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高考数学闯关密练特训8-1直线的方程与两条直线的位置关系新人教A版(含解析)

8-1 直线的方程与两条直线的位置关系
闯关密练特训 1.(文)(2012?乌鲁木齐地区质检)在圆 x +y +2x-4y=0 内,过点(0,1)的最短弦所在 直线的倾斜角是( A. C. π 6 π 3 ) B. π 4 3π 4
2 2

D.

[答案] B [解析] 圆心为(-1,2),过点(0,1)的最长弦(直径)所在直线斜率为-1,且最长弦与最 π 短弦垂直,∴过点(0,1)的最短弦所在直线的斜率为 1,倾斜角是 . 4 (理)(2012?内蒙包头模拟)曲线 y=x +bx+c 在点 P(x0,f(x0))处切线的倾斜角的取值 π 范围为[0, ],则点 P 到该曲线对称轴距离的取值范围为( 4 A.[0,1] |b| C.[0, ] 2 [答案] B [解析] y′|x=x0=2x0+b,设切线的倾斜角为 α ,则 0≤tanα ≤1,即 0≤2x0+b≤1, 1 B.[0, ] 2 |b-1| D.[0, ] 2 )
2

b b 1 1 ∴点 P(x0,f(x0))到对称轴 x=- 的距离 d=|x0+ |= |2x0+b|∈[0, ],故选 B. 2 2 2 2
2.(文)(2011?辽宁沈阳二中检测)“a=2”是“直线 2x+ay-1=0 与直线 ax+2y-2 =0 平行”的( A.充要条件 C.必要不充分条件 [答案] B 2 a -1 [解析] 两直线平行的充要条件是 = ≠ ,即两直线平行的充要条件是 a=±2.故 a a 2 -2 =2 是直线 2x+ay-1=0 与直线 ax+2y-2=0 平行的充分不必要条件. [点评] 如果适合 p 的集合是 A,适合 q 的集合是 B,若 A 是 B 的真子集,则 p 是 q 的充 分不必要条件,若 A=B,则 p,q 互为充要条件,若 B 是 A 的真子集,则 p 是 q 的必要不充分 条件. (理)(2011?东营模拟)已知两条直线 l1:ax+by+c=0,直线 l2:mx+ny+p=0,则 an =bm 是直线 l1∥l2 的( )
-1-

) B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充要条件 [答案] B

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

[解析] l1∥l2 时,an-bm=0;an-bm=0 时? / 故 an=bm 是直线 l1∥l2 的必要不充分条件.

l1∥l2.

3.(2011?烟台模拟)点 P(-3,4)关于直线 x+y-2=0 的对称点 Q 的坐标是( A.(-2,1) C.(2,-5) [答案] B [解析] x=2-4=-2,y=2-(-3)=5,故选 B. B.(-2,5) D.(4,-3)

)

4.(文)(2011?梅州模拟)已知直线 a x+y+2=0 与直线 bx-(a +1)y-1=0 互相垂直, 则|ab|的最小值为( A.5 [答案] C [解析] 由题意知,a b-(a +1)=0 且 a≠0,
2 2

2

2

) C .2 D.1

B.4

a2+1 1 ∴a b=a +1,∴ab= =a+ , a a
2 2

1 1 ∴|ab|=|a+ |=|a|+ ≥2.(当且仅当 a=±1 时取“=”). a |a| (理)已知 a、b 为正数,且直线(a+1)x+2y-1=0 与直线 3x+(b-2)y+2=0 互相垂直, 3 2 则 + 的最小值为(

a b

) B. 13 6

A.12 C.1 [答案] D

D.25

[解析] ∵两直线互相垂直,∴3(a+1)+2(b-2)=0, ∴3a+2b=1, ∵a、b>0, 3 2 3 2 ∴ + =( + )(3a+2b)

a b

a b b

6b 6a =13+ + ≥13+2

a

6b 6a ?

a

b

=25.

-2-

6b 6a ? ? = 等号成立时,? a b ? ?3a+2b=1 3 2 故 + 的最小值为 25.

1 ,∴a=b= , 5

a b

5.两条直线 l1: - =1 和 l2: - =1 在同一直角坐标系中的图象可以是(

x y a b

x y b a

)

[答案] A [解析] 直线 l1 在 x 轴上的截距与直线 l2 在 y 轴上的截距互为相反数,直线 l1 在 y 轴上 的截距与 l2 在 x 轴上的截距互为相反数,故选 A. [点评] 可用斜率关系判断,也可取特值检验. 6. (文)(2011?安徽省示范高中皖北协作区高三联考)若过点 P(2,1)的直线与两坐标轴围 成的三角形的面积为 4,则这样的直线共有( A.1 条 C.3 条 [答案] C [解析] 设过点 P(2,1)的直线方程为 + =1, 2 1 则 + =1,即 2b+a=ab, ) B.2 条 D.4 条

x y a b

a b

1 又 S= |a||b|=4,即|ab|=8, 2

-3-

?2b+a=ab, ? 由? ?|ab|=8, ? ?a=4, ? ? ?b=2, ?

解得 a、b 有三组解

?a=-4-4 2, ? ?b=-2+2 2,

或?

?a=4 2-4, ?b=-2-2 2.

所以所求直线共有 3 条,故选 C. (理)(2012?山东模拟)若直线(m -1)x-y-2m+1=0 不经过第一象限,则实 数 m 的取值 范围是( ) 1 B.-1<m≤ 2 1 D. ≤m≤1 2
2

1 A. <m<1 2 1 C.- ≤m<1 2 [答案] D

[解析] 若直线(m -1)x-y-2m+1=0 不经过第一象限,则直线过二、三、四象限,则 斜率和截距均小于等于 0.直线变形为 y=(m -1) x-2m+1,则? 故选 D. -2m+1<0, ? ? 2m-1 (1)令 x=0 得 y=-2m+1,令 y=0 得,x= 2 ,则?2m-1 m -1 <0, 2 ? ? m -1 也可获解.
2

2

?m -1≤0, ? ? ?-2m+1≤0,

2

1 ? ≤m≤1, 2

[点评]



?-2m+1=0, ? ? 2 ?m -1≤0, ?

(2)取特值 m=0,1,检验亦可获解.

[来源:学科网]

7.(2011?宁夏银川一中月考)直线 l:ax+y-2-a=0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等,则

a 的值是________.
[答案] -2 或 1 [解析] 令 x=0 得 y=2+a,令 y=0 得 x= 由条件知 2+a=

a+2 , a

a+2 ,∴a=-2 或 1. a

8. (文)若直线 m 被两平行线 l1: x-y+1=0 与 l2: x-y+3=0 所截得的线段的长为 2 2, 则 m 的倾斜角可以是 ①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75° 其中正确答案的序号为________.(写出所有正确答案的序号) [答案] ①⑤ [解析] 求 得两平行线间的距离为 2,则 m 与两平行线的夹角都是 30°,而两平行线的
-4-

倾斜角为 45°,则 m 的倾斜角为 75°或 15°,故填①⑤. (理)(2012?佛山市高三检测)已知直线 x+2y=2 分别与 x 轴、y 轴相交于 A,B 两点,若 动点 P(a,b)在线段 AB 上,则 ab 的最大值为________. [答案] [解析] 1 2 直线方程可化为 +y=1,故直线与 x 轴的交点为 A(2,0),与 y 轴的交点为 2

x

B(0,1),由动点 P(a,b)在线段 AB 上,可知 0≤b≤1,且 a+2b=2,从而 a=2-2b,由 ab
1 2 1 1 1 2 =(2-2b)b=-2b +2b=-2(b- ) + ,由于 0≤b≤1,故当 b= 时,ab 取 得最大值 . 2 2 2 2 9.(2011?大连模拟)已知点 A(1,-2),B(m,2),且线段 AB 的垂直平分线的方程是 x+ 2y-2=0,则实数 m 的值是________. [答案] 3 [解析] 由已知条件可知线段 AB 的中点? 解得 m=3. → → [点评] 还可利用 AB⊥l 求解,或AB为 l 的法向量,则AB∥a,a=(1,2),或先求 AB 中 点纵坐标 y0,利用 AB 的中点在直线上求出其横坐标 x0 再求 m. 10.已知两直线 l1:mx+8y+n=0 和 l2:2x+my-1=0.试确定 m、n 的值,使 (1)l1 与 l2 相交于点 P(m,-1); (2)l1∥l2; (3)l1⊥l2,且 l1 在 y 轴上的截距为-1. [解析]
? ?m -8+n=0, (1)由题意得? ?2m-m-1=0, ?
2

?1+m,0?在直线 x+2y-2=0 上, 代入直线方程 ? ? 2 ?

解得?

?n=7, ? ?m=1, ?

∴当 m=1,n=7 时,l1 与 l2 相交于点 P(1,-1).

m 8 n (2)l1∥l2? = ≠ , 2 m -1
得:m=4,n≠-2,或 m=-4,n≠2. (3)l1⊥l2?m?2+8?m=0, ∴m=0,则 l1:8y+n=0. 又 l1 在 y 轴上的截距为-1,则 n=8. 综上知 m=0,n=8.

-5-

[点评] 讨论 l1∥l2 时要排除两直线重合的情况.处理 l1⊥l2 时,利用 l1⊥l2?A1A2+B1B2 =0 可避免对斜率存在是否的讨论. 能力拓展提升 11.(文)( 2012?辽宁文)将圆 x +y -2x-4y+1=0 平分的直线是( A.x+y-1=0 C.x-y+1=0 [答案] C [解析] 本题考查了直线与圆的位置关系. 将圆 x +y -2x-4y+1=0 化为标准方程(x-1) +(y-2) =4, ∵直线平分圆,∴直线过圆心. 因此,可代入验证. 经验证得 C 正确. [点评] 关键是明确圆是轴对称图形,对称轴过圆心. 3π (理)(2011?西安八校联考)已知直线 l 的倾斜角为 ,直线 l1 经过点 A(3,2),B(a,- 4 1),且直线 l1 与 l 垂直,直线 l2:2x+by+1=0 与直线 l1 平行,则 a+b 等于( A.-4 C.0 [答案] B 3π 2+1 [解析] 依题意知, 直线 l 的斜率为 k=tan =-1, 则直线 l1 的斜率为 1, 于是有 4 3-a =1,∴a=0, 2 又直线 l2 与 l1 平行,∴1=- ,∴b=-2, B.-2 D.2 )
2 2 2 2 2 2

)

B.x+y+3=0 D.x-y+3=0

b

∴a+b=-2,选 B. 1 12.(文)若三直线 l:2x+3y+8=0,l2:x-y-1=0,l3:x+ky+k+ =0 能围成三角 2 形,则 k 不等于( A. 3 2 ) B.-2 3 1 D. 、-1 和- 2 2

3 C. 和-1 2 [答案] D [解析] 由 ?
? ?x-y-1=0, ?2x+3y+8=0, ?

得交点 P(-1,-2),

-6-

1 1 若 P 在直线 x+ky+k+ =0 上,则 k=- . 2 2 此时三条直线交于一点;

k= 时,直线 l1 与 l3 平行. k=-1 时,直线 l2 与 l3 平行,
1 3 综上知,要使三条直线能围成三角形,应有 k≠- , 和-1. 2 2 (理)(2011?北京文,8)已知点 A(0,2),B(2,0).若点 C 在函数 y=x 的图象上,则使得 △ABC 的面积为 2 的点 C 的个数为( A.4 [答案] A [解析] 因为|AB|=2 2,要使三角形面积是 2,则 C 点到直线 AB 的距离为 2.直线 AB |m+2| 的方程为 x+y-2=0,设 C 点所在的直线方程为 x+y+m=0,所以 d= = 2,解得 m 2 =0 或 m=-4,所以 C 点的轨迹为 x+y=0,或 x+y-4=0.又因为点 C 在函数 y=x 的图象 上,x+y=0,和 x+y-4=0 与 y=x 分别有两个交点.故这样的点共有 4 个. [点评] 可利用点到直线距离公式,转化为方程解的个数的判定. 13. 已知指数函数 y=2 的图象与 y 轴交于点 A, 对数函数 y=lgx 的图象与 x 轴交于点 B, 点 P 在直线 AB 上移动,点 M(0,-2),则|MP|的最小值为________. [答案] 3 2 2
x
2 2 2

3 2

) D.1

B.3

C.2

[解析] A(0,1),B(1,0),∴直线 AB:x+y-1=0,又 M(0,-2),当|MP|取最小值时,

MP⊥AB,
|0-2-1| 3 2 ∴|MP|的最小值为 M 到直线 AB 的距离 d= = . 2 2 14.已知直线 l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0 与直线 l2:2(k-3)x-2y+3=0 平行,则 l1 与 l2 的距离为________. [答案] 3 或 5 [解析] 由(k-3)?(-2)-2(k-3)?(4-k)=0,且-2?1-(4-k)?3≠0,∴k=3 或 5. 5 当 k=3 时,l1:y+1=0,l2:-2y+3=0,此时 l1 与 l2 距离为: ; 2 当 k=5 时,l1:2x-y+1=0,l2:4x-2y+3=0,此时 l1 与 l2 的距离为 |3-2| 4+ -
2 2



-7-

5 . 10 15.(文)已知两条直线 l1:(3+m)x+4y=5-3m,l2:2x+(5+m)y=8. 当 m 分别为何值 时,l1 与 l2: (1)相交? (2)平行? (3)垂直? [解析] (1)当 m=-5 时,显然 l1 与 l2 相交;当 m≠-5 时,两直线 l1 和 l2 的斜率分别 3+m 2 为 k1=- ,k2=- , 4 5+m 5-3m 8 它们在 y 轴上的截距分别为 b1= ,b2= . 4 5+m 3+m 2 由 k1≠k2,得- ≠- ,即 m≠-7,且 m≠-1. 4 5+m ∴当 m≠-7,且 m≠-1 时,l1 与 l2 相交. 3+m 2 - =- , ? ? 4 5+m 得? 5-3m 8 ? ? 4 ≠5+m,

(2)由?

? ?k1=k2, ? ?b1≠b2,

得 m=-7. ∴当 m=-7 时,l1 与 l2 平行. 3+m 2 (3)由 k1k2=-1,得- ?(- )=-1, 4 5+m

m=- .
13 ∴当 m=- 时,l1 与 l2 垂直. 3 (理)(2011?青岛模拟)已知三点 A(5,-1)、B(1,1)、C(2,m),分别求满足下列条件的

13 3

m 值.
(1)三点构成直角三角形 ABC; (2)A、B、C 三点共线. [解析] (1)若角 A 为直角,则 AC⊥AB, ∴kAC?kAB=-1, 即

m+1 1+1

? =-1,得 m=-7; 2-5 1-5

若角 B 为直角 ,则 AB⊥BC,

-8-

∴kAB?kBC=-1, 1 m-1 即- ? =-1,得 m=3; 2 2-1 若角 C 为直角,则 AC⊥BC, ∴kAC?kBC=-1, 即

m+1 m-1
-3

? =-1,得 m=±2, 2- 1

综上可知,m=-7,或 m=3,或 m=±2. (2)方法一:∵A(5,-1),B(1,1),C(2,m ), -1-1 1 ∴kAB= =- , 5-1 2

kAC=

-1-m 1+m =- , 5-2 3
[来源:Zxxk.Com]

1 1+m 由 kAB=kAC,得- =- , 2 3 1 即 m= . 2

1 ∴当 m= 时,三点 A、B、C 共线. 2 方法二:∵A(5,-1) ,B(1,1),C(2,m), → → → → ∴AB=(-4,2),AC=(-3,m+1),
?-4=-3λ ? 由AB=λ AC,得? ?2=λ m+ ?



4 1 得 λ = ,m= , 3 2

[来源:Z§xx§k.Com]

1 ∴当 m= 时,三点 A、B、C 共线. 2 方法三:∵A(5,-1),B(1,1),C(2,m), ∴|AB|=2 5,|BC|= m -2m+2, |AC|= m +2m+10. 由三点横坐标可知,|BC|+|AC|=|AB|, 即 m -2m+2+ m +2m+10=2 5,
2 2 2 2

m2+2m+10=- m2-2m+2+2 5,两边平方,得 5? m2-2m+2=3-m,两边平方,
得 4m -4m+1=0,
2

-9-

1 1 ∴m= ,经验证 m= 符合题意, 2 2 1 故 m= 时,三点 A、B、C 共线. 2 方法四:点 A(5,-1)与 B(1,1)确定的直线方程为 x+2y-3=0,将 C(2,m)的坐标代入 1 得 m= , 2 1 故 m= 时,三点 A、B、C 共线. 2 16.(文)(2011?西安模拟)设直线 l 的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R). (1)若 l 在两坐标轴上的截距相等,求 l 的方程. (2)若 l 不经过第二象限,求实数 a 的取值范围. [解析] (1)令 x=0,得 y=a-2. 令 y=0,得 x= 由 a-2=

a-2 (a≠-1). a+1

a- 2 ,解得 a=2,或 a=0. a+ 1

∴所求直线 l 的方程为 3x+y=0,或 x+y+2=0. (2)直线 l 的方程可化为 y=-(a+1)x+a-2.
?- a+ ? ∵l 不过第二象限,∴? ? ?a-2≤0.



∴a≤-1. ∴a 的取值范围为(-∞,-1]. (理)过点 A(3,-1)作直线 l 交 x 轴于点 B,交直线 l1:y=2x 于点 C,若|BC|=2|AB|, 求直线 l 的方程. [解析] 当 k 不存在时 B(3,0),C(3,6). 此时|BC|=6,|AB|=1,|BC|≠2|AB|,

- 10 -

∴直线 l 的斜率存在, ∴设直线 l 的方程为:y+1=k(x-3), 1 令 y=0 得 B(3+ ,0),

k

由?

? ?y=2x ?y+1=k ?

x-

1+3k 得 C 点横坐标 xc= . k-2

若|BC|=2|AB| 则|xB-xC|=2|xA-xB|, 1+3k 1 1 ∴| - -3|=2| |, k-2 k k ∴ 1+3k 1 2 1+3k 1 2 - -3= 或 - -3=- , k-2 k k k-2 k k

3 1 解得 k=- 或 k= . 2 4 ∴所求直线 l 的方程为:3x+2y-7=0 或 x-4y-7=0.
[来源:Z*xx*k.Com]

π 1.函数 y=asinx-bcosx 的图象的一条对称轴方程为 x= ,则直线 ax-by+c=0 的倾 4 斜角为( ) B.60° D.135°

A.45° C.120° [答案] D

[分析] 由函数的对称轴方程可以得到 a、b 的关系式,进而可求得直线 ax-by+c=0 的斜率 k,再由 k=tanα 可求倾斜角 α . [解析] 令 f(x)=asinx-bcosx, π ∵f(x)的一条对称轴为 x= , 4

a ?π ? ∴f(0)=f? ?,即-b=a,∴ =-1. b ?2?
∴直线 ax-by+c=0 的斜率为-1,倾斜角为 135°. 1 2. 若三直线 2x+3y+8=0, x-y-1=0, x+ky+k+ =0 相交于一点, 则 k 的值为( 2 A.-2 C.2 1 B.- 2 D. 1 2 )

- 11 -

[答案] B [解析] 由?
?x-y-1=0 ? ?2x+3y+8=0 ?

得交点 P(-1,-2),

P 在直线 x+ky+k+ =0 上,
1 ∴k=- . 2 3.(2011?江西)若曲线 C1:x +y -2x=0 与曲线 C2:y(y-mx-m)=0 有 4 个不同的交 点,则实数 m 的取值范围是( A.(- 3 3 , ) 3 3 3 3 , ] 3 3 ) B.(- 3 3 ,0)∪(0, ) 3 3 3 3 )∪( ,+∞) 3 3
2 2

1 2

C.[-

D.(-∞,-

[答案] B [解析]

曲线 C1:(x-1) +y =1,图形为圆心为(1,0),半径为 1 的圆;曲线 C2:y=0 或者 y-

2

2

mx-m=0,直线 y-mx-m=0 恒过定点(-1,0),即曲线 C2 图象为 x 轴与恒过定点(-1,0)的
两条直线. 作图分析:k1=tan30°= 3 3 ,k2=-tan30°=- , 3 3 3 ,0) 3

又直线 l1(或直线 l2)、x 轴与圆共有四个不同的交点,结合图形可知 m=k∈(- ∪(0, 3 ). 3

4.设 a、b、c 分别是△ABC 中角 A、B、C 所对边的边长,则直线 xsinA+ay+c=0 与 bx -ysinB+sinC=0 的位置关系是( A.平行 C.垂直 ) B.重合 D.相交但不垂直

- 12 -

[答案] C sinA b [解析] 由已知得 a≠0,sinB≠0,所以两直线的斜率分别为 k1=- ,k2= ,由 a sinB sinA b 正弦定理得:k1?k2=- ? =-1,所以两条直线垂直,故选 C. a sinB 5.(2011?安徽省高三联考)点 P 到点 A(1,0)和直线 x=-1 的距离相等,且点 P 到直线

y=x 的距离为
A.1 [答案] C

2 ,这样的点 P 的个数是( 2 B.2 C.3

) D.4

[解析] ∵点 P 到点 A 和定直线 x=-1 距离相等,易知 P 点轨迹为抛物线,方程为 y = 4x. 设 P(t 2t),则
2,

2

2 |2t-t | = ,解之得 t1=1,t2=1+ 2, 2 2

2

t3=1- 2,∴P 点有三个,故选 C.
π 6.(2011?深圳二月模拟)设 l1 的倾斜角为 α ,α ∈(0, ),l1 绕其上一点 P 沿逆时针 2 π 方向旋转 α 角得直线 l2,l2 的纵截距为-2,l2 绕 P 沿逆时针方向旋转 -α 角得直线 l3:x 2 +2y-1=0,则 l1 的方程为________. [答案] 2x-y+8=0 [解析] 由条件知 l 1⊥l3,∴kl =2,∴tanα =2,
1

4 又 l2 的倾斜角为 2α ,tan2α =- , 3 4 ∴l2:y=- x-2, 3 4 ? ?y=- x-2, 3 由? ? ?x+2y-1=0,

[来源:学.科.网 Z.X.X.K]

得 P(-3,2),

又 P 在 l1 上,∴l1:2x-y+8=0. 7.曲线 y=

x

x+2

在(-1,-1)处的切线为 l,直线 kx+2y+10=0 与 2x-3y+5=0 与 x

轴、y 轴围成的四边形有外接圆,则外接圆的圆心到 l 的距离为________. [答案] 19 5 30

[解析] 由 y=

x 2 得,y′|x=-1= x+2 x+
- 13 -

2 x=-1

|

=2,

∴切线 l:y+1=2(x+1),即 2x-y+1=0, 又由条件知,直线 kx+2y+10=0 与 2x-3y+5=0 垂直,∴2k-6=0,∴k=3. 10 10 在 3x+2y+10=0 中含 y=0 得 x=- ,∴A(- ,0), 3 3 5 5 在 2x-3y+5=0 中令 x=0 得 y= ,∴B(0, ), 3 3

AB 的中点 C(- , )为圆心,故所求距离为

5 5 3 6

19 5 . 30

8.(20 11?苏北四市二调)已知直线 l1:ax-y+2a+1=0 和 l2:2x-(a-1)y+2=0(a ∈R),则 l1⊥l2 的充要条件是 a=____________. [答案] 1 3

[解析] 两条直线垂直的充要条件是 A1A2+B1B2=0,对于本题而言就是 2a+(a-1)=0, 1 解得 a= . 3

- 14 -


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