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新课标高考数学模拟试题文科数学(含答案)


新课标高 新课标高考模拟试题
数学文科 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 参考公式: 样本数据 x1 , x 2 ,L x n 的标准差 锥体体积公式

S=

1 1 [( x1 ? x) 2 + ( x 2 ? x) 2 + L + ( x n ? x) 2 ] V = Sh 3 n
其中 S 为底面面积,h 为高 球的表面积、体积公式

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式

V = Sh

S = 4πR 2 , V =

4 3 πR 3

其中 S 为底面面积,h 为高 其中 R 为球的半径 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题 1.已知集合 A = {x | x ≤ 1}, B = {x | x 2 ? 2 x < 0} ,则 A I B = A.(0,1) B. C. ( 0,1] D. [ ?1,1) ) ( )

2.若 a = (1,1), b = (1, ?1), c = ( ?2, 4) ,则 c 等于 (

A.-a+3b B.a-3b C.3a-b D.-3a+b 3.已知四棱锥 P—ABCD 的三视图如右图所示,则四棱锥 P—ABCD 的体积为( ) A.

1 3

B.

2 3

C.

3 4

D.

3 8

4.已知函数 f ( x ) = A sin(ω x + ? )( A > 0, ω > 0,| ? |< 解析式是( )

π
2

) 的部分图象如图所示,则 f ( x) 的

A. f ( x ) = sin(3 x + C. f ( x ) = sin( x +

π

π

)( x ∈ R ) B. f ( x) = sin(2 x + )( x ∈ R ) 3 6

π

)( x ∈ R ) D. f ( x) = sin(2 x + )( x ∈ R ) 3 3


π

5.阅读下列程序,输出结果为 2 的是(

海南有成教育

1

6.在 ?ABC 中, tan A =

1 3 10 , cos B = ,则 tan C 的值是 2 10





A.-1

B.1

C. 3 D.-2

7.设 m,n 是两条不同的直线, α , β , γ 是三个不同的平面,有下列四个命题: ①若 m ? β , α ⊥ β , 则m ⊥ α ; ②若 α / / β , m ? α , 则m / / β ; ③若 n ⊥ α , n ⊥ β , m ⊥ α , 则m ⊥ β ; ④若 α ⊥ γ , β ⊥ γ , m ⊥ α , 则m ⊥ β . 其中正确命题的序号是 ( A.①③ B.①② C.③④ D.②③ 8.两个正数 a、b 的等差中项是 心率 e 等于 A. )

5 x2 y2 , 一个等比中项是 6, 且a > b, 则双曲线 2 ? 2 = 1 的离 2 a b
( ) D. 13

3 5 13 B. C. 2 3 3

9. 已知定义域为 R 的函数 f ( x ) 在区间 (4, +∞ ) 上为减函数, 且函数 y = f ( x + 4) 为偶函数, 则( )

A. f (2) > f (3) B. f (2) > f (5) C. f (3) > f (5) D. f (3) > f (6) 10.数列 {an } 中, a3 = 2, a7 = 1 ,且数列 { A. ?

1 } 是等差数列,则 a11 等于 an + 1





2 1 B. 5 2

C.

2 3

D.5

11 . 已 知 函 数 f ( x ) = ?

? x x ≤ 0, 若 f (2 ? x 2 ) > f ( x) , 则 实 数 x 的 取 值 范 围 是 ln( x + 1), x > 0. ?
B. (?∞, ?2) U (1, +∞ ) D. ( ?2,1)





A. ( ?∞, ?1) U (2, +∞) C. (?1, 2) 12.若函数 f ( x ) =

1 ax e 的图象在 x=0 处的切线 l 与圆 C : x 2 + y 2 = 1 相离,则 P (a, b) 与圆 b

C 的位置关系是( ) A.在圆外 B.在圆内 C.在圆上 D.不能确定 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
2

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二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在答题卷的相应位置上。) 13.复数 z =

25 的共轭复数 z = 3 ? 4i



14.右图为矩形,长为 5,宽为 2,在矩形内随机地撤 300 颗黄豆, 数得落在阴影部分的黄豆数为 138 颗,则我们可以估计出阴影 部分的面积为 。 15.设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y = ax( a > 0) 的焦点 F,且和 y 轴交于点 A,若 ?OAF
2

(O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为 16.下列说法:
x n x



①“ ?x ∈ R, 使2 > 3 ”的否定是“ ?x ∈ R, 使2 ≤ 3 ”; ②函数 y = sin(2 x +

π

)sin( ? 2 x) 的最小正周期是 π ; 3 6

π

③命题“函数 f ( x)在x = x0 处有极值,则 f '( x0 ) = 0 ”的否命题是真命题;
x U 则 ④ f ( x)是(-∞,0) (0,+∞)上的奇函数,x > 0 时的解析式是 f ( x) = 2 , x < 0 时

的解析式为 f ( x) = ?2 ? x. 其中正确的说法是 三、解答题。 17.(本小题 12 分) 。

在 ?ABC 中,a、b、c 分别为内角 A、B、C 的对边,且 b + c ? a = bc.
2 2 2

(1)求角 A 的大小; (2)设函数 f ( x ) = sin

x x x 2 +1 cos + cos 2 , 当f ( B ) = 时,若 a = 3 ,求 b 的值。 2 2 2 2

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3

18.(本小题 12 分) 某研究机构对高三学生的记忆力 x 和判断力 y 进行统计分析, 得下表数据 x 6 8 10 5 12 6 y 2 3 (1)请画出上表数据的散点图;

? ? ? (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y = bx + a ;
(3)试根据(II)求出的线性回归方程,预测记忆力为 9 的同学的判断力。

? (相关公式: b =

∑ x y ? nx ? y
i =1 i i

n

∑x
i =1

n

2 i

? nx

2

? ? , a = y ? bx. )

19.(本小题 12 分) 如 图 , 已知 四 棱锥 P — ABCD 的底 面 是直 角 梯 形 , ∠ABC = ∠BCD = 90° , AB=BC=2CD=2,PB=PC,侧面 PBC ⊥ 底面 ABCD,O 是 BC 的中点。 (1)求证:DC//平面 PAB; (2)求证: PO ⊥ 平面 ABCD; (3)求证: PA ⊥ BD.

20.(本小题 12 分) 设函数 f ( x ) = x 3 + ax 2 ? a 2 x + 5( a > 0). (1)当函数 f ( x ) 有两个零点时,求 a 的值; (2)若 a ∈ [3, 6], 当x ∈ [ ?4, 4] 时,求函数 f ( x ) 的最大值。

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4

21.(本小题 12 分) 已知椭圆

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 的左焦点 F (?c, 0) 是长轴的一个四等分点, A、 点 a2 b2

B 分别为椭圆的左、右顶点,过点 F 且不与 y 轴垂直的直线 l 交椭圆于 C、D 两点,记 直线 AD、BC 的斜率分别为 k1 , k 2 . (1)当点 D 到两焦点的距离之和为 4,直线 l ⊥ x 轴时,求 k1 : k 2 的值; (2)求 k1 : k 2 的值。

22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图所示,已知 PA 是⊙O 相切,A 为切点,PBC 为割线,弦 CD//AP,AD、BC 相交 于 E 点,F 为 CE 上一点,且 DE = EF ? EC .
2

(1)求证:A、P、D、F 四点共圆; (2)若 AE·ED=24,DE=EB=4,求 PA 的长。

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5

参考答案 一、选择题 CBBBA ADCDB DB 二、 填空题 13. 3 ? 4i 三、 14. 4.6 15. y = 8 x
2

16.①④

解答题

b2 + c2 ? a2 1 17. (Ⅰ)解:在 ?ABC 中,由余弦定理知 cos A = = , 2bc 2
注意到在 ?ABC 中, 0 < A < π ,所以 A = (Ⅱ)解: f ( x ) = sin

π
为所求. ┄┄┄┄┄┄4 分

3

x x x 1 1 1 2 π 1 cos + cos 2 = sin x + cos x + = sin( x + ) + , 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 +1 π 得 sin( B + ) = 1 ,┄┄┄┄┄8 分 2 4

由 f ( B) =

2 π 1 sin( B + ) + = 2 4 2

注意到 0 < B <

2 π π 11π π π, < B + < ,所以 B = , 3 4 4 12 4 a sin B 由正弦定理, b = = 2 , sin A

所以 b =

2 为所求.

┄┄┄┄┄┄12 分

18. (Ⅰ)如右图:

┄┄┄┄┄┄┄┄3 分

(Ⅱ)解:

i =1

∑ x i y i =6 × 2+8 × 3+10 × 5+12 × 6=158,

n

x=
n

6 + 8 + 10 + 12 2 +3+ 5+ 6 =9, y= = 4, 4 4
2

∑ xi
i =1

= 6 2 + 82 + 10 2 + 122 = 344 ,

? 158 ? 4 × 9 × 4 = 14 = 0.7 , a = y ? bx = 4 ? 0.7 × 9 = ?2.3 , ? ? b= 2 344 ? 4 × 9 20
故线性回归方程为 y = 0.7 x ? 2.3 .
海南有成教育 6

┄┄┄┄┄┄┄┄10 分

(Ⅲ)解:由回归直线方程预测,记忆力为 9 的同学的判断力约为 4. ┄┄┄┄12 分 19. (Ⅰ)证明:由题意, AB / / CD , CD ? 平面 PAB , AB ? 平面 PAB ,所以 DC / / 平面 PAB .┄┄4 分 (Ⅱ) 证明: 因为 PB = PC ,O 是 BC 的中点, 所以 PO ⊥ BC , 又侧面 PBC⊥底面 ABCD, PO ? 平面 PBC , 面 PBC ∩ 底面 ABCD = BC , 所以 PO ⊥ 平面 ABCD . ┄┄┄┄┄┄8 分 (Ⅲ)证明:因为 BD ? 平面 ABCD ,由⑵知 PO ⊥ BD , 在 Rt ?ABO 和 Rt ?BCD 中,

AB = BC = 2 , BO = CD = 1 , ∠ABO = ∠BCD = 90o ,
所以 ?ABO ? ?BCD ,故 ∠BAO = ∠CBD , 即 ∠BAO + ∠DBA = ∠CBD + ∠DBA = 90 ,
o

所以 BD ⊥ AO ,又 AO ∩ PO = O , 所以 BD ⊥ 平面 PAO ,故 PA ⊥ BD .
2 2 20. (Ⅰ)解: f ′( x ) = 3 x + 2ax ? a = 3( x ?

┄┄┄┄┄┄12 分

a )( x + a )(a > 0) , 3 a a 由 f ′( x ) > 0 得 x < ? a ,或 x > ,由 f ′( x ) < 0 得 ? a < x < , 3 3 a a 所以函数 f ( x ) 的增区间为 ( ?∞, ?a ), ( , +∞) ,减区间为 ( ?a, ) , 3 3

即当 x = ? a 时,函数取极大值 f ( ? a ) = a 3 + 5 , 当x =

a a 5 3 时,函数取极小值 f ( ) = ? a +5, ┄┄┄┄3 分 3 3 27 a 3 3 又 f ( ?2a ) = ?2a + 5 < f ( ), f (2a ) = 10a + 5 > f ( ? a ) , 3 a 所以函数 f ( x) 有两个零点,当且仅当 f ( ? a ) = 0 或 f ( ) = 0 , 3 a 5 3 注意到 a > 0 ,所以 f ( ) = ? a + 5 = 0 ,即 a = 3 为所求.┄┄┄┄6 分 3 27 a (Ⅱ)解:由题知 ? a ∈ [ ?6, ?3], ∈ [1, 2] , 3 当 ? a ≤ ?4 即 4 ≤ a ≤ 6 时, a a 函数 f ( x) 在 [ ?4, ) 上单调递减,在 ( , 4] 上单调递增, 3 3
注意到 f ( ?4) ? f (4) = 8( a 2 ? 16) ≥ 0 , 所以 f ( x ) max = f ( ?4) = 4a + 16a ? 59 ;
2

┄┄┄┄9 分

当 ? a > ?4 即 3 ≤ a < 4 时, 函数 f ( x ) 在 [ ?4, ? a ) 上单调增,在 ( ?a, ) 上单调减,在 ( , 4] 上单调增,

a 3

a 3

海南有成教育

7

注意到 f ( ? a ) ? f (4) = a + 4a ? 16a ? 64 = ( a + 4) ( a ? 4) < 0 ,
3 2 2

所以 f ( x ) max = f (4) = ?4a + 16a + 69 ;
2

综上, f ( x ) max

?4a 2 + 16a ? 59, 4 ≤ a ≤ 6, ? =? 2 ??4a + 16a + 69, 3 ≤ a < 4. ?

┄┄┄┄12 分

21. (Ⅰ)解:由题意椭圆的离心率 e =

c 1 = , 2a = 4 ,所以 a = 2, c = 1, b = 3 , a 2
┄┄┄┄┄┄3 分

x2 y 2 故椭圆方程为 + = 1, 4 3
则直线 l : x = ?1 , A( ?2, 0), B (2, 0) ,

故 C ( ?1, ), D ( ?1, ? ) 或 C ( ?1, ? ), D ( ?1, ) ,

3 2

3 2

3 2

3 2

3 3 3 2 = ? ,k = 2 = ? 1 , 当点 C 在 x 轴上方时, k1 = 2 ?1 + 2 2 ?1 ? 2 2 ?
所以 k1 : k 2 = 3 , 当点 C 在 x 轴下方时,同理可求得 k1 : k 2 = 3 , 综上, k1 : k 2 = 3 为所求. (Ⅱ)解:因为 e = ┄┄┄┄┄┄6 分

1 ,所以 a = 2c , b = 3c , 2

椭圆方程为 3 x 2 + 4 y 2 = 12c 2 , A( ?2c, 0), B (2c, 0) ,直线 l : x = my ? c , 设 C ( x1 , y1 ), D ( x2 , y2 ) , 由?

?3x 2 + 4 y 2 = 12c 2 , 消 x 得, (4 + 3m 2 ) y 2 ? 6mcy ? 9c 2 = 0 , x = my ? c, ?

? 6mc ? ? 6mc + ? 6mc + = , ? y1 + y2 = 2 2 2(4 + 3m ) 2(4 + 3m ) 4 + 3m 2 ? 所以 ? ┄┄┄┄┄┄8 分 2 ? y ? y = 6mc ? ? ? 6mc + ? = ? 9c , ? 1 2 2(4 + 3m 2 ) 2(4 + 3m2 ) 4 + 3m 2 ? 8c ? ? x1 + x2 = m( y1 + y2 ) ? 2c = ? 3m 2 + 4 , ? 故? 2 2 2 ? x ? x = m 2 y y ? mc( y + y ) + c 2 = 4c ? 12m c , 1 2 1 2 ? 1 2 3m 2 + 4 ?



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8



k1 y2 ( x1 ? 2c) 3 3(2c ? x)(2c + x) 2 2 2 = ,及 y = (4c ? x ) = ,┄┄9 分 k2 y1 ( x2 + 2c) 4 4

k12 y2 2 ( x1 ? 2c) 2 (2c ? x1 )(2c ? x2 ) 4c 2 ? 2c( x1 + x2 ) + x1 x2 得 2 = 2 = = , k2 y1 ( x2 + 2c) 2 (2c + x1 )(2c + x2 ) 4c 2 + 2c( x1 + x2 ) + x1 x2
16c 2 4c 2 ? 12m2 c 2 + 36c 2 3m2 + 4 3m 2 + 4 = = = 9 ,┄┄10 分 16c 2 4c 2 ? 12m2 c 2 4c 2 2 4c ? 2 + 3m + 4 3m2 + 4 4c 2 +

将①代入上式得

k k

2 1 2 2

注意到,得

k1 y2 ( x1 ? 2c) = > 0 ,┄┄11 分 k2 y1 ( x2 + 2c)
┄┄┄┄┄┄12 分

所以 k1 : k 2 = 3 为所求.
2

22. (Ⅰ)证明:Q DE = EF ? EC ,∴

又 ∠DEF = ∠CED , ∴ ?DEF ? ?CED , ∠EDF = ∠ECD , 又Q CD / / PA,∴∠ECD = ∠P

DE EF = , CE ED

故 ∠P = ∠EDF ,所以 A, P, D, F 四点共圆.┄┄┄┄5 分 (Ⅱ)解:由(Ⅰ)及相交弦定理得 PE ? EF = AE ? ED = 24 , 又 BE ? EC = AE ? ED = 24 ,

∴ EC = 6, EF =

DE 2 8 = , PE = 9, PB = 5, PC = PB + BE + EC = 15 , EC 3
2

由切割线定理得 PA = PB ? PC = 5 × 15 = 75 , 所以 PA = 5 3 为所求. ┄┄┄┄10 分

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9


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