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2016届重庆市高考适应性数学试卷(文科)(解析版)


2016 届重庆市高考适应性数学试卷(文科) (解析版)

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.设集合 A={0,1,2},B={x∈R|(x+1)(x+2)<0},则 A∩B 中元素的个数为( A.0 B.1 C .2 D.3 ) )

2.已知(1﹣i)z=2+i,则 z 的共轭复数 =( A. + i B. ﹣ i C. + i

D. ﹣ i )

3.在数列{an}中,an+1﹣an=2,a2=5,则{an}的前 4 项和为( A.9 B.22 C.24 D.32

4.已知非零向量 , 的夹角为 A. B.1 C. D.2

,且| |=1,| ﹣2 |=1,则| |=(



5.为了判定两个分类变量 X 和 Y 是否有关系,应用 K2 独立性检验法算得 K2 的观测值为 5,又已知 P (K2≥3.841)=0.05,P(K2≥6.635)=0.01,则下列说法正确的是( A.有 95%的把握认为“X 和 Y 有关系” B.有 95%的把握认为“X 和 Y 没有关系” C.有 99%的把握认为“X 和 Y 有关系” D.有 99%的把握认为“X 和 Y 没有关系” 6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) )

A.

B.

C.

D. )

7.已知圆 C: (x﹣1)2+(y﹣2)2=2 截 y 轴所得线段与截直线 y=2x+b 所得线段的长度相等,则 b=( A. B.± C. D.± )

8.执行如图所示的程序框图,则输出的 s 的值为(

A.﹣7 B.﹣5 C.2

D.9 为 a1,a3 的等差中项,则 a7+a8+a9=( )

9.设等比数列{an}的前 6 项和 S6=6,且 1﹣ A.﹣2 B.8 C.10 D.14

10.设 x0 为函数 f(x)=sinπx 的零点,且满足|x0|+|f(x0+ )|<33,则这样的零点有( A.61 个B.63 个 C.65 个 D.67 个



11.已知三棱锥 P﹣ABC 的所有顶点都在半径为 1 的球 O 的球面上,△ABC 是边长为 1 的正三角形,PC 为球 O 的直径,则该三棱锥的底面 ABC 上的高为( A. B. C. D. ) )

12.设曲线 y=f(x)与曲线 y=x2+a(x>0)关于直线 y=﹣x 对称,且 f(﹣2)=2f(﹣1),则 a=( A.0 B. C. D.1

二、填空题 13.若 f(x)=2x+a?2﹣x 为奇函数,则 a= .

14.若 x,y 满足约束条件

,则 z=x+3y 的最大值为



15. 若以 F1 (﹣

0) F2 , , (

0) 1) , 为焦点的双曲线过点 (2, , 则该双曲线的标准方程为



16.若 f(x)=x3﹣3x+m 有且只有一个零点,则实数 m 的取值范围是



三、解答题(共 5 小题,满分 60 分) 17.在锐角△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,且 cos(B+C)=﹣ (1)求 A; (2)设 a=7,b=5,求△ABC 的面积. 18.从甲、乙两部分中各任选 10 名员工进行职业技能测试,测试成绩(单位:分)数据的茎叶图如图 1 所示. sin2A.

(Ⅰ)分别求出甲、乙两组数据的中位数,并比较两组数据的分散程度(只需给出结论); (Ⅱ)甲组数据频率分别直方图如图 2 所示,求 a,b,c 的值; (Ⅲ)从甲、乙两组数据中各任取一个,求所取两数之差的绝对值大于 20 的概率. 19.如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,PD⊥底面 ABCD,AB∥CD,∠BAD= 一点,MC=2PM. (Ⅰ)证明:BM∥平面 PAD; (Ⅱ)若 AD=2,PD=3,求点 D 到平面 PBC 的距离. ,AB=1,CD=3,M 为 PC 上

20.如图,F 是椭圆

+

=1(a>b>0)的右焦点,O 是坐标原点,|OF|=

,过 F 作 OF 的垂线交椭圆

于 P0,Q0 两点,△OP0Q0 的面积为 (1)求该椭圆的标准方程;



(2)若过点 M(﹣

,0)的直线 l 与上、下半椭圆分别交于点 P,Q,且|PM|=2|MQ|,求直线 l 的方程.

21.设 f(x)=(ax+b)e﹣2x,曲线 y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程为 x+y﹣1=0. (Ⅰ)求 a,b; (Ⅱ)设 g(x)=f(x)+xlnx,证明:当 0<x<1 时,2e﹣2﹣e﹣1<g(x)<1.

请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答,如果多选,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号。[选修 4--1:几何证明选讲] 22.如图,圆 O 为△ABC 的外接圆,D 为 (Ⅰ)证明:AD2=DE?DB; (Ⅱ)若 AD∥BC,DE=2EB,AD= ,求圆 O 的半径. 的中点,BD 交 AC 于 E.

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 正半轴为极轴的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 ρsin( (α 为参数),在以坐标原点为极点,x 轴 )=2 .

(Ⅰ)分别将曲线 C 的参数方程和直线 l 的极坐标方程转化为直角坐标系下的普通方程; (Ⅱ)动点 A 在曲线 C 上,动点 B 在直线 l 上,定点 P 的坐标为(﹣2,2),求|PB|+|AB|的最小值.

[选修 4-5:不等式选讲] 24.设 a、b、c∈R+,且 a+b+c=1. (Ⅰ)求证:2ab+bc+ca+ ;

(Ⅱ)求证:



2016 年重庆市高考适应性数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.设集合 A={0,1,2},B={x∈R|(x+1)(x+2)<0},则 A∩B 中元素的个数为( A.0 B.1 C .2 D.3 )

【考点】交集及其运算. 【专题】计算题;定义法;集合. 【分析】求出 B 中不等式的解集确定出 B,找出 A 与 B 的交集,确定出交集中元素个数即可. 【解答】解:由 B 中不等式解得:﹣2<x<﹣1,即 B={x∈R|﹣2<x<﹣1}, ∵A={0,1,2}, ∴A∩B=?, 则 A∩B 中元素的个数为 0, 故选:A. 【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

2.已知(1﹣i)z=2+i,则 z 的共轭复数 =( A. + i B. ﹣ i C. + i



D. ﹣ i

【考点】复数代数形式的乘除运算. 【专题】计算题;规律型;转化思想;数系的扩充和复数. 【分析】利用复数的代数形式混合运算,已经复数的除法运算法则化简求解即可. 【解答】解:(1﹣i)z=2+i, 可得 z= = . = .

z 的共轭复数 = 故选:B.

【点评】本题考查复数的代数形式混合运算,考查计算能力.

3.在数列{an}中,an+1﹣an=2,a2=5,则{an}的前 4 项和为( A.9 B.22 C.24 D.32



【考点】等差数列的性质;等差数列的前 n 项和. 【专题】计算题;规律型;等差数列与等比数列. 【分析】由等差数列的定义求出公差,利用等差数列的性质求和即可. 【解答】解:由等差数列的性质可得 an+1﹣an=2,可得 d=2, ∴数列{an}的前 4 项之和 S4=2(5+7)=24. 故选:C. 【点评】本题考查等差数列的求和公式和性质,属基础题.

4.已知非零向量 , 的夹角为 A. B.1 C. D.2

,且| |=1,| ﹣2 |=1,则| |=(



【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】计算题;转化思想;向量法;平面向量及应用. 【分析】直接利用向量的数量积,化简求解即可. 【解答】解:非零向量 , 的夹角为 ∴
2

,且| |=1,| ﹣2 |=1, =1+4| |2﹣2| |=1,

+4

2

﹣4 ? =1+4| |2﹣4| |?| |cos

解得| |= , 故选:A. 【点评】本题考查向量的模的求法,数量积的应用,考查计算能力.

5.为了判定两个分类变量 X 和 Y 是否有关系,应用 K2 独立性检验法算得 K2 的观测值为 5,又已知 P (K2≥3.841)=0.05,P(K2≥6.635)=0.01,则下列说法正确的是( A.有 95%的把握认为“X 和 Y 有关系” B.有 95%的把握认为“X 和 Y 没有关系” C.有 99%的把握认为“X 和 Y 有关系” D.有 99%的把握认为“X 和 Y 没有关系” 【考点】变量间的相关关系. 【专题】对应思想;数学模型法;概率与统计. 【分析】根据所给的观测值,与所给的临界值表中的数据进行比较,即可得出正确的结论是什么. 【解答】分析:解答:解:∵K2=5>3.481, )

而在观测值表中对应于 3.841 的是 0.05, ∴有 1﹣0.05=95%的把握认为“X 和 Y 有关系”. 故选:A. 【点评】本题考查了独立性检验的应用问题,是基础题,这种题目出现的机会比较小,一旦出现,应是得 分的题目.

6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(



A.

B.

C.

D.

【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】计算题;数形结合;数形结合法;空间位置关系与距离. 【分析】几何体为同底的三棱柱和三棱锥的组合体,代入体积公式计算即可求出体积. 【解答】解:由三视图可知几何体为直三棱柱和三棱锥的组合体,直棱柱的底面为直角三角形,直角边为 1,2,棱柱的高为 1,三棱锥的底面与棱柱的底面相同,棱锥的高为 1. ∴几何体的体积 V= 故选 B. 【点评】本题考查了常见几何体的三视图和结构特征,体积计算,属于基础题. + =1+ = .

7.已知圆 C: (x﹣1)2+(y﹣2)2=2 截 y 轴所得线段与截直线 y=2x+b 所得线段的长度相等,则 b=( A. B.± C. D.±



【考点】直线与圆相交的性质. 【专题】转化思想;综合法;直线与圆. 【分析】由题意可得圆 C 截直线 y=2x+b 所得线段的长为 2,圆心 C(1,2)到直线 y=2x+b 的距离为 1, 即 =1,由此求得 b 的值.

【解答】解:令 x=0,求得圆 C:(x﹣1)2+(y﹣2)2=2 求得 y=1,或 y=3, 可得圆截 y 轴所得线段长为 2,故圆 C(x﹣1)2+(y﹣2)2=2 截直线 y=2x+b 所得线段的长为 2,

故圆心 C(1,2)到直线 y=2x+b 的距离为 1,即 故选:D.

=1,∴b=±



【点评】本题主要考查直线和圆相交的性质,点到直线的距离公式、弦长公式的应用,属于中档题.

8.执行如图所示的程序框图,则输出的 s 的值为(



A.﹣7 B.﹣5 C.2 【考点】程序框图.

D.9

【专题】计算题;图表型;数学模型法;算法和程序框图. 【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 S,k 的值,当 k=2 时,根据题意,此时应该满足 条件 k≥2,退出循环,输出 S 的值为﹣7,从而得解. 【解答】解:模拟执行程序框图,可得 k=﹣4,s=﹣1 满足条件 k<0,s=4,k=﹣2 满足条件 k<0,s=﹣8,k=0 不满足条件 k<0,s=﹣8,k=1 不满足条件 k≥2,s=﹣7,k=2 满足条件 k≥2,退出循环,

输出 s 的值为﹣7. 故选:A. 【点评】本题主要考查了循环结构,根据 k 的值正确判断退出循环的条件是解题的关键,属于基础题.

9.设等比数列{an}的前 6 项和 S6=6,且 1﹣ A.﹣2 B.8 C.10 D.14

为 a1,a3 的等差中项,则 a7+a8+a9=(



【考点】等比数列的通项公式. 【专题】转化思想;综合法;等差数列与等比数列. 【分析】1﹣ 为 a1,a3 的等差中项,可得 2(1﹣ ,又前 6 项和 S6=6,可得 为 a1,a3 的等差中项, )=a1+a3,设等比数列{an}的公比为 q,则 q≠1.2(1 =6,联立解得:q3=2.即可得出.



)=a1+

【解答】解:∵1﹣ ∴2(1﹣

)=a1+a3,

设等比数列{an}的公比为 q,则 q≠1. ∴2(1﹣ )=a1+ ,

又前 6 项和 S6=6,∴ 联立解得:q3=2. ∴a1=2(q﹣1). ∴a7+a8+a9= 故选:B.

=6,

22(2﹣1)=8. (1+q+q2)=2(q﹣1)q6(1+q+q2)=2q6(q3﹣1)=2×

【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式,考查了推理能力与计算能力,属 于中档题.

10.设 x0 为函数 f(x)=sinπx 的零点,且满足|x0|+|f(x0+ )|<33,则这样的零点有( A.61 个B.63 个 C.65 个 D.67 个 【考点】函数零点的判定定理. 【专题】计算题;函数思想;综合法;函数的性质及应用.



1,代入条件式得|k|<32. 【分析】令 f(x0)=0 得 x0=k,由 f(x)的周期为 2 可得 f(x0+ )=± 【解答】解:f(x)的周期 T= ∴|f(x0+ )|=1, ∴|k|<32.∴符合条件的 k 共有 63 个. 故选 B. 【点评】本题考查了正弦函数的性质,零点的定义,属于基础题. =2,∵设 x0 为函数 f(x)=sinπx 的零点,∴x0=k(k∈Z),f(x0)=0,

11.已知三棱锥 P﹣ABC 的所有顶点都在半径为 1 的球 O 的球面上,△ABC 是边长为 1 的正三角形,PC 为球 O 的直径,则该三棱锥的底面 ABC 上的高为( A. B. C. D. )

【考点】球内接多面体. 【专题】综合题;方程思想;综合法;立体几何. 【分析】根据题意,利用截面圆的性质即可求出点 O 到平面 ABC 的距离,进而求出点 P 到平面 ABC 的距 离. 【解答】解:因为△ABC 是边长为 1 的正三角形,所以△ABC 外接圆的半径 r= 所以点 O 到平面 ABC 的距离 d= , , ,

PC 为球 O 的直径,点 P 到平面 ABC 的距离为 2d= 故选:D.

【点评】本题考查三棱锥的底面 ABC 上的高,考查学生的计算能力,求出点 O 到平面 ABC 的距离,进而 求出点 P 到平面 ABC 的距离是关键.

12.设曲线 y=f(x)与曲线 y=x2+a(x>0)关于直线 y=﹣x 对称,且 f(﹣2)=2f(﹣1),则 a=( A.0 B. C. D.1



【考点】函数的值. 【专题】计算题;转化思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】由对称性质得 f(x)= ,由此根据 f(﹣2)=2f(﹣1),能求出 a.

【解答】解:∵曲线 y=f(x)与曲线 y=x2+a(x>0)关于直线 y=﹣x 对称, ∴f(x)= ,

∵f(﹣2)=2f(﹣1), ∴ 解得 a= . 故选:C. 【点评】本题考查实数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意函数性质的合理运用. ,

二、填空题 13.若 f(x)=2x+a?2﹣x 为奇函数,则 a= ﹣1 . 【考点】函数奇偶性的性质. 【专题】计算题. 【分析】根据题意,由 f(x)为奇函数,可得 f(﹣x)=﹣f(x)恒成立,对其变形可得(a+1)(2x+2﹣x) =0 恒成立,分析可得必有 a+1=0,即可得答案. 【解答】解:对于 f(x)=2x+a?2﹣x,易得其定义域为 R,关于原点对称, 若 f(x)=2x+a?2﹣x 为奇函数,则必有 f(﹣x)=﹣f(x)恒成立, 即 2﹣x+a?2x=﹣(2x+a?2﹣x)恒成立, 变形可得(a+1)(2x+2﹣x)=0 恒成立, 则必有 a+1=0,即 a=﹣1, 故答案为﹣1. 【点评】本题考查函数奇偶性的性质,注意奇偶性针对定义域中任意的变量,即 f(﹣x)=﹣f(x)或 f(﹣ x)=f(x)在定义域中恒成立.

14.若 x,y 满足约束条件

,则 z=x+3y 的最大值为 4



【考点】简单线性规划. 【专题】数形结合;综合法;不等式. 【分析】先画出满足条件的平面区域,求出 A 的坐标,结合图象求出 z 的最大值即可.

【解答】解:画出满足约束条件

的平面区域,如图示:



,解得 A(1,1)

而 z=x+3y 可化为 y=﹣ x+ , 由图象得直线过 A(1,1)时 z 最大,z 的最大值是 4, 故答案为:4. 【点评】本题考察了简单的线性规划问题,考察数形结合思想,是一道中档题.

15.若以 F1(﹣ =1 .

,0),F2(

,0)为焦点的双曲线过点(2,1),则该双曲线的标准方程为

【考点】双曲线的标准方程. 【专题】计算题;转化思想;待定系数法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】设双曲线方程为 【解答】解:∵以 F1(﹣ ∴设双曲线方程为 ,0),F2( ,a>0, ,a>0,把(2,1)代入,能求出该双曲线的标准方程. ,0)为焦点的双曲线过点(2,1),

把(2,1)代入,得: 解得 a2=2,或 a2=6(舍), ∴该双曲线的标准方程为 故答案为: =1. =1.

,a>0,

【点评】本题考查双曲线标准方程的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意双曲线性质的合理运用.

16.若 f(x)=x3﹣3x+m 有且只有一个零点,则实数 m 的取值范围是 (﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) . 【考点】函数零点的判定定理. 【专题】函数思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】求出 f(x)的极值,令极大值小于零或极小值大于零即可. 1. 【解答】解:f′(x)=3x2﹣3,令 f′(x)=0 得 x=± 当 x<﹣1 或 x>1 时,f′(x)>0,当﹣1<x<1 时,f′(x)<0, ∴当 x=﹣1 时,f(x)取得极大值 f(﹣1)=2+m,当 x=1 时,f(x)取得极小值 f(1)=﹣2+m. ∵f(x)=x3﹣3x+m 有且只有一个零点, ∴2+m<0 或﹣2+m>0,解得 m<﹣2 或 m>2. 故答案为(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞). 【点评】本题考查了函数的单调性与极值,函数的零点个数判断,属于中档题.

三、解答题(共 5 小题,满分 60 分) 17.在锐角△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,且 cos(B+C)=﹣ (1)求 A; (2)设 a=7,b=5,求△ABC 的面积. 【考点】正弦定理;三角函数中的恒等变换应用. 【专题】函数思想;综合法;解三角形. 【分析】(1)由已知式子可得 sinA,由锐角三角形可得; (2)由正弦定理可得 sinB,进而可得 cosB,再由和差角的三角函数可得 sinC,代入面积公式可得. 【解答】解:(1)∵在锐角△ABC 中 cos(B+C)=﹣ ∴﹣cosA=﹣ ∴sinA= ?2sinAcosA, ; = , sin2A, sin2A.

,A=

(2)由正弦定理可得 sinB= ∴cosB= = ,

∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB = + = ,

7× 5× ∴△ABC 的面积 S= absinC= ×

=10

【点评】本题考查正弦定理,涉及三角形的面积公式以及和差角的三角函数公式,属中档题.

18.从甲、乙两部分中各任选 10 名员工进行职业技能测试,测试成绩(单位:分)数据的茎叶图如图 1 所示.

(Ⅰ)分别求出甲、乙两组数据的中位数,并比较两组数据的分散程度(只需给出结论); (Ⅱ)甲组数据频率分别直方图如图 2 所示,求 a,b,c 的值; (Ⅲ)从甲、乙两组数据中各任取一个,求所取两数之差的绝对值大于 20 的概率. 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;频率分布直方图;茎叶图. 【专题】计算题;转化思想;综合法;概率与统计. 【分析】(Ⅰ)由茎叶图能求出甲、乙两组数据的中位数,由茎叶图得到甲组数据比乙组数据更集中. (Ⅱ)由茎叶图分别示求出甲组数据在[60,70)、[70,80)、[80,90)和[90,100)间的频数,再由频 率分布直方图能求出 a,b,c. (Ⅲ)从甲、乙两组数据中各任取一个,求出基本事件总数,列举出所取两数之差的绝对值大于 20 包含的 基本事件个数,由此能求出所取两数之差的绝对值大于 20 的概率. 【解答】解:(Ⅰ)由茎叶图得甲两组数据的中位数为: 乙两组数据的中位数为: =78.5, =78.5,

由茎叶图得到甲组数据比乙组数据更集中. (Ⅱ)由茎叶图得甲组数据在[60,70)间的频率为 1, 在[70,80)间的频数为 5,在[80,90)和[90,100)间的频数都是 2, ∴由频率分布直方图得 a= × =0.01,b= =0.01,c= =0.02.

10=100, (Ⅲ)从甲、乙两组数据中各任取一个,基本事件总数 n=10× 所取两数之差的绝对值大于 20 包含的基本事件有:(63,85),(63,86),(63,94),(63,97), (72,94),(72,97),

(74,97),(76,97),(68,91),(68,91),(68,96),(68,96),(69,91),(69,96), (73,96),(75,96), 共 16 个, ∴所取两数之差的绝对值大于 20 的概率 p= .

【点评】本题考查茎叶图和频率分布直方图的应用,考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注 意列举法的合理运用.

19.如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,PD⊥底面 ABCD,AB∥CD,∠BAD= 一点,MC=2PM. (Ⅰ)证明:BM∥平面 PAD; (Ⅱ)若 AD=2,PD=3,求点 D 到平面 PBC 的距离.

,AB=1,CD=3,M 为 PC 上

【考点】点、线、面间的距离计算;直线与平面平行的判定. 【专题】证明题;转化思想;综合法;空间位置关系与距离. 【分析】(1)过 M 作 MO⊥CD,交 CD 于 O,连结 BO,推导出 MO∥PD,AD∥BO,由此能证明 BM∥ 平面 PAD. (2)以 D 为原点,DB 为 x 轴,DC 为 y 轴,DP 为 z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出点 D 到平面 PBC 的距离. 【解答】证明:(1)过 M 作 MO⊥CD,交 CD 于 O,连结 BO, PD⊥底面 ABCD, AB∥CD, ∵四棱锥 P﹣ABCD 中, ∠BAD= ∴MO∥PD,OD= ,∴OD AB,∴AD∥BO, AB=1, CD=3, M 为 PC 上一点, MC=2PM, ,

∵AD∩PD=D,BO∩MO=O,AD、PD?平面 ADP,BO、MO?平面 BOM, ∴平面 ADP∥平面 BOM, ∵BM?平面 BOM,∴BM∥平面 PAD. 解:(2)∵AD=2,PD=3,AB∥CD,∠BAD= ,AB=1,CD=3,

∴BD=

=

,∴BD2+AB2=AD2,

以 D 为原点,DB 为 x 轴,DC 为 y 轴,DP 为 z 轴, 建立空间直角坐标系, B( =( ,1,0),P(0,0,3),C(0,3,0),D(0,0,0), ), =( ), =(0,3,﹣3),

设平面 PBC 的法向量 =(x,y,z), 则 ,取 x=2 ,得 =(2 ,3,3),

∴点 D 到平面 PBC 的距离 d=

=

=



【点评】本题考查线面平行的证明,考查点到平面的距离的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向 量法的合理运用.

20.如图,F 是椭圆

+

=1(a>b>0)的右焦点,O 是坐标原点,|OF|=

,过 F 作 OF 的垂线交椭圆

于 P0,Q0 两点,△OP0Q0 的面积为 (1)求该椭圆的标准方程; (2)若过点 M(﹣



,0)的直线 l 与上、下半椭圆分别交于点 P,Q,且|PM|=2|MQ|,求直线 l 的方程.

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的简单性质. 【专题】综合题;方程思想;分析法;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】(1)由题意可得 c= 进而得到椭圆方程; (2)设过点 M(﹣ 得 =2 ,0)的直线 l:x=my﹣ ,代入椭圆方程,运用韦达定理,再由|PM|=2|MQ|,可 ,再由弦长 ,运用直角三角形的面积公式,解方程可得 a=3,b=2,

,运用向量共线的坐标表示,解方程可得直线方程. , =± ,

【解答】解:(1)由题意可得 c= b 将 x=c 代入椭圆方程可得 y=±

即有△OP0Q0 的面积为 |PQ|?c= 即 = ,且 a2﹣b2=5,



解得 a=3,b=2, 即有椭圆方程为 + =1; ,0)的直线 l:x=my﹣ my﹣16=0, ,代入椭圆方程,

(2)设过点 M(﹣ 可得(4m2+9)y2﹣8

设 P(x1,y1),Q(x2,y2), y1+y2= ,y1y2=﹣ =2 , ,

由|PM|=2|MQ|,可得

即有﹣y1=2y2,代入韦达定理可得, m2= ,可得 m=± , 故所求直线方程为 2x+y+2 =0 或 2x﹣y+2 =0.

【点评】本题考查椭圆的方程的求法,注意运用过焦点的弦长公式,考查直线方程和椭圆方程联立,运用 韦达定理,以及向量共线的坐标表示,考查运算能力,属于中档题.

21.设 f(x)=(ax+b)e﹣2x,曲线 y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程为 x+y﹣1=0. (Ⅰ)求 a,b; (Ⅱ)设 g(x)=f(x)+xlnx,证明:当 0<x<1 时,2e﹣2﹣e﹣1<g(x)<1. 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程.

【专题】转化思想;综合法;导数的概念及应用;不等式的解法及应用. 【分析】(Ⅰ)求出 f(x)的导数,由切线的方程可得 f(0)=1,f′(0)=﹣1,解方程可得 a=b=1; (Ⅱ)g(x)=f(x)+xlnx=(x+1)e﹣2x,由 h(x)=xlnx,求得导数,求出单调区间,可得最小值;再由 f(x)的单调性可得 f(x)的范围,结合 x 趋向于 0,可得 g(x)<1,即可得证. 【解答】解:(Ⅰ)f(x)=(ax+b)e﹣2x 的导数为 f′(x)=(a﹣2b﹣2ax)e﹣2x, 由在(0,f(0))处的切线方程为 x+y﹣1=0, 可得 f(0)=1,f′(0)=﹣1,即为 b=1,a﹣2b=﹣1, 解得 a=b=1; (Ⅱ)证明:g(x)=f(x)+xlnx=(x+1)e﹣2x, 由 h(x)=xlnx 的导数为 y′=1+lnx, 当 x> 时,h′(x)>0,函数 h(x)递增; 当 0<x< 时,h′(x)<0,函数 h(x)递减. 即有 x= 处取得最小值,且为﹣e﹣1; f(x)的导数为(﹣1﹣2x)e﹣2x, 当 0<x<1 时,f′(x)<0,f(x)递减, 可得 f(x)>f(1)=2e﹣2; 则 g(x)>2e﹣2﹣e﹣1; 由 x→0 时,g(x)→1, 则有 g(x)<1, 综上可得,当 0<x<1 时,2e﹣2﹣e﹣1<g(x)<1. 【点评】本题考查导数的运用:求切线的斜率和单调区间、极值和最值,考查不等式的证明,注意运用函 数的最值的性质和极限的思想,属于中档题.

请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答,如果多选,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号。[选修 4--1:几何证明选讲] 22.如图,圆 O 为△ABC 的外接圆,D 为 (Ⅰ)证明:AD2=DE?DB; (Ⅱ)若 AD∥BC,DE=2EB,AD= ,求圆 O 的半径. 的中点,BD 交 AC 于 E.

【考点】与圆有关的比例线段. 【专题】证明题;选作题;转化思想;综合法;推理和证明. 【分析】(Ⅰ)连接 OD,OC,推导出△BAD∽△AED,由此能证明 AD2=DE?DB. (2)设⊙O 的半径为 r,推导出△BEC∽△AED,从而求出 BE=CE=1,DE=AE=2,由此能求出圆半径. 【解答】证明:(Ⅰ)连接 OD,OC, ∵D 是弧 AC 的中点,∴∠ABD=∠CBD ∵∠ABD=∠ECD∴∠CBD=∠ECD ∵∠BDA=∠EDA∴△BAD∽△AED ∴ ,

∴AD2=DE?DB. 解:(2)∵D 是弧 AC 的中点,∴OD⊥AC, ∵AD∥BC,DE=2EB,AD= ,△BEC∽△AED,∴BC= ,

∴∠ACB=∠DAC,∠BDC=∠ADB, ∵∠ADB=∠ACB,∠DAC=∠DBC,∴BE=CE,AE=DE, 延长 DO 交 AC 于 F,交圆于 G, 设 BE=x,则 DE=2x, ∵AD2=DE?DB,∴6=2x?3x,解得 BE=CE=1,DE=AE=2, ∴AF=CF= ,DF= 设圆半径为 r,则 OC=r, ∴r2=( ∴圆半径为 ﹣r)2+( )2,解得 r= . . = ,

【点评】本题考查 AD2=DE?DB 的证明,考查圆的半径的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意垂径 定理、相交弦定理的合理运用.

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 正半轴为极轴的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 ρsin( (α 为参数),在以坐标原点为极点,x 轴 )=2 .

(Ⅰ)分别将曲线 C 的参数方程和直线 l 的极坐标方程转化为直角坐标系下的普通方程; (Ⅱ)动点 A 在曲线 C 上,动点 B 在直线 l 上,定点 P 的坐标为(﹣2,2),求|PB|+|AB|的最小值. 【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程. 【专题】对应思想;综合法;坐标系和参数方程. 【分析】(1)消参数,根据 cos2α+cos2α=1 得出曲线 C 的普通方程,利用极坐标与直角坐标的对应关系得 到直线 l 的普通方程; (2)求出 P 关于直线 l 的对称点 P′,则|PB|+|AB|的最小值为 P′到圆心的距离减去曲线 C 的半径. 【解答】解:(1)∵ ,∴ ,∴(x﹣1)2+y2=1.

∴曲线 C 的普通方程是:(x﹣1)2+y2=1. ∵ρsin( )=2 ,∴ ρsinθ+ ρcosθ=2 ,即 ρsinθ+ρcosθ=4.

∴直线 l 的直角坐标方程为 x+y﹣4=0.

(2)设点 P 关于直线 l 的对称点为 P′(x,y),则

,解得 P′(2,6).

∴P′到曲线 C 的圆心(1,0)的距离 d= ∴|PB|+|AB|的最小值为 .

=



【点评】本题考查了参数方程,极坐标方程与普通方程的转化,最短距离的求法,属于基础题.

[选修 4-5:不等式选讲] 24.设 a、b、c∈R+,且 a+b+c=1. (Ⅰ)求证:2ab+bc+ca+ (Ⅱ)求证: 【考点】不等式的证明. 【专题】证明题;整体思想;综合法;作差法;不等式的解法及应用. 【分析】(Ⅰ)作差法化简 1﹣2(2ab+bc+ca+ (Ⅱ)易知 +b≥2a, +b≥2c, +c≥2b, ) )=(a+b+c)2﹣(4ab+2bc+2ca+c2),从而证明; +c≥2a, +a≥2c, +a≥2b;从而证明. ; .

【解答】证明:(Ⅰ)∵1﹣2(2ab+bc+ca+ =(a+b+c)2﹣(4ab+2bc+2ca+c2) =a2+b2﹣2ab=(a﹣b)2≥0, ∴2(2ab+bc+ca+ ∴2ab+bc+ca+ (Ⅱ)∵ ∴ 即 故 +b+ + + +b≥2a, +b+ +c+ + + )≤1, ; +b≥2c, +c+ +a+ +c≥2b,

+c≥2a,

+a≥2c,

+a≥2b;

+a≥4(a+b+c),

+2(a+b+c)≥4(a+b+c), ≥2.

【点评】本题考查不等式的证明方法的应用,应用了作差法.


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