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[教案精品]新课标高中数学人教A版必修一全册教案2.1.2指数函数及其性质(三


2.1.2 指数函数及其性质(三)
(一)教学目标 1.知识与技能: (1)熟练掌握指数函数概念、图象、性质; (2)掌握指数形式的函数定义域、值域的求法,以及单调性、奇偶性判断; (3)培养学生数学应用意识 2.过程与方法: (1)让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理; (2)培养学生观察问题,分析问题的能力. 3.情感、态度与价值观 (1) 认识从特殊到一般的研究方法. (2) 了解数学在生产实际中的应用. (二)教学重点、难点 1.教学重点:指数形式的函数图象、性质的应用. 2.教学难点:判断单调性. (三)教学方法 启发学生运用证明函数单调性的基本步骤对指数形式的复合函数的单调性进行证明, 但 应在变形这一关键步骤帮助学生总结、 归纳有关指数形式的函数变形技巧, 以利于下一步判 断. (四)教学过程

教学

教学内容

师生互动

设计意图

环节 复习 回顾 1.指数函数的定义、图象、性质. 引入 2.函数的单调性、奇偶性的定义, 及其判定方法. 3. 复合函数单调性的判定方法. 老师提问 学生回答 复合函数 y=f g [ (x) 是由函数 u=g ] (x)和 y=f(u)构成的,函数 u=g (x)的值域应是函数 y=f(u)的 为学 习新课作 好了知识 上 的 准 备.

定义域的子集.在复合函数 y=f[g (x) ]中,x 是自变量,u 是中间变 量.当 u=g(x)和 y=f(u)在给定 区间上增减性相同时,复合函数 y=f[g(x) ]是增函数;增减性相 反时,y=f[g(x) ]是减函数.

应用

例 1 当 a>1 时,判断函数 y=

例1 师:你觉得应该如何去判断一个函 数的奇偶性? (生口答,师生共同归纳总结) 方法引导:判断一个函数奇偶性的 一般方法和步骤是: (1)求出定义域,判断定义域是 否关于原点对称. (2)若定义域关于原点不对称, 则该函数是非奇非偶函数. (3)若所讨论的函数的定义域关 于原点对称,进而讨论 f(-x)和 f(x)之间的关系. 若 f(-x)=f(x) ,则函数 f(x) 是定义域上的偶函数;若 f(-x) =-f(x) ,则函数 f(x)是定义域 上的奇函数;若 f(-x)=f(x)且 f(-x)=-f(x) ,则函数 f(x) 在定义域上既是奇函数又是偶函 数. 师:请同学们根据以上方法和步 骤,完成例题 1.

掌握指数 形式函数 奇偶性的 判断.

举例

ax +1 是奇函数. ax ?1

(生完成引发的训练题,通过实物 投影仪,交流各自的解答,并组织 学生评析,师最后投影显示规范的 解答过程,规范学生的解题) 证明:由 ax-1≠0,得 x≠0, 故函数定义域为{x|x≠0},易判断其 定义域关于原点对称. 又 f(-x) =

a ? x + 1 (a ? x + 1)a x 1 + a x = = a ? x ? 1 ( a ? x ? 1)a x 1 ? a x

=-f(x) , ∴f(-x)=-f(x). ∴函数 y=

ax +1 是奇函数. ax ?1
掌握指数 形式函数 单调性的 判断.

例 2 求函数 y=( 区间,并证明之.

1 x2 ?2 x ) 的单调 2

例2 师: 证明函数单调性的方法是什么? (生口答,师生共同归纳总结) 方法引导: (1)在区间 D 上任取 x1 <x2.(2)作差判断 f(x1)与 f(x2) 的大小:化成因式的乘积,从 x1< x2 出发去判断.(3)下结论:如果 f (x1)<f(x2) ,则函数 f(x)在区 间 D 上是增函数;如果 f(x1)>f (x2) ,则函数 f(x)在区间 D 上是 减函数. 解:在 R 上任取 x1、x2,且 x1<x2,

y 则 2 = y1

1 2 ( ) x2 ? 2 x2 1 2 = ( ) 1 x12 ? 2 x1 2 ( ) 2

x12 ? x12 + 2 x2 + 2 x1

=(

1 ( x2 ? x1 )( x2 + x1 ? 2 ) ) . 2

∵x1<x2,∴x2-x1>0. 当 x1、x2∈(-∞,1]时,x1+x2- 2<0.这时 2-x1) 2+x1-2) (x (x <0, 即

y2 >1. y1

∴y2>y1,函数在(-∞,1]上单 调递增. 当 x1、x2∈[1,+∞)时,x1+x2-2 >0,这时(x2-x1) 2+x1-2)> (x 0,即

y2 <1. y1

∴y2<y1,函数在[1,+∞上单调递 减. 综上,函数 y 在(-∞,1]上单调 递增,在[1,+∞)上单调递减. 合作探究:在填空、选择题中用上 述方法就比较麻烦,因此我们可以考虑 用复合函数的单调性来解题. 解法二、 (用复合函数的单调性) : 设: u = x ? 2 x

2

?1? 则: y = ? ? ?2?

u

对任意的 1 < x1 < x2 ,有 u1 < u 2 ,

?1? 又∵ y = ? ? 是减函数 ?2?
∴ y1 < y 2

u

?1? ∴y=? ? ?2?

x2 ?2 x



[1,+∞) 是减函数

对任意的 x1 < x2 ≤ 1 ,有 u1 > u 2 , 又∵ y = ? ? 是减函数

?1? ?2?

u

∴ y1 < y 2

?1? ∴y=? ? ?2?

x2 ?2 x



[1,+∞) 是增函数
小结:在讨论比较复杂的函数的单 调性时,首先根据函数关系确定函 数的定义域,进而分析研究函数解 析式的结构特征,将其转化为两个 或多个简单初等函数在相应区间 上的单调性的讨论问题.在该问题 中先确定内层函数( u = x ? 2 x ) 和外层函数( y = ? ? )的单调 情况,再根据内外层函数的单调性 确定复合函数的单调性.

2

?1? ?2?

u

课堂练习答案 课堂练习 1. 求函数 y=3 ? x 和值域.
2

1.解: 由题意可知, 函数 y=3 ? x
+ 2 x+3

2

+ 2 x+3

的单调区间

的定义域为实数 R. 设 u=-x2+2x+3(x∈R) , 则 f(u)=3u, 故原函数由 u=-x2+2x+3 与 f(u) =3u 复合而成. ∵f(u)=3u 在 R 上是增函数, 而 u=-x2+2x+3=-(x-1)2+4 在 x∈(-∞,1]上是增函数,在[1,

+∞)上是减函数. ∴y=f(x)在 x∈(-∞,1]上是 增函数,在[1,+∞)上是减函数. 又知 u≤4,此时 x=1, ∴当 x=1 时,ymax=f(1)=81,而 3 ?x
2

+ 2 x+3

>0,

∴函数 y=f(x)的值域为(0,81].

2.分析:此题虽形式较为复杂,但 2. 设 a 是实数, 应严格按照单调性、奇偶性的定义进行 证明还应要求学生注意不同题型的解

2 f ( x) = a ? x ( x ∈ R) 2 +1

试证明对于任意 a, f (x ) 为增函数; 答方法 (1) 证明: x1 , x 2 ∈R,且 x1 < x2 设 则 f ( x1 ) ? f ( x2 )

= (a ?

2 2 ) ? (a ? x ) 2 +1 2 2 +1
x 1

2 2 2(2 x1 ? 2 x 2 ) = x ? = 2 2 + 1 2 x1 (2 x1 + 1)(2 x 2 + 1)
由于指数函数 y= 2 x 在 R 上是增函 数,且 x1 < x2 , 所以 2 x1 < 2 x 2 即 2 x1 ? 2 x 2 <0, 又由 2 x >0 得 2 1 +1>0, 2 2 +1>0 所 以
x x

f ( x1 ) ? f ( x 2 )

<0



f ( x1 ) < f ( x 2 )
因为此结论与 a 取值无关,所以对 于 a 取任意实数, f (x ) 为增函数

小结:上述证明过程中,在对差式 正负判断时,利用了指数函数的值域及 单调性

归纳 总结

1.复合函数单调性的讨论步骤和方 法; 2.复合函数奇偶性的讨论步骤和 方法.

学生先自回顾反思,教师点评完善.

形成知识 体系.

课后 作业

作业:2.1 第六课时 习案

学生独立完成

巩固新知 提升能力

备选例题
例 1 已知 a > 0 且 a ≠ 1 ,讨论 f ( x) = a
? x 2 +3 x + 2

的单调性.

【分析】这是一道与指数函数有关的复合函数讨论单调性题, 指数 ? x + 3 x + 2 = ?( x ? ) +
2 2

3 2

17 3 3 ,当 x ≥ 时是减函数, x ≤ 时是增函数, 4 2 2

而 f (x ) 的单调性又与 0 < a < 1 和 a > 1 两种范围有关,应分类讨论. 【解析】设 u = ? x + 3 x + 2
2

3 17 = ?( x ? ) 2 + , 2 4 3 则当 x ≥ 时, u 是减函数, 2 3 当 x ≤ 时, u 是增函数, 2
又当 a > 1 时, y = a u 是增函数, 当 0 < a < 1 时, y = a u 是减函数, 所以当 a > 1 时,原函数 f ( x) = a 数. 当 0 < a < 1 时,原函数 f ( x) = a 数.
? x 2 +3 x + 2 ? x 2 +3 x + 2

在 [ ,+∞) 上是减函数,在 ( ?∞, ] 上是增函

3 2

3 2

在 [ ,+∞) 上是增函数,在 ( ?∞, ] 上是减函

3 2

3 2

【小结】一般情况下,两个函数都是增函数或都是减函数,则其复合函数是增函数;如 果两个函数中一增一减,则其复合函数是减函数,但一定注意考虑复合函数的定义域.

例 2 已知函数 y =

2 x + 2?x 2

求函数的定义域、值域

解:作出函数图像,观察分析讨论,教师引导、整理.
6

5

4

3

2

1

-4

-2

2

4

定义域为 R 由y=

2 x + 2?x 得 2

22x ? 2 y ? 2 x + 1 = 0

∵x∈R, ∴△ ≥ 0, 即 4 y 2 ? 4 ≥ 0 , ∴ y 2 ≥ 1 , 又∵ y > 0 ,∴ y ≥ 1 ∴值域为 { y | y ≥ 1} .


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