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大学物理下册 波动习题课_图文

波 动 习 题 课

14-27 有两个同方向、同频率的简谐运动,其合振动的振 幅为0.20 m,合振动的相位与 第一个振动的相位差为?/6, 若第一个振动的振幅为 0.173m.求第二个振动的振幅及 A A2 两振动的 相位差.

解:采用旋转矢量合成图求解。

如图:取第一个振动的旋转矢量 A1 x A1沿ox轴,即令其初相为零。则合振动的 旋转矢量A与A1之间的夹角? = ?/6 。由矢量合成 可得第二个振动的旋转矢量的大小(即振幅)为

? ?

A ? A ? A ? 2 A Acos? ? 0.10 m
2 2 2 1 1

由于A 、A1 、A2 的量值恰好满足勾股定理, 故A1 、A2垂直,即:

?? ? / 2

1.平面简谐波波动方程: t x ? ? x ? ? y ? A cos ? 2? ( ? ) ? ? ? y ? A cos ?? ( t ? ) ? ? ? T ? u ? ? ? ? 2.描写波动的物理量及其关系

周期:T
波速:u

由波源决定
由介质决定

波长:?

? ? uT

3. 波的能量 ?W x ? ? 2 2 ? ?A ? cos ??( t ? ) ? ?? 能量密度: w ? ?V u ? ? 平均能量密度: w ? ?W ? 1 ?A2 ? 2 ?V 2 1 能流密度: 2 2

I ? wu ?

2

?A ? u

4. 波的干涉与驻波 相干条件:同方向,同频率,位相差恒定。 2? ?? ? ? 2 ? ? 1 ? ( r2 ? r ) 位相差: ? A ? A1 ? A2 加强条件: ?? ? 2k? , k ? ?1,2,... 减弱条件: ?? ? ( 2k ? 1)? , k ? ?1,2,... A ? A1 ? A2

驻波:
两列振幅相同、相向传播的相干波叠加形成驻波。 波腹与波节相间,相邻两波节(或波腹)间距为 ? 2 半波损失: 入射波在界面处反射时位相发生突变的现象。

5.多普勒效应

u ? v0 ? '? u ? vs

y ? 0.20 cos?2.50?t ? ?x ?m. (1)求波的振幅,波速,频率,波长
(2)求绳上的质点振动时的最大速度; (3)分别画出t=1s和 t=2s时的波形,并指出波峰和波谷,画出x=1.0m处质点的振 动曲线并讨论其与波形图的不同. 解: (1)已知波动方程为 y ? 0.20 cos?2.50?t ? ?x ?m 与一般表达式 y ? A cos??(t ? x / u) ? ?0 ? 比较,得 A ? 0.20m, u ? 2.5m ? s ?1 , ? ? 0

习题 15-2 一横波在沿绳子传播时的波动方程为

? ? ? / 2? ? 1.25HZ
vmax ? 1.57m ? s

? ? u / ? ? 2.0m

0

(2)绳上的质点振动速度

v ? dy / dt ? ?0.5? sin ?2.5??t ? x / 2.5???SI ?
?1

已知波动方程为 y ? 0.20 cos?2.50?t ? ?x ?m (3)t=1s和t=2s时的波形方程分别为 y1 ? 0.20 cos?2.50? ? ?x ?m y / m t ? 1s t ? 2s 0.2

y2 ? 0.20 cos?5? ? ?x ?m

波形如图 x=1.0m处质点的运动方程

0 ? 0.2
y/m 0.2 0 ? 0.2

1.0

2.0

x/m

y ? ?0.20 cos(2.5?t )?m?

振动图形如图

2.0 0.6

t/s

波形图表示某确定时刻波线上所有质点的位移情况,振 动图表示某确定位置的一个质点,其位移随时间变化的 情况.

15-4已知一波动方程为 y ? 0.05 sin ?10?t ? 2 x ?m. (1)求波长,频率,波速,周期; (2)说明x=0时方程的 意义,并作图表示. 解:已知波动方程改为 y ? 0.05 cos?10?(t ? x / 5?) ? ? / 2?m 与一般表达式 y ? A cos??(t ? x / u) ? ?0 ? ?1 ?1 比较,得 ? ? 10?s , u ? 15.7m ? s ,

? ? ? / 2? ? 5.0HZ T ? 1 / ? ? 0.2s ? ? uT ? 3.14m x=0时方程 y ? 0.05 cos(10?t ? ? / 2)?m?
表示位于坐标原点的质点的运动方程. y/m 0.05

0

0.1

0.2 t / s

15-5 波源作简谐运动,周期为0.02s,若该振动以100m.s-1的速度沿直 线传播,设t=0时,波源处的质点经平衡位置向正方向运动,求:(1)距波 源15.0m和5.0m处质点的运动方程和初相;(2)距波源分别为16.0m和 17.0m的两质点间的相位差.

解: (1)由题意知:T=0.02s,u=100m.s-1,可得
?1

? ? 2? / T ? 100?s , ? ? uT ? 2m

t=0时,波源处的质点经平衡位置向正 方向运动,质点的初相为 ?0=-?/2 设波源为坐标原点 y ? A cos?100?(t ? x / 100) ? ? / 2?m 距波源15.0m和5.0m处质点的运动方程为

它们的初相分别为?10=-15.5?和?20=-5.5? (2)距波源16.0m和17.0m的两点间的相位差

y1 ? A cos?100?t ? 15.5??m y2 ? A cos?100?t ? 5.5??m

?? ? ?1 ? ?2 ? 2??x2 ? x1 ? / ? ? ?

15-7有一平面简谐波在介质中传播,波速u=100m.s-1,波 线上右侧距波源o(坐标原点)为75.0m处的一点P的运动 方程为 y p ? 0.30 cos?2?t ? ? / 2?m 求 (1)波向x轴正方向传播时的波动方程; (2)波向x轴负方向传播时的波动方程; x 解 y ( x, t ) ? A cos[?(t ? ) ? ?0 ] u 波函数就是普适性的振动方程. 把x=75.0m代入向x轴正方向传播时波动方程的 一般形式与P点的振动方程进行比较 75 y (t ) ? A cos[?(t ? ) ? ?0 ] 得: A ? 0.30m 100

y p ? 0.30 cos?2?t ? ? / 2?m

? ? 2?s x y ( x, t ) ? 0.30 cos[ 2?(t ? )]?m ? ?0 ? 2?
100

?1

(2)波向x轴负方向传播时的波动方程; 把x=75.0m代入向x轴负方向传播时波动方程的 一般形式与P点的振动方程进行比较 75 y (t ) ? A cos[?(t ? ) ? ?0 ] 得: A ? 0.30m 100

y p ? 0.30 cos?2?t ? ? / 2?m

? ? 2?s x ?0 ? ? ? y ( x, t ) ? 0.30 cos[ 2?(t ? ) ? ?]?m ?
100

?1

15-8图示为平面间谐波在t=0时的波形图,设此简谐波的频率为 250Hz,且此时图中点P的运动方向向上.求(1)该波的波动方程;(2)在 距原点7.5m处质点的运动方程与t=0时该点的振动速度.

y/m
解 由图得: A ? 0.10m ? ? 20.0m

u ? ?? ? 5.0 ?10 m ? s ?1 ? ? 2?? ? 500?(s )
3

?1

0.10 0.05 ? 0.10

u

P
10m

0

x/m

确定坐标原点的振动初相?0 根据t=0点P的运动方向向上 可知波沿Ox轴负向传播. t=0时位于原点处的质点

将沿oy轴的负方向运动. ?0 ? ? / 3 x y ( x, t ) ? A cos[?(t ? ) ? ?0 ] u ? 0.1cos[500?(t ? x / 5000) ? ? / 3]?m?

? ?
y

o

A/2

(2)在距原点7.5m处质点的运动方程.

y ? 0.1cos[500?t ? 13? / 12]?m?
t=0时该点的振动速度

v ? (dy / dt )t ?0 ?1 ? ?50? sin( 13? / 12) ? 40.6m ? s

15-9 平面简谐波以波速u=0.50m.s-1沿x轴负向传播,t=2s 时刻的波形如图所示,求原点的运动方程. 解 由图得: A ? 0.5m y/m u

? ? 2.0m ?1 ? ? 2?u / ? ? 0.5?(s )

0.5

t=2s

0

1.0
t=0

2.0

x/m

确定坐标原点的振动初相?0 根据t=2s原点处质点处于平衡 位置且向上运动

?t ? 0.5? ? 2 ? ?
?0 ? ? / 2

?t
o

? ?
y

原点的运动方程
y ? 0.5 cos[0.5?t ? 0.5?]?m?
t=2

解法2 波形平移法
0.5

y/m
t=2s

u

t=0

?x ? ut ? 0.5 ? 2 ? 1.0?m?
根据t=0原点处质点处于平衡 位置且向下运动

0

1.0

2.0

x/m

?x
t=0

?0 ? ? / 2
o

? ?
y

15-14有一波在介质中传播,其波速u=1.0?103m.s-1,振幅 A= 1.0?10-4m,频率?= 1.0?103Hz,若介质的密度为?= 8.0?102kg.m-3,求:(1)该波的能流密度;(2)1min内垂直通 过4.0?10-4m2的总能量. 解 (1)能流密度I的表达式得

1 2 2 I ? ?uA ? ? 2?2?uA2? 2? 1.58 ?105W ? m ?2 2
(2)1min内垂直通过4.0?10-4m2的总能量

W ? P ? ?t ? IS ? ?t ? 3.79 ?10 J
3

15-15如图所示,两振动方向相同的平面简谐波波源分别位 于A,B点,设它们相位相同,且频率?=30Hz,波速u=0.50m.s-1. 求点P处两列波的相位差. P 解

BP ? AP ? AB ? 2 AP ? AB cos 30
2 2

0

? 2.94m
点P处两列波的波程差

A 0.07m B

300

?r ? AP ? BP
相位差

(? 2 )

?? ? 2? ? ?r / ? ? 2???r / u ? 7.2?

(? 1 )

15-16如图所示,两相干波源分别在P,Q两点,它们发出频率 为?,波长为?,初相相同的两列相干波,设PQ=3?/2,R为PQ连 线上的一点.求(1)自P,Q发出的两列波在R处的相位差; (2)两波在R处干涉时的合振幅. 解 R处两列波的相位差

?? ? 2??r / ? ? 3?
合振幅 A ?
2 1 2 2

P

3?/2

Q

R

A ? A ? 2 A1 A2 cos 3? ? A1 ? A2

15-18图是干涉型消声器结构的原理图,利用这一结构可 以消除噪声,当发动机排气噪声声波经管道到达点A时,分 成两路而在点B相遇,声波因干涉而相消,求图中弯道与直 管长度差,?r=r2-r1至少应为多少?(设声速为340m.s-1) r2 解 由相消条件

?? ? ?2k ? 1??, k ? 0,?1?
两列波的相位差
A
r1

B

?? ? 2??r / ?
声波从点A分开到点B相遇,两 列波的波程差

?r ? r2 ? r1

?r ? (2k ? 1)? / 2

令k=0得?r至少应为

?r ? ? / 2 ? u / 2? ? 0.57m

问题

15-4机械波的波长,频率,周期和波速四个量中,(1)在同 一介质中,那些量是不变的?(2)当波从一种介质进入另 一种介质时,那些量是不变的?
同一介质中波速不变 设在一种介质中,波长,频率,周期和波速分别为?,?,T,u. 进入另一种介质时, 频率不变?,周期不变T 波速变为u1,波长变为?1= u1T.

15-7时判断下面几种说法,哪些是正确的,那些错的? (1)机械振动一定能产生机械波; 错 机械振动在弹性介质中传播形成的波,叫机械波

(2)质点振动的速度是和波的传播速度相等的; 错
(3)质点振动的周期和波的周期数值是相等的; 对

(4)波动方程式中的坐标原点是选取在波源位置上的. 错

15-9波动的能量与那些物理量有关?比较波动的能量与 简谐运动的能量. 从波的能量密度公式可知 w ? ?A2?2 sin 2 ??t ? x / u ?

波动的能量不但与体积有关,且与?,A,?,u.
波动的能量与简谐运动的能量有显著的不同,在简谐 运动系统中,动能和势能有?/2的相位差,系统的机械 能是守恒的.在波动中,动能和势能的变化是同相位 的,对任何体积元来说,系统的机械能是不守恒的.

15-11波的干涉的产生条件是什么?若两波源所发出的波的 振动方向相同,频率不同,则它们在空间叠加时,加强和减弱 是否稳定? 两波的相干条件: 两波源具有:1)相同的频率 2)相同的振动方向 3)恒定的相位差 补充条件:强度相差不太大
(? 2 )

(? 1 )

频率不同,就不会有恒定的相 位差,加强和减弱不会稳定.

15-14在驻波的同一半波中,其各质点振动的振幅是否相同? 振动的频率是否相同?相位是否相同? 振幅是不相同,振动的频率相同,相位是相同.


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