ? n ? 2 ? ? ? 2 ) ? 1 3 3 3 3 3 3

1 (1 ? 3n?1 ) an 2(n ? 1) 3n 2n 1 1 因此 n ? , ? ?1 ? ? ? 3 3 1? 3 3 2 2 ? 3n
则 an ?

2 1 1 ? n ? 3n ? ? 3n ? . 3 2 2

2、累乘法 适用于: an?1 ? f (n)an



an ?1 a a a ? f (n) ,则 2 ? f (1),3 ? f (2), ??,n ?1 ? f (n) an a1 a2 an
n an?1 ? a1 ? ? f (k ) a1 k ?1

两边分别相乘得,

例 3 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2(n ? 1)5n ? an,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。

解:因为 an?1 ? 2(n ? 1)5n ? an,a1 ? 3 ,所以 an ? 0 ,则

an ?1 ? 2(n ? 1)5n ,故 an

an ?

an an ?1 a a ? ?? ? 3 ? 2 ? a1 an ?1 an ? 2 a2 a1

? [2(n ? 1 ? 1)5n ?1 ][2(n ? 2 ? 1)5n ? 2 ] ?? ? [2(2 ? 1) ? 52 ][2(1 ? 1) ? 51 ] ? 3 ? 2n ?1[n(n ? 1) ?? ? 3 ? 2] ? 5( n ?1) ? ( n ? 2) ??? 2?1 ? 3 ? 3 ? 2n ?1 ? 5
n ( n ?1) 2

? n!
n ?1

所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 3 ? 2

?5

n ( n ?1) 2

? n!.

三、待定系数法 适用于 an?1 ? qan ? f (n) 分析:通过凑配可转化为 an?1 ? ?1 f (n) ? ?2 [an ? ?1 f (n)] ; 解题基本步骤: 1、确定 f ( n) 2、设等比数列 ?an ? ?1 f (n)? ,公比为 ?2 3、列出关系式 an?1 ? ?1 f (n) ? ?2 [an ? ?1 f (n)] 4、比较系数求 ?1 , ?2 5、解得数列 ?an ? ?1 f (n)? 的通项公式 6、解得数列 ?an ? 的通项公式 例 4 已知数列 {an } 中, a1 ? 1, an ? 2an?1 ? 1(n ? 2) ,求数列 ?an ? 的通项公式。 解法一:? an ? 2an?1 ? 1(n ? 2),

? an ? 1 ? 2(an?1 ? 1)
又? a1 ? 1 ? 2,??an ? 1? 是首项为 2,公比为 2 的等比数列

? an ? 1 ? 2n ,即 an ? 2n ?1
解法二:? an ? 2an?1 ? 1(n ? 2),

? an?1 ? 2an ? 1
两式相减得 an?1 ? an ? 2(an ? an?1 )(n ? 2) , 故数列 ?an?1 ? an ? 是首项为 2, 公比为 2 的等比 数列,再用累加法的…… 例 5 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 4 ? 3n?1,a1 ? 1,求数列 ?an ? 的通项公式。 解法一:设 an?1 ? ?1 3 ? ?2 (an ? ? ? 3
n n?1

),比较系数得 ?1 ? ?4, ?2 ? 2 ,

则数列 an ? 4 ? 3

?

n ?1

? 是首项为 a ? 4 ? 3
1

1?1

? ?5 ,公比为 2 的等比数列,

所以 an ? 4 ? 3n?1 ? ?5 ? 2n?1 ,即 an ? 4 ? 3n?1 ? 5 ? 2n?1 解法二: 两边同时除以 3
n ?1

得:

an ?1 2 an 4 ? ? ? ,下面解法略 3n ?1 3 3n 32

注意:例 6 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3n2 ? 4n ? 5,a1 ? 1,求数列 {an } 的通项公式。 解:设 an?1 ? x(n ?1)2 ? y(n ?1) ? z ? 2(an ? xn2 ? yn ? z) 比较系数得 x ? 3, y ? 10, z ? 18 , 所以 an?1 ? 3(n ? 1)2 ? 10(n ? 1) ? 18 ? 2(an ? 3n2 ? 10n ? 18) 由 a1 ? 3?12 ? 10 ?1 ? 18 ? 1 ? 31 ? 32 ? 0 ,得 an ? 3n2 ? 10n ? 18 ? 0



an?1 ? 3(n ? 1)2 ? 10(n ? 1) ? 18 ? 2 ,故数列 {an ? 3n2 ? 10n ? 18} 为以 an ? 3n2 ? 10n ? 18

a1 ? 3?12 ? 10 ?1 ? 18 ? 1 ? 31 ? 32 为首项,以 2 为公比的等比数列,因此 an ? 3n2 ?10n ?18 ? 32 ? 2n?1 ,则 an ? 2n?4 ? 3n2 ?10n ?18 。
注意:形如 an?2 ? pan?1 ? qan 时将 an 作为 f ( n) 求解 分析:原递推式可化为 an?2 ? ?an?1 ? ( p ? ? )(an?1 ? ?an ) 的形式,比较系数可求得 ? ,数列

?an?1 ? ?an ? 为等比数列。
例 7 已知数列 {an } 满足 an?2 ? 5an?1 ? 6an , a1 ? ?1, a2 ? 2 ,求数列 {an } 的通项公式。 解:设 an?2 ? ?an?1 ? (5 ? ? )(an?1 ? ?an ) 比较系数得 ? ? ?3 或 ? ? ?2 ,不妨取 ? ? ?2 , 则 an?2 ? 2an?1 ? 3(an?1 ? 2an ) ,则 ?an?1 ? 2an ? 是首项为 4,公比为 3 的等比数列

? an?1 ? 2an ? 4 ? 3n?1 ,所以 an ? 4 ? 3n?1 ? 5 ? 2n?1

四、迭代法
3( n?1)2 例 8 已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ,a1 ? 5 ,求数列 {an } 的通项公式。
n

3( n?1)2 解:因为 an?1 ? an ,所以

n

3 n?2 3( n ?1)?2 an ? an ? [an ]3n?2 ?1 ?2 3( n ? 2)?2 ? [an ]3 ( n ?1)?n?2 ?3 3 ( n ? 2)( n ?1) n?2 ? an ?3
3 n?3 2

n?1

n?2

n?1

3 ( n ?1)?n?2 ? an ?2

2

( n?2)?( n?1)

( n?2)?( n?1)

( n?3)?( n?2)?( n?1)

?? ? a13 ? a13
n?1

?2?3??( n ? 2)?( n ?1)?n?21?2????( n?3)?( n?2)?( n?1)
n ( n?1) 2

n?1

?n!?2

又 a1 ? 5 ,所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 5

3n?1 ?n!?2

n ( n?1) 2



注:本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。

五、变性转化法 1、对数变换法 适用于指数关系的递推公式
5 例 9 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2 ? 3n ? an , a1 ? 7 ,求数列 {an } 的通项公式。

5 解:因为 an?1 ? 2 ? 3n ? an ,a1 ? 7 ,所以 an ? 0,an?1 ? 0 。

两边取常用对数得 lg an?1 ? 5lg an ? n lg3 ? lg 2 设 lg an?1 ? x(n ? 1) ? y ? 5(lg an ? xn ? y) 比较系数得, x ? 由 lg a1 ? (同类型四)

lg 3 lg 3 lg 2 ,y? ? 4 16 4

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 ?1 ? ? ? lg 7 ? ?1 ? ? ? 0 ,得 lg an ? n? ? ? 0, 4 16 4 4 16 4 4 16 4

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 ? ? n? ? } 是以 lg 7 ? 为首项,以 5 为公比的等比数列, 4 16 4 4 16 4 lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 n ?1 n? ? ? (lg 7 ? ? ? )5 ,因此 则 lg an ? 4 16 4 4 16 4
所以数列 {lg an ?

lg an ? (lg 7 ?

lg 3 lg 3 lg 2 n ?1 lg 3 lg 3 lg 2 ? ? )5 ? n? ? 4 16 4 4 6 4
1 1 1 n 1 1

? [lg(7 ? 3 4 ? 316 ? 2 4 )]5n ?1 ? lg(3 4 ? 316 ? 2 4 ) ? lg(7 ? 3 ? 3 ? 2 ) ? lg(75 n ?1 ? 3
则 an ? 7
5n?1
5 n ? 4 n ?1 16 1 4 1 16 1 n?1 4 5 5

? lg(3 ? 3 ? 2 )
n?1

n 4

1 16

1 4

?2

?1

4

)

?3

5n?4 n?1 16

?2

5n?1 ?1 4



2、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式,分子只有一项 例 10 已知数列 {an } 满足 an ?1 ?

2an , a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 an ? 2

解:求倒数得

1 1 1 1 1 1 ? 1 1? 1 1 ? ? ,? ? ? ,? ? ? ? 为等差数列,首项 ? 1 ,公差为 , an ?1 2 an an ?1 an 2 ? an ?1 an ? 2 a1

?

1 1 2 ? (n ? 1),? an ? an 2 n ?1

3、换元法 适用于含根式的递推关系 例 11 已知数列 {an } 满足 an ?1 ?

1 (1 ? 4an ? 1 ? 24an ),a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 16
1 2 (bn ? 1) 24

解:令 bn ? 1 ? 24an ,则 an ? 代入 an ?1 ?

1 (1 ? 4an ? 1 ? 24an ) 得 16

1 2 1 1 2 (bn ?1 ? 1) ? [1 ? 4 (bn ? 1) ? bn ] 24 16 24
即 4bn?1 ? (bn ? 3)
2 2

因为 bn ? 1? 24an ? 0 , 则 2bn?1 ? bn ? 3 ,即 bn ?1 ? 可化为 bn ?1 ? 3 ?

1 3 bn ? , 2 2

1 (bn ? 3) , 2

所以 {bn ? 3} 是以 b1 ? 3 ? 1 ? 24a1 ? 3 ? 1 ? 24 ?1 ? 3 ? 2 为首项,以

1 为公比的等比数列,因此 2

1 1 1 1 bn ? 3 ? 2( ) n ?1 ? ( ) n ?2 ,则 bn ? ( ) n ? 2 ? 3 ,即 1 ? 24an ? ( ) n ? 2 ? 3 ,得 2 2 2 2 an ? 2 1 n 1 n 1 ( ) ?( ) ? 。 3 4 2 3

六、数学归纳法 通过首项和递推关系式求出数列的前 n 项,猜出数列的通项公式,再用数学归纳法 加以证明。 例 12 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? an ?

8(n ? 1) 8 ,a1 ? ,求数列 {an } 的通项公式。 2 2 (2n ? 1) (2n ? 3) 9

解:由 an ?1 ? an ?

8 8(n ? 1) 及 a1 ? ,得 2 2 9 (2n ? 1) (2n ? 3)

8(1 ? 1) 8 8 ? 2 24 ? ? ? 2 2 (2 ?1 ? 1) (2 ?1 ? 3) 9 9 ? 25 25 8(2 ? 1) 24 8?3 48 a3 ? a2 ? ? ? ? 2 2 (2 ? 2 ? 1) (2 ? 2 ? 3) 25 25 ? 49 49 8(3 ? 1) 48 8 ? 4 80 a4 ? a3 ? ? ? ? 2 2 (2 ? 3 ? 1) (2 ? 3 ? 3) 49 49 ? 81 81 a2 ? a1 ?
由此可猜测 an ?

(2n ? 1)2 ? 1 ,下面用数学归纳法证明这个结论。 (2n ? 1)2 (2 ?1 ? 1)2 ? 1 8 ? ,所以等式成立。 (2 ?1 ? 1)2 9 (2k ? 1)2 ? 1 ,则当 n ? k ? 1 时, (2k ? 1)2

(1)当 n ? 1 时, a1 ?

(2)假设当 n ? k 时等式成立,即 ak ?

ak ?1 ? ak ? ? ? ? ?

8(k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2

[(2k ? 1) 2 ? 1](2k ? 3) 2 ? 8(k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 ? (2k ? 1) 2 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 (2k ? 3) 2 ? 1 (2k ? 3) 2 [2(k ? 1) ? 1]2 ? 1 [2(k ? 1) ? 1]2

由此可知,当 n ? k ? 1 时等式也成立。 根据(1) , (2)可知,等式对任何 n ? N 都成立。
*

七、阶差法 1、递推公式中既有 Sn ,又有 an

分析:把已知关系通过 an ? ? 方法求解。

?S1 , n ? 1 转化为数列 ?an ? 或 Sn 的递推关系,然后采用相应的 ?Sn ? Sn?1 , n ? 2
1 (an ? 1)(an ? 2) ,且 a2 , a4 , a 9 成等 6

例 13 已知数列 {an } 的各项均为正数,且前 n 项和 Sn 满足 S n ? 比数列,求数列 {an } 的通项公式。
? 解:∵对任意 n ? N 有 S n ?

1 (an ? 1)(an ? 2) 6



∴当 n=1 时, S1 ? a1 ? 当 n≥2 时, S n ?1 ?

1 (a1 ? 1)(a1 ? 2) ,解得 a1 ? 1 或 a1 ? 2 6


1 (an ?1 ? 1)( an ?1 ? 2) 6

⑴-⑵整理得: (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 3) ? 0 ∵ {an } 各项均为正数,∴ an ? an?1 ? 3
2 当 a1 ? 1 时, an ? 3n ? 2 ,此时 a4 ? a2a9 成立

2 当 a1 ? 2 时, an ? 3n ? 1 ,此时 a4 ? a2a9 不成立,故 a1 ? 2 舍去

所以 an ? 3n ? 2 2、对无穷递推数列 例 14 已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 ,an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ?1)an?1 (n ? 2) ,求 {an } 的通项公式。 解:因为 an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ?1)an?1 (n ? 2) 所以 an?1 ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ?1)an?1 ? nan ② ①

用②式-①式得 an?1 ? an ? nan . 则 an?1 ? (n ? 1)an (n ? 2)



an ?1 ? n ? 1(n ? 2) an

所以 an ?

an an?1 a n! ? ?? ? 3 ? a2 ? [n(n ? 1) ??? 4 ? 3]a2 ? a2 . an?1 an?2 a2 2



由 an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ?1)an?1 (n ? 2) , 取n ? 2得a2 ? a1 ? 2a2 ,则 a2 ? a1 ,又知 a1 ? 1 , 则 a2 ? 1,代入③得 an ? 1 ? 3 ? 4 ? 5 ?? ? n ? 所以, {an } 的通项公式为 an ? 八、不动点法 不动点的定义:函数 f ( x ) 的定义域为 D ,若存在 f ( x) x0 ? D ,使 f ( x0 ) ? x0 成立,则称 x0 为

n! 。 2

n! . 2

f ( x) 的不动点或称 ( x0 , f ( x0 )) 为函数 f ( x) 的不动点。
分析:由 f ( x) ? x 求出不动点 x0 ,在递推公式两边同时减去 x0 ,在变形求解。 类型一:形如 an?1 ? qan ? d 例 15 已知数列 {an } 中, a1 ? 1, an ? 2an?1 ? 1(n ? 2) ,求数列 ?an ? 的通项公式。 解:递推关系是对应得递归函数为 f ( x) ? 2 x ? 1 ,由 f ( x) ? x 得,不动点为-1 ∴ an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) ,…… 类型二:形如 an ?1 ?

a ? an ? b c ? an ? d
a?x?b c?x ? d

分析:递归函数为 f ( x) ?

( 1 )若有两个相异的不动点 p,q 时,将递归关系式两边分别减去不动点 p,q ,再将两式相除得

an ?1 ? p a ?p a ? pc (a q ? pq)k n?1 ? (a1 p ? pq) ?k? n ,其中 k ? ,∴ an ? 1 a ? qc an ?1 ? q an ? q (a1 ? p)k n?1 ? (a1 ? q)
(2)若有两个相同的不动点 p,则将递归关系式两边减去不动点 p,然后用 1 除,得

2c 1 1 。 ? ? k ,其中 k ? a?d an?1 ? p an ? p
例 16 已知数列 {an } 满足 an ?1 ?

21an ? 24 ,a1 ? 4 ,求数列 {an } 的通项公式。 4an ? 1

解:令 x ? 点。因为

21x ? 24 21x ? 24 2 0 ,则 x1 ? 2,x2 ? 3 是函数 f ( x ) ? ,得 4 x ? 20 x ?24 ? 的两个不动 4x ?1 4x ?1

21an ? 24 ?2 ?a ? 2? an ?1 ? 2 4an ? 1 21an ? 24 ? 2(4an ? 1) 13an ? 26 13 an ? 2 ? ? ? ? 。 所以数列 ? n ? 是以 an ?1 ? 3 21an ? 24 ? 3 21an ? 24 ? 3(4an ? 1) 9an ? 27 9 an ? 3 ? an ? 3 ? 4an ? 1

a ?2 a1 ? 2 4 ? 2 13 13 ? ? 2 为首项,以 为公比的等比数列,故 n ? 2( )n?1 ,则 an ? 9 a1 ? 3 4 ? 3 an ? 3 9

1 13 2( )n ?1 ? 1 9

? 3。


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