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陕西科技大学复变函数与积分变换12级(2013.10)


陕西科技大学 试题纸
课程 复变函数与积分变换 学号 题号 得分 阅卷人 一 、填空题(每题 3 分共 18 分) zz ? 2 z ? z ? 2 ? 1、 lim z ?1 z2 ?1 2、 Ln(2 ? i 2) 的值是 3、 ? ?
ez dz ? z ? 2 ?1 z ? 2
?

班级 姓名





















总分

; (写成三角表达式) ;



4、幂级数 ? (1 ? i ) n z n 的收敛半径为 R =
n ?0

; 奇点 (填写孤立奇点的类型) ; .

1 5、 z ? ? 是函数 f ( z ) ? sin z ? 的 z

6、函数

1 ez ? 1

的所有奇点为

二、选择题(每题 3 分共 18 分) 1、方程 Re z 2 ? 1所代表的曲线是 A、圆周; 2、 ò ?
ez dz = 5 z =1 z

B、椭圆;

C、双曲线

D、抛物线

A、

pi 12

B、 -

pi 12

C、

pi 6

D、 -

pi 6

3、函数 f ( z ) = u( x, y) + iv( x, y) 解析,则下列命题错误的是 A、 u , v 均为调和函数 C、 u 是 v 的共轭调和函数 B、 v 是 u 的共轭调和函数 D、 - u 是 v 的共轭调和函数
第 1 页 共 2 页

4、已知 ? an ( z - 1)n 在 z = 3 收敛而在 z = 1 + 2i 发散,则级数的收敛半径为
n= 1

?

A、 2

B、 + ?
(- 1)n (1n= 0

C、 3

D、 0

ゥ 1 5、级数 邋 + n n= 1 ( z - 2)

z n ) 的收敛域为 2

1< z - 2 < A、

1 2

B、0 < z - 2 < 2

C、 1< z - 2 < 2

D、 0 < z - 2 < 1

6、设 f ( z ) = A、
- i 2

eiz ,则 Re s[ f ( z), i] = z2 + 1

B、

- i 2e

C、 0

D、

ie 2

三、求解下列各题(每题 6 分共 12 分) 1、证明函数 f ( z) = e- y sin x - ie- y cos x 在复平面处处解析,并求其导函数。 2、已知 v =
y 为调和函数,求满足 f (2) = 0 的解析函数 f ( z ) = u + iv 。 x + y2
2

四、 (每题 6 分共 30 分)计算积分,其中 C 为正向简单闭曲线。
1

ez 1.、 ò ?c z( z - 1)2 dz
3、 ò ?

c: z = 2

ez 2、 ò ?c 1- z dz

c: z = 2

z dz c : z - 1 = 1 2 c ( z + 2)( z - 1)

4、 ò

+?

- ?

x sin x dx 1+ x2

5、 ò ( x2 + iy)dz c : 沿 y = x 从 0 到 1 + i
c

五、求下列各函数在指定域内的级数展开式(每题 6 分共 12 分) 1、 f ( z ) =
1 z ( z - 1)2 1 z (i - z ) 1< z - 1 < + ?

2、 f ( z ) =

0< z < 1

六、应用拉普拉斯变换求解微分方程 yⅱ (t ) + 4 yⅱ (t ) + 3 y(t ) = e- t , y(0) = y (0) = 1 (本题 10 分)

第 2 页 共 2 页

12 级复变函数与积分变换参考答案及评分标准
一、填空题(每题 3 分,共 18 分) 1、

3 1 2 ; 2、 ln 6 + i(- arctan + 2k p ) ; 3、 2? ie2 ; 2 2 2

4、

2 ; 2

5、本性奇点

6、 ( x, y ) y ? (2k ? 1)?

?

?

二、选择题(每题 3 分,共 18 分) 1、C 2、A 3、C 4、A 5、C 6、B 三、 (每题 6 分,共 12 分) 1、因为 u , v 在复平面上具有一阶连续偏导数,且

?u ?v ? e? y cos x ? , ?x ?y

?u ?v ? ?e? y sin x ? ? ?y ?x
…………………..4 分 ……………………..2 分

所以 f ( z ) 在复平面上处处解析。

f ?( z ) ?
2、

?u ?v ? i ? e ? y cos x ? ie ? y sin x ?x ?x

?u ?v 2 xy ?? ? 2 ……………………………..1 分 ?y ?x ( x ? y 2 )2 ?u 2 xy ?x dy ? ? 2 dy ? 2 ? ? ( x) ……………………3 分 2 2 ?y (x ? y ) x ? y2

u??

?u x2 ? y 2 ?v x2 ? y 2 ? ? ? ? ( x) ? ? ?x ( x 2 ? y 2 )2 ?y ( x 2 ? y 2 )2
得 ? ?( x) ? 0, ? ( x) ? C 故u ? …………………………1 分 由 f (2) = 0 ,得 C ?

?x ?C , x ? y2
2

1 2

所以 f ( z ) ?

1 1 ? 2 z

………………………………1 分

四、 (每题 6 分,共 30 分) 1、

ez 蝌 ?c z( z - 1)2 dz =

ez ?z = 13 z( z - 1)2 dz +
ez ( z - 1)2

ez ? ?z- 1= 13 z( z - 1)2 dz ………………….3 分
ez )? z= 1 = 2p i ……………….…3 分 z

= 2p i

z = 0 + 2p i (

第 3 页 共 2 页

2、在 z = 2 内有奇点 z = 0,
1

z = 1 ,由留数定理有

ez ò ?c 1- z dz = 2p i {Re s[ f ( z), 0] + Re s[ f ( z),1]}……………………..3 分
= - 2p i Re s[ f ( z), ? ]
3、

- 2p i ……………………………….3 分

ò ? ( z + 2)( z - 1) dz = 2p i( z + 2 )?
c 2

z

z

z= 1

=

4p i ……………………6 分 9

4、


- ?

+?

x sin x dx = Im{ 1+ x2

? ?

xeix dx} …………………………….2 分 1+ x2

zeiz e- 1 = 2p i Re s[ , i ] = 2 p i = p ie- 1 ………………..3 分 1+ z 2 2


ò

+?

- ?

x sin x dx = p e- 1 ……………………………………………….1 分 2 1+ x

5、由 y = x ,有 z = x + iy = (1+ i) x ……………………………………1 分

蝌( x
c

2

+ iy )dz =

1 0

1 i 1 5 ( x 2 + ix)(1 + i )dx = (1 + i)( + ) = - + i …………..5 分 3 2 6 6

五、 (每题 6 分,共 12 分) 1、当

1< z - 1 < + ?
1 1 1 1 1 …………………3 分 = ? = ? 2 2 3 z ( z - 1) ( z - 1) 1+ ( z - 1) ( z - 1) 1+ 1 z- 1
1 1 1 2 1 3 1 n (1 + +( ) +( ) + ?+ ( ) + ?) …………..3 分 3 ( z - 1) z- 1 z- 1 z- 1 z- 1

f ( z) =

=
2、当

0< z < 1
1 1 1 ..............................................3 分 = ? z(i - z ) iz 1- z i 1 z z z = ( 1+ + ( 2)+ ? + ( n + ) ? ................................3 ) 分 iz i i i
1 ………..4 分 s+ 1

f ( z) =

六、 (10 分) 对方程两端取拉氏变换,得 s Y ( s ) - s - 1 + 4sY ( s ) - 4 + 3Y ( s ) =
2

第 4 页 共 2 页

Y (s) =

1 s+ 5 + 2 ( s + 3)( s + 1) ( s + 3)( s + 1) …………………………………….2 分 1 1 3 1 7 1 = - ? ? 2 ( s + 1) 2 4 ( s + 3) 4 ( s + 1)
1 - t 3 - 3t 7 - t te - e + e ………………………..4 分 2 4 4

对 Y ( s ) 取拉氏逆变换得: y (t ) =

第 5 页 共 2 页


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