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江西省赣州中学2014-2015学年高二数学上学期期中试题

赣州中学 2014~2015 学年度第 一学期期中考试 高二数学试卷
说明:考试时间为 120 分钟,总分为 150 分,请考生用 黑色签字笔作答,考试过程中禁止使用计算 器。 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的,把正确答案填入答题卡上的相应空格内) 1. 为了解 1200 名学生对学校教改试验的意见, 打算从中抽取一个容量为 30 的样本, 考虑采用系统抽样, 则分段的间隔 k 为 A.40 ( B.30 ) C.20 D.12 )

2.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶 图(如图所示) ,则该样本的中位数、众数、极差分别是( A.46,45,56 B.46,45,53 C.47,45,56 D.45,47,53 3.由下表格数据得到的线性回归方程为 y ? 0.7 x ? 0.35 ,那么表格中的 m 为( x y A.4 A. [0, ? ) 3 2.5 4 m 5 4 6 4.5 C.4.5
2



B.3.15

D.3

4.直线 l 经过 A(2,1) 、B(1, m ) (m∈R)两点,那么直线 l 的倾斜角的取值范围是 B. [0,

?

3 ] ? [ ? ,? ) 4 4

C. [0,

?

4

]

D. [0,

?

] ? ( ,? ) 4 2


?

5.点 A 在 z 轴上,它到(3,2,1)的距离是 13 ,则点 A 的坐标是( A. (0,0,-1) B. (0,1,1) C. (0,0,1)

D. (0,0,13)

6.从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为 0 的概率是

4 2 1 1 B. C. D. 9 9 9 3 7.登上一个四级的台阶(可 以一步上一级、二级、三级或四级) , 在所有行走方式中恰有一步是两级的概率( )
A. A.

1 2

B.

3 8

C.

2 5

D.

1 4

8.某程序框图如图所示,若输出的 S=57,则判 断框内为( ) A.k>4 B.k>5 C.k>6 D.k>7 9.设有不同的直线 a 、 b 和不同的平面 ? 、 ? 、 ? ,给出下列三个命题 ①若 a // ? , b // ? ,则 a // b ②若 a // ? , a // ? ,则 ? // ? )

③若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? // ? 其中正确的个数是( A.0 B.1 C.2 D.3

10.正六棱柱的底面边长为 4,高为 6,则它的外接球的表面积为( A. 20? B. 25? C. 100? D. 200?


1

11.如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是正方形 ADD1A1 和 ABCD 的中心,G 是 CC1 的中点,设 GF、C1E 与 AB 所成的角分别是 α 、β ,则 α +β 等于( A.120° B.60° C.75° ) D.90°

12.正四棱锥 S ? ABCD 的底面边长为 4,高为 4, E 为边 BC 的中点,动点 P 在正四棱锥表面上运动, 并且总保持 PE ? AC ,则动点 P 的轨迹的周长为 ( A. 6 2 B. 2 2 ? 2 3 C. 2 2 ? 2 6 ) D.2 2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填入答题卡上) 13.当 a ? 3 时,下面的程序段输出的结果是 If

a ? 10 Then
y ? 2?a

Else

y ? a?a
Print y

1 1

14.一个几何体的三视图如图所示, 则它的体积为 . 1 1

15 .三棱锥的底面是边长为 1 的正三角形,且两条侧棱长为 是 .

13 ,则第三条侧棱长的取值范围 2

16.间 (0,1) 内随机地取出两个数,则两数之和小于

6 的概率为_______. 5

2

三、解答题(本大题 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (12 分)某高校在 2014 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩 ,按成绩分组,得 到的频率分布表如下左图所示. (1)请先求出频率分布表中①、②位置相应的数据,再在答题卷上完成下列频率分布直方图; (2)为了能选拔出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第 3、4、5 组中用分层抽样抽取 6 名学 生进入第二轮面试,求第 3、4、5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试? 组号 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 分组 [160, 165) [165, 170) [170, 175) [175, 180) [180, 185) 合计 频数 5 ① 30 20 10 100 频率 0.050 0.350 ② 0.200 0.100 1.00

18. (12 分)已知 A,B,C,D,E,F 是边长为 1 的正六边形的 6 个顶点,在顶点取自 A,B,C,D,E,F 的所有三角形中,随机(等可能)取一个三角形。求三角形的面积为

3 的概率. 4

19. (12 分)某高中有高级教师 96 人,中级教师 144 人,初级教师 48 人,为了进一步推进高中课程改革, 邀请甲、乙、丙、丁四位专家到校指导。学校计划从所有教师中采用分层抽样办法选取 6 名教师分别 与专家一对一交流,选出的 6 名教师再由专家随机抽取教师进行教学调研,每位教师只与其中一位专 家交流一次,每位专家至少与一名教师交流。 (1)从高级教师、中级教师、初级教 师中分别抽取几人; (2)若甲专家选取了两名教师,这两名教师分别是高级教师和中级教师的概率; (3)求高级教师不被同一专家抽取到的概率. 20. (12 分)如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AD=1,AA1=2,M 为棱 DD 1 上的一点. (1)求三棱锥 A-MCC1 的体积; (2)当 A1M+MC 取得最小值时,求证:B1M⊥平面 MAC.

3

21. (12 分)如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, CA ? CB , AB ? AA1 , ?BAA1 ? 60? 。 (1)证明: AB ? A1C ; (2)若 AB ? CB ? 2 , A1C ?

C

C1 B1 A1

6 ,求三棱柱
B A

ABC ? A1 B1C1 的体积。

22. (12 分)已知圆 C 的方程为 x 2 ? y 2 ? x ? 6 y ? m ? 0 ,直线 l : x ? 2 y ? 3 ? 0 (1)求 m 的取值范围; (2)若圆 C 与直线 l 交于 P、Q 两点,且以 PQ 为直径的圆 恰过坐标原点,求实数 m 的值.

4

赣州中学 2014-2015 学年度上学期高二期中考试 数学试题参考答案 一、选择题:AADDC;DBAAC;DC 二、填空题:13、6 ;14、 三、解答题: 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题可知,第 2 组的频数为错误!未找到引用 第 3 组的频率为错误!未找到引用源。, 频 率分布直方图如下: (Ⅱ)因为第 3、4、5 组共有 60 名学生, 所以利用分层抽样在 60 名学生中抽取 6 名学生,每组分别为: 第 3 组:错误!未找到引用源。人, 第 4 组:错误!未找到引用源。人, 第 5 组:错误!未找到引用源。人, 所以第 3、4、5 组分别抽取 3 人、2 人、1 人。 源。人,

3 3 3 17 3 , ) ;16、 ;15、 ( 2 2 25 2

18. (本小题满分 12 分) 解:共有 20 种: (A、B、C) , (A、B、D) , (A、B、E) , (A、B、F) , (A、C、D) , (A、C、E) , (A、C、F) , (A、D、E) , (A、D、F) , (A、E、F) , (B、C、D) , (B、C、E) , (B、C、F) , (B、D、E) , (B、D、F) , (B、 E、F) , (C、D、E) , (C、D、F) , (C、E、F) , (D、E、F) 。满足条件的有(A、B、C) , (A、B、F) , (A、E、 F) , (B、C、D) , (C、D、E) , (D、E、F). 所以 P= P ?

6 3 ? 20 10
3 的概率 4

另解:由题意得取出的三角形的面积是

P ( X=

3 3 6 )= 3 = . 4 C6 10

19. (本小题满分 12 分) 解: (1)从高级教师、中级教师、初级教师中分别抽数目之比为:96:144:48=2:3:1 得:从高级教师、中级教师、初级教师中分别抽数目分别为 2,3,1…………2 分. (2)设抽取的 6 人中高级教师为 a1 、a 2 ,中级教师为 b1、b2、b3 ,初级教师为 c1 ; 则甲抽取 2 两名教师所有可能的结果为: (a1 , a 2 ) , (a1 , b1 ) , (a1 , b2 )

(a1 , b3 ) , (a1 , c1 ) , (a 2 , b1 ) , (a 2 , b2 ) , (a 2 , b3 ) , (a 2 , c1 ) , (b1 , b2 ) , (b1 , b3 ) ,
(b1 , c1 ) , (b2 , b3 ) , (b2 , c1 ) , (b3 , c1 ) 共 15 种;
5

其中甲抽取到一名高级教师和一名中级教师结果为: (a1 , b1 ) , (a1 , b2 )

(a1 , b3 ) , (a 2 , b1 ) , (a 2 , b2 ) , (a 2 , b3 ) 共 6 种
所以甲抽取到一名高级教师和一名中级教师的概率为 (3)(本小题根据必修 3 课本 145 页 6 题改编) 两名高级教师所有被抽取情况如下表,每一个阴影部分代表一种分配情况,共有 16 种,但是两名高级教 师不被同一名专家抽到的情况为网格部分,共有 12 种情况, 所以两名高级教师不被同一专家抽取到的概率 甲 a1 甲 乙 丙 丁 a2 a2 a2 a2 乙 a1 丙 a1 丁 a1

6 2 ? …………7 分. 15 5

12 3 ? …………12 分. 16 4

6

20.(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)由长方体 ABCD-A1B1C1D1 知, AD⊥平面 CDD1C1, ∴点 A 到平面 CDD1C1 的距离等于 AD=1,

1 1 又 S△MCC1= CC1×CD= ×2×1=1, 2 2 1 1 ∴VA-MCC1= AD·S△MCC1= . 3 3 (Ⅱ)将侧面 CDD1C1 绕 DD1 逆时针转 90°展开,与侧面 ADD1A1 共面(如图), 当 A1,M,C′共线时,A1M+MC 取得最小值. 由 AD=CD=1,AA1=2,得 M 为 DD1 中点. 连接 C1M,在△C1MC 中,MC1= 2,MC= 2,CC1=2, 2 2 2 ∴CC1=MC1+MC ,得∠CMC1=90°,即 CM⊥MC1, 又由长方体 ABCD-A 1B1C1D1 知,B1C1⊥平面 CDD1C1, ∴B1C1⊥CM. 又 B1C1∩C1M=C1,∴CM⊥平面 B1C1M,得 CM⊥B1M, 同理可证,B1M⊥AM, 又 AM∩MC=M,∴B1M⊥平面 MAC. 21.(本小题满分 12 分) 解: (1)取 AB 的中点 0,连结 OC , OA 1, A 1 B ,因为 CA ? CB ,

C

C1
所以

OC ? AB ,由于 AB ? AA 1 ?BAA 1 ? AB ,所 1 ? 60 ,所以 OA
o

B A A1

B1
以 AB ?

平面 OA1C ,所以 AB ? A1C (2)由(1)知 O 是 AB 中点, ?ABC, ?ABA 1 均为正三角形,所以 CO ? A 1C ? 1O ? 3 ,又 A 以 ?COA1 为直角三角形,从而 A1O ? CO ,又 A1O ? AB ,所以 A1O ? 平面 ABC 。故

6 ,所

V ? S ?ABC A1O ?

4 ?4? 3 ? 3 4
37 4
P Q O x
7

22.(本小题 满分 10 分) 解: (1) m ?
y

?x 2 ? y 2 ? x ? 6 y ? m ? 0 (2)由 ? ? 5 y 2 ? 20y ? 12 ? m ? 0 ?x ? 2 y ? 3 ? 0

又 OP ? OQ ,所以 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,而 x1 x2 ? 9 ? 6( y1 ? y2 ) ? 4 y1 y2 所以

4m ? 27 12 ? m ? ? 0 ? m ? 3 ,这时 ? ? 0 ,故 m ? 3 5 5

8


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