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参数方程复习

参数方程复习 一、课前检测 1、已知点 M 的极坐标为 ? 5, ? ,下列所给出的四个坐标中能表示点 M 的坐标是() 。

? ?? ? 3?

?? ? A. ? 5, ? ? ? 3?

4? ? ? B. ? 5, ? ? 3?

2? ? ? C. ? 5, ? ? ? 3?

D. ? 5, ?

? ?

5? ? ? 3 ?

2、直线:3x-4y-9=0 与圆: ? A.相切

? x ? 2 cos? ,(θ 为参数)的位置关系是( ) ? y ? 2 sin ?
D.相交但直线不过圆心

B.相离 C.直线过圆心

3、在参数方程 ?

? x ? a ? t cos? (t 为参数)所表示的曲线上有 B、C 两点,它们对应的参数值分别为 t1、t2,则 ? y ? b ? t sin ?


线段 BC 的中点 M 对应的参数值是(

1 ? ?x ? 1? 4、曲线的参数方程是 ? t (t为参数,t ? 0) ,则它的普通方程为__________________。 ? y ? 1? t2 ?
5、直线 ?

? x ? 3 ? at (t为参数) 过定点_____________。 ? y ? ?1 ? 4t

6、点 P(x,y)是椭圆 2 x2 ? 3 y 2 ? 12 上的一个动点,则 x ? 2 y 的最大值为___________。 7、设 y ? tx(t为参数) 则圆 x2 ? y 2 ? 4 y ? 0 的参数方程为__________________________。

8、已知点 P(x,y)是圆 x ? y - 6x- 4y+12=0 上动点,求: (1) x ? y
2 2 2

2

的最值, (2)x+y 的最值, (3)P

到直线 x+y-1=0 的距离 d 的最值。

1

二.知识梳理 1.参数方程和普通方程的互化 (1)由参数方程化为普通方程—— 消去参数 .消参数的方法有代入法、加减(或乘除)消元法、三角代换法

等.消参时应特别注意参数的取值范围对 x,y 的限制.由参数方程化为普通方程一般是唯一的. (2)由普通方程化为参数方程—— 选参数 , 参数选法各种各样, 所以由普通方程化为参数方程是不唯一的. 2.直线参数方程的几种形式

? x ? x0 ? t cos? ? y ? y0 ? t sin ? (1)标准式:经过点 M 0 ?x0 , y0 ? ,倾斜角的直线的参数方程为 ? . ? x ? x0 ? at ? y ? y0 ? bt (2)点斜式: ?

(t 为参数),

(t 为参数).其中 ?x0 , y0 ? 表示该直线上的一点,表示直线的斜率.当 a,b 分别表

示点 M(x,y)在 x 轴正方向与 y 轴正方向的分速度时,t 就具有物理意义——时间,相应的 at,bt 则表示点 M(x,

y)在 x 轴正方向、y 轴正方向上相对 ?x0 , y0 ? 的位移.
(3)截距式:当直线的截距为 b,倾斜角为 ? 时,直线的参数方程为: ? 4.圆的参数方程

? x ? t cos ? ? y ? b ? t sin ?

? x ? x0 ? r cos? ? 2 2 2 ?x ? x0 ? ? ? y ? y0 ? ? r 的参数方程为 ? y ? y0 ? r sin ?
圆锥曲线包括椭圆,双曲线,抛物线。其统一定义:到定点的距离与到定直线的距离的比 e 是常数的点的轨 迹叫做圆锥曲线。当 0<e<1 时为椭圆:当 e=1 时为抛物线;当 e>1 时为双曲线。 (一)、圆锥曲线的方程和性质: 1)椭圆 文字语言定义:平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个小于 1 的正常数 e。定点是椭圆的 焦点,定直线是椭圆的准线,常数 e 是椭圆的离心率。 标准方程: 1.中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆标准方程:

x2 y 2 ? 2 ? 1 其中 a>b>0,c>0, c2 = a 2 - b2 . 2 a b x2 y2 ? 2 ? 1 其中 a>b>0,c>0, c2 = a 2 - b2 . 2 b a

2.中心在原点,焦点在 y 轴上的椭圆标准方程:

参数方程:

? x ? a cos? ? ? y ? b sin ?
2

2)双曲线 文字语言定义:平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于 1 的常数 e。定点是双曲线的 焦点,定直线是双曲线的准线,常数 e 是双曲线的离心率。 标准方程: 1.中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线标准方程:

x2 y2 ? 2 ? 1 其中 a>0,b>0, c2 = a 2 + b2 . 2 a b y2 x2 ? 2 ? 1 其中 a>0,b>0, c2 = a 2 + b2 . 2 a b

2.中心在原点,焦点在 y 轴上的双曲线标准方程:

参数方程: ? 3)抛物线 标准方程:

? x ? a sec? ? y ? b tan?

1.顶点在原点,焦点在 x 轴上开口向右的抛物线标准方程: y 2 =2px 2.顶点在原点,焦点在 x 轴上开口向左的抛物线标准方程: y 2 =-2px 3.顶点在原点,焦点在 y 轴上开口向上的抛物线标准方程: x =2py 4.顶点在原点,焦点在 y 轴上开口向下的抛物线标准方程: x =-2py 参数方程
2 2

其中 p>0 其中 p>0 其中 p>0 其中 p>0

? x ? 2 pt 2 1 2 x=2p t y=2pt (t 为参数) t ? (tanθ 为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率)特别地,t 可 ? tan ? y ? 2 pt ?
等于 0 重难点突破 例题 1:将下列参数方程化为普通方程:

?1? ?

? x ? sin? (? 为参数); ? y ? cos 2?

1 ? x? ? ? 1? t2 (t为参数); ? 2? ? ?y ? t ? 1? t2 ?

1 ? x ? ? et ? e ? t ? ? 2 (t为参数); ? 3? ? ? ? y ? 1 ? et ? e ? t ? ? ? 2

3

1 ? x?t? ? ? t 例题 2:化参数方程 ? ?y ? t ? 1 ? t ?
小,并求此最小距离.

(t 为参数)为普通方程,并求出该曲线上的一点 P,使它到 y=2x+1 的距离为最

练习:在椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上找一点,使这一点到直线 x ? 2 y ? 12 ? 0 的距离的最小值。 16 12

例题 3 求直线 ?

?x ? 2 ? t ? y ? 3t

( t 为参数)被双曲线 x ? y ? 1 所截的线段长。
2 2

练习:求直线 ?

?x ? 1? t ? y ? 1? t

与圆 x 2 ? y 2 ? 4 的交点坐标。 (t为参数)

4

例题 4:.参数方程 ?

? x ? cos ? (sin ? ? cos ? ) (? 为参数) 表示什么曲线? ? y ? sin ? (sin ? ? cos ? )

例题 5:已知点 P( x, y) 是圆 x 2 ? y 2 ? 2 y 上的动点, (1)求 2 x ? y 的取值范围;(2)若 x ? y ? a ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围。

例题 6:已知双曲线 x ?

2

y2
2

= 1,过点 P(2,1)的直线交双曲线于 P1,P2,求线段 P1P2 的中点 M 的轨迹方程。

例题 7:直线 l 过点 P(1,2),其参数方程为?

?x =1 ? t, ?y =2 +t

(t 是参数),直线 l 与直线 2x +y? 2 =0 交于点 Q,求 PQ。

5

练习作业 1、曲线 C: ?

? x ? cos? ? 1 ? y ? sin ? ? 1

的普通方程为( (?为参数) B.(x+1)2+(y+1)2=1 D.(x-1)2+(y-1)2=1 )

)

A.(x-1)2+(y+1)2=1 C.(x+1)2+(y-1)2=1 2、方程 ?

1 ? ?x ? ? t t ? ? y?2

(t为参数) 表示的曲线是(

A.一条直线

B.两条直线 C.一条射线

D.两条射线

? x ? 1 ? 5cos? ? y ? 5sin ? 3、若 P(2,-1)为圆 ?
A.x-y-3=0 C.x+y-1=0

(为参数,0≤q<2p)的弦的中点,则该弦所在的直线方程为( B.x+2y=0 D.2x-y-5=0

)

4、 直线 l 的参数方程为 ?

?x ? a ? t l 上的点 P1 对应的参数是 t1 , 则点 P1 与 P (a, b) 之间的距离是 ( (t为参数) , y ? b ? t ?
C. 2 t1 D.



A. t1

B. 2 t1

2 t1 2

1 ? ?x ? t ? 5、参数方程为 ? t (t为参数) 表示的曲线是( ? ?y ? 2
A.一条直线 B.两条直线 C.一条射线



D.两条射线

1 ? x ? 1? t ? 2 ? (t为参数) 和圆 x2 ? y 2 ? 16 交于 A, B 两点, 6、直线 ? ? y ? ?3 3 ? 3 t ? ? 2
则 AB 的中点坐标为( 7、与参数方程为 ? )A. (3, ?3) B. (? 3,3) C. ( 3, ?3) ) D. (3, ? 3)

? ?x ? t ? ? y ? 2 1? t

(t为参数) 等价的普通方程为(
y2 ? 1(0 ? x ? 1) 4

A. x ?
2

y2 ?1 4 y2 ? 1(0 ? y ? 2) 4

B. x ?
2

2 C. x ?

2 D. x ?

y2 ? 1(0 ? x ? 1, 0 ? y ? 2) 4
6

8、直线 ?

? x ? ?2 ? t (t为参数) 被圆 ( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 25 所截得的弦长为( ? y ? 1? t
B. 40



A. 98

1 4

C. 82

D. 93 ? 4 3

1 ? ?x ? 1? 9、曲线的参数方程是 ? t (t为参数,t ? 0) ,则它的普通方程为__________________。 ? y ? 1? t2 ?
10、直线 ?

? x ? 3 ? at (t为参数) 过定点_____________。 ? y ? ?1 ? 4t

11、点 P(x,y)是椭圆 2 x2 ? 3 y 2 ? 12 上的一个动点,则 x ? 2 y 的最大值为___________。 12、曲线的极坐标方程为 ? ? tan ? ?

1 ,则曲线的直角坐标方程为________________。 cos ?

13、设 y ? tx(t为参数) 则圆 x2 ? y 2 ? 4 y ? 0 的参数方程为__________________________。
2

已知双曲线 x ?

y2
2

= 1,过点 P(2,1)的直线交双曲线于 P1,P2,求线段 P1P2 的中点 M 的轨迹方程。

点 P(x,y)是椭圆 2 x2 ? 3 y 2 ? 12 上的一个动点,则 x ? 2 y 的最大值为___________。

7


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