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2013-2014学年高中数学人教A版选修1-1同步辅导与检测:1.1.1命题


◆数学?选修1-1?(配人教A版)◆

常用逻辑用语

1 .1

命题及其关系 命 题

1.1.1

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◆数学?选修1-1?(配人教A版)◆ 1.命题的定义
一般地,我们把用语言、符号或式子表达的,可 以________的陈述句叫做命题.其中 ________________叫做真命题,________________叫 做假命题. 思考:如何判断一个语句是不是命题? 答案:判断一个语句是不是命题,就是要看 它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假” 这两个条件。 2.命题的结构 本章中我们只讨论“若p,则q”这种形式的命 题.我们把这种形式的命题中的p叫做命题的________, 把q叫做命题的________. 1.判断真假 判断为真的语句 判断为假的语句

2.条件 结论 金品质?高追求

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1.命题定义的理解 判断一个语句是不是命题,就是要看它是否符合 “是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件. 2.正确写出命题的“若p,则q”的形式 数学中有一些命题虽然表面上不是“若p,则q”的 形式,但是把它的表述适当改变,就可以写成“若p, 则q”的形式.一个命题改为“若p,则q”形式时,改法 不一定唯一.

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判断下列语句是否是命题,并说明理由. (1)一条直线l,不是与平面α平行就是相交;

(2)4是集合{1,2,3,4}的元素;
(3)作△ABC∽△A′B′C′; (4)2010年亚运会举办城市是中国广州; (5)1是质数吗? 分析:判断一个语句是不是命题,就是看它是否 符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件.

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解析:(1)直线l与平面α有相交、平行和在平面内三种 位置关系,为假,是命题. (2)4是集合{1,2,3,4}的元素为真,是命题. (3)祈使句不是命题. (4)为真,是命题.

(5)疑问句不是命题
点评:一般地,能判断真假的陈述句是命题,感叹句、 疑问句、祈使句不是命题,能判断真假的反问句是命题.

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变式迁移 1.判断下列语句是否是命题,并说明理由. (1)三角函数是函数; (2)若a与b是无理数,则ab是无理数; (3)5x>7;

(4)刘翔是2010年亚运会110米栏的冠军;
(5)这件衣服好看吗?

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解析:(1)是陈述句,并且它是真的,因此它是命
题. (2)是陈述句,并且它是假的,因此它是命题.

(3)因为x是未知数,不能判断“5x>7”的真假,所以 不是命题.
(4)是陈述句,并且它是真的,因此它是命题.

(5)衣服好看不好看带有主观色彩,不能判断真假, 不是命题.

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2.判断下列命题的真假.
(1)x2+4x+4≥0; (2)正项等差数列的公差大于零; (3)奇函数的图象关于原点对称; (4)能被2整除的数一定能被4整除.

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解析:(1)因为x2+4x+4=(x+2)2≥0,所以是真命题. (2) 假命题.反例:若此数列为有限项的递减数列,如 数列:20,17,14,,11,它的公差却是:-3. (3)真命题.这是奇函数的性质. (4)假命题.反例:“2,6都能被2整除,但不能被4整 除”. 点评:判断一个命题是假命题时,只要能找出一个反例 就可以了;反之要判断一个命题为真命题,却要有严格的证 明.

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把下列命题改写成“若p,则q”的形式: (1)末位是0的整数,可以被5整除; (2)线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点 的距离相等; (3)有一个角为直角的平行四边形为矩形; (4)到圆心的距离不等于半径的直线不是圆的切 线.

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解析:(1)若一个整数的末位是0,则它可以被5整 除; (2)若一个点在线段的垂直平分线上,则它与这条 线段两个端点的距离相等; (3)若平行四边形的一个角为直角,则它是矩形; (4)若一条直线到圆心的距离不等于半径,则它不 是圆的切线.

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变式迁移

3.把下列命题改写成“若 p,则 q”的形式: a1?1-qn? (1)等比数列{an}的前 n 项和 sn= ; 1-q (2)平行于同一直线的两直线必平行; (3)垂直于同一平面的两条直线互相平行; (4)质数是奇数.

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a1?1-qn? (1)如果数列{an}是等比数列,则它的前 n 项和 Sn= ; 1-q (2)若两条直线同时和第三条直线平行,则这两条直线也平行; (3)如果两条直线都垂直于同一平面,则这两条直线平行; (4)若一个数是质数,则它是奇数.

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若l、m、n是互不相同的空间直线,α、β是不重合 的平面,则下列命题中为真命题的是( )

A.若α∥β,l?α,n?β,则l∥n
B.若α⊥β,l?α,则l⊥β C.若l⊥n,m⊥n,则l∥m D.若l⊥α,l∥β,则α⊥β 解析:A选项l与n可能异面;B选项l与β可能相交,也有 可能平行;C选项垂直于同一直线的两直线不一定平行. 答案:D

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变式迁移

4. (2013· 东莞二模 7)已知直线 m、 l, 平面 α、 β, 且 m⊥α, l?β,给出下列命题: ①若 α∥β,则 m⊥l;②若 α⊥β,则 m∥l; ③若 m⊥l,则 α∥β;④若 m∥l,则 α⊥β. 其中正确命题的个数是(B) A.1 B.2 C .3 D.4

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5.如右图,在四面体ABCD中,截面PQMN是正方 形,则在下列命题中,错误的为( )

A.AC⊥BD B.AC∥截面PQMN C.AC=BD

D.异面直线PM与BD所成的角为45°

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解析:由PQ∥AC,QM∥BD,PQ⊥QM可得 AC⊥BD,故A正确; 由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN,故B正确;

异面直线PM与BD所成的角等于PM与PN所成的角, 故D正确;
综上C是错误的,故选C. 答案:C

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基础训练

1.下列语句中,是命题的个数是( C ) ①求证: 3是无理数;②-5∈Z; ③ 5是无理数;④x2-4x+7≥0. A.1 B.2 C.3 D.4

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