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清北学堂物理竞赛模拟题


一、 (20 分)如图系统,A 重 P,B 重 2P,C、D 各重 P/2,忽略斜面的摩擦.求(1)系统平 衡时,α 、β 角各为多少?(2)如果将 C、D 之间的绳剪断,求剪断瞬间 A、B 的加速度.

参考答案: (1)平衡时有 对A 对B 对 C、D 可解得 (2)在 C、D 之间的绳刚被剪断的瞬间,设 C 的加速度的水平分量为 ax,竖直分量为 ay,根 据牛顿第二定律 对A

?

2 2 3P ?ax ? cos30? ? ay cos60?? 3P ? sin 60? ? T1 ? 3 3g
2P ?ax cos30? ? a y cos60?? g

对B

2 P ? sin 30? ? T2 ?

P ? ay 2 2g 对C P T2 ? cos30? ? T1 ? cos30? ? ? ax 2g
由以上四式可解得

?T1 ? T2 ?? sin 30? ? P ?

a A ? ax ? cos30? ? a y ? cos60? ? aB ? ax ? cos30? ? a y ? cos60? ?

21 g 30 ? 32 3 3? 6 3 g 30 ? 32 3

二、 (20 分)有一水平放置的平行平面玻璃板 H ,厚 3.0 cm,折射率 n ? 1.5 。在其下表面 下 2.0 cm 处有一小物 S ;在玻璃扳上方有一薄凸透镜 L ,其焦距 f ? 30 cm ,透镜的主轴与 玻璃板面垂直; S 位于透镜的主轴上,如图所示。若透镜上方的观察者顺着主轴方向观察到

1

S 的像就在 S 处,问透镜与玻璃板上表面的距离为多少?

参考答案: 物体 S 通过平行玻璃板及透镜成三次像才能被观察到。 设透镜的主轴与玻璃板下表面和 上表面的交点分别为 A 和 B , S 作为物,通过玻璃板 H 的下表面折射成像于点 S1 处,由图 预解17-3,根据折射定律,有 n? sin i ? n sin r 式中 n? ? 1.0 是空气的折射率,对傍轴光线, i 、 r 很小, sin i ? tan i , sin r ? tan r ,则

AD AD ?n SA S1 A
式中 SA 为物距, S1 A 为像距,有

S1 A ? nSA

(1)

将 S1 作为物, 再通过玻璃板 H 的上表面折射成像于点 S2 处, 这时物距为 S1B ? S1 A ? AB . 同 样根据折射定律可得像距

S2 B ?

S1 B n

(2)

将 S2 作为物,通过透镜 L 成像,设透镜与 H 上表面的距离为 x ,则物距 u ? x ? S2 B .根据 题意知最后所成像的像距 v ? ?( x ? SA ? AB) ,代入透镜成像公式,有

1 1 1 ? ? x ? S2 B x ? SA ? AB f
由(1)、(2)、(3)式代入数据可求得 x ? 1.0 cm 即 L 应置于距玻璃板 H 上表面1.0 cm 处。

(3)

(4)

2

三、 (20 分)贮气罐的体积为 V,罐内气体压强为 p,贮气罐经阀门与体积为 V0 的真空室相 连,打开阀门,为真空室充气,达平衡后,关闭阀门,然后换一个新的同样的贮气罐继续为 真空室充气,直到室内压强达到 p0(p0<p)设温度不变,试问共需要多少贮气罐。

1.P ? 1

V0 V0 PV PV , 摩擦系数V0 ? V? V ? V0 V0 ? V V0 ? V RT
V0 V0 V0 (n ? n1 ) RT PV ? (1 ? ) , 摩擦系数:V2 ? (1 ? ) V V ? V0 V0 ? V V ? V0 V0 ? V V0 ? V
V0 V0 2 V0 K ?1 PV V ?( ) ? ??? ? ( ) ] ? [1 ? ( 0 ) K ]P V0 ? V V0 ? V V0 ? V V ? V0 V ? V0

2.P2 ?

3.依此类推:达到平衡时:PK ? [1 ?

由P ? P 的, K= ln K 0

P?P 0 p

ln

V0 V ? V0

, K 取整数.

四、 (20 分)如图所示,有一匀质细导线弯成的半径为 a 的圆线圈和一内接等边三角形的电 阻丝组成的电路 (电路中各段的电阻值见图) 在圆线圈平面内有垂直纸面向里的均匀磁场, 。 磁感应强度 B 随时间 t 均匀减小,其变化率的 大小为一已知常量 k。已知 2 r1 =3 r 2 。试求图 中 A、B 两点的电势差 U A - U B 。
?

A r1 r2 O C 2r2 r1 B r2 r1

图复13 - 1 参考答案: 在各段电路上,感应电流的大小和方向如图复解 13 - 1 所示电流的分布,已考虑到电路 的对称性,根据法拉第电磁感应定律和欧姆定律,对半径为α 的圆电路,可得
? π a 2 k = 2 r1 I 1 + r1 I 1

对等边三角形三个边组成的电路,可得 3 3 a k / 4 = 2 r 2 I 2 + 2 r 2 I ?2
2

A I2 I1 r2 C r1 r1 r2 O I2′ 2r2 I 1′
3

r1 I2 I1 B

对由弦 AB 和弧 AB 构成的回路,可得 (π a 2 -3 3 a 2 / 4)k / 3 = r1 I 1 - r 2 I 2

图复解13 - 1

考虑到,流进 B 点的电流之和等于流出 B 点电流之和,有 ? I 1 + I 2 = I 1 + I ?2 由含源电路欧姆定律可得
U A - U B = π a 2 k /3 - I 1 r1

由以上各式及题给出的 r 2 = 2 r1 / 3 可解得
UA - UB =

-

3 a 2 k / 32

五、 (20 分) (1) B (2) D (3) 右 f 实



1



六、 (25 分)要发射一颗地球人造卫星,使它在半径为 r2 的预定轨道上绕地球做匀速圆周运 动,为此先将卫星发射到半径为 r1 的近地暂行轨道上绕地球做匀速圆周运动。在 A 点,突 然使卫星速度增加, 从而使卫星进入一个椭圆的转移轨道, 并使它的远地点恰好在预定轨道 上。当卫星到达转移轨道的远地点 B 时,再次改变卫星速度,使它进入预定轨道运行。试 求卫星从 A 点到达 B 点所需的时间。设万有引力恒量为 G,地球的质量为 M

1 ?1 ? 2 v A rA ? 2 vB rB 2r2GM 1 ? ? vA ? , vs ? v A r1 ? 2r1r2GM (r1 ? r2 ) ?1 Mm 1 Mm r1 (r1 ? r2 ) 2 ? mv A 2 ? G ? mvB 2 ? G r1 2 r2 ? ?2 t AB 1 ? ab 2 ? . vs

r1 ? r2 ? ?a ? 2 ? r1 ? r2 T 2 4? 2 ? , 3? ?c ? a ? r1 ? 2 R GM ? ?b ? a 2 ? c 2 ? r r 1 2 ? ? t AB ?

? (r1 ? r2 ) r1 ? r2
2 2GM

七、 (25 分) 质量各为 m 和 M 的两物块用轻软的橡皮绳相连放在水平台面上,橡皮绳原长为 a,伸长时犹 如一倔强系数为 k 的弹簧,物体与台面的摩擦系数为 μ ,今将两物体拉开至相距 b(b>a) 释放。 求两物体从开始运动到相遇所经过的时间 (设 μ 很小) 以及相遇时两者的相对速度。 , 设某时刻两者的距离

4

x( x ? a) 时,取地 ?aM ? k ( x ? a) ? ? Mg
取 M ? mam ? k ( x ? a) ? maM ? ? Mg , am ?

M ?m kx '? 2 ? g M M ?m 橡皮绳伸长量为x ' ? x ? a,回复力?F ? ( x ? a )k ? 2 ? g M 相当于有恒力2? mg作用,使平衡位置有所改变,并且等效劲度系数为k'= M+m k M

等效平衡位置 x0 ?

2? mg 2? mgk ? k' ( M ? m)

故 m 振动角频率为 w ?

k' M ?m ? k , 振幅A ? b ? a ? x0 m M

有振幅矢量法, m振动到绳长a时,如图:

A

?

x0

t?0

? ? x ? cos ?1
t1 ?

x0 (b ? a)( M ? m)k ? ? ? cos ?1[ ? 1]?1 A 2? Mmg

?
w

?

? ? Mm (b ? a)( M ? m)k . ?? ? cos ?1[ ? 1]?1 ? ( M ? m) k ? 2? Mmg ?
1 2
2

m 相对于 M 的速度为 v,有 mv ?

1 1 k' 4 ? mMg k ' x0 2 ? k ' A2 , v ? (b ? a)[b ? a ? ] 2 2 m k ( M ? m)

此后匀减:M加速度为-g?,则m相对于M的加速度为-2g? =a'
t2 ? ?v 1 ? a ?g k' 4? mMg (b ? a)[b ? a ? ], 最后t ? t1 ? t2 m k ( M ? m)
2 2

这时两者的相对速度为 v ', 有v ? v ' ? 2 ? 2? ga, v ' ?

M ?m k (b ? a)2 ? 4 g ?b Mm

5


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