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河南省顶级名校2017届高三上学期10月月考数学试卷(文科) Word版含答案


2016-2017 学年河南省顶级名校高三 10 月月考数学试卷 (上) (文 科)
一、选择题(每题 5 分,共 60 分) 1.已知集合 A={x|y= },A∩B=?,则集合 B 不可能是( )

A.{x|4x<2x+1} B.{(x,y)|y=x﹣1} C.{y=x﹣1} D.{y|y=log2(﹣x2+2x+1)} =a+bi(a,b∈R) ,则 log2(a﹣b)的值是( D. 和直线 在 y 轴右侧的交点按横坐标从小 ) )

2.i 是虚数单位,若 A.﹣1 B.1 3.曲线 C.0

到大依次记为 P1,P2,P3,…,则|P2P4|等于 ( A.π B.2π C.3π D.4π

4.一个几何体的三视图及尺寸如图所示,则该几何体的外接球半径为(



A.

B.

C.

D. )

5.某程序框图如图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数是(

1

A.f(x)=x2

B.f(x)=

C.f(x)=ex

D.f(x)=sinx

6. f 已知函数 f(x)=ax2﹣1 的图象在点 A(1, (1) )处的切线 l 与直线 8x﹣y+2=0 平行,若数列{ A. B. }的前 n 项和为 Sn,则 S2015 的值为( C. D. 上的任意 x1,x2,有如下条件: 恒成 )

7.已知函数 f(x)=x2﹣2cosx,对于 ①x1>x2; ② ;

③|x1|>x2; ④x1>|x2|,其中能使 )

立的条件个数共有(

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 8.已知 O 为坐标原点,双曲线 C: ﹣ =1(a>0,b>0)的左焦点为 F(﹣

c,0) (c>0) ,以 OF 为直径的圆交双曲线 C 的渐近线于 A,B,O 三点,且( + ) =0, 若关于 x 的方程 ax2+bx﹣c=0 的两个实数根分别为 x1 和 x2, 则以|x1|, )

|x2|,2 为边长的三角形的形状是( A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等腰直角三角形 9. F2 是双曲线 x2﹣ 设 F 1、 使( + )?

=1 的左、 右两个焦点, 若双曲线右支上存在一点 P, )

=0( O 为坐标原点)且且|PF1|=λ|PF2|,则 λ 的值为(

2

A.2

B.

C.3

D. 在其定义域内的一个子区间( a﹣1,a+1)内 )

10.已知函数

不是单调函数,则实数 a 的取值范围是( A. B. C. D.

11.在平面直角坐标系中,点 P 是由不等式组 的动点,M,N 是圆 x2+y2=1 的一条直径的两端点,则 A.4 B. C. D.7

所确定的平面区域内

的最小值为(



12.已知定义在[1,+∞)上的函数

,当 x∈[2n﹣1,

2n](n∈N*)时,函数 f(x)的图象与 x 轴围成的图象面积为 Sn,则 S1+S2+…+Sn= ( A.2n ) B.2n C.2n+1﹣2 D.n2+n

二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 13 .若数列 {an} 是正项数列,且 +…+ = . + + …+ =n2+3n ( n ∈ N* ) ,则 +

14.已知 P、A、B、C 是球 O 球面上的四点,△ABC 是正三角形,三棱锥 P﹣ABC 的体积为 ,且∠APO=∠BPO=∠CPO=30°,则球 O 的表面积为 ﹣ .

15.已知双曲线

=1(a>0,b>0)的一条渐近线与圆(x﹣3)2+y2=9 相 .

交于 A,B 两点,若|AB|=2,则该双曲线的离心率为 16.给出下列命题:

①函数 f(x)=x3+ax2+ax﹣a 既有极大值又有极小值,则 a<0 或 a>3; ②若 f(x)=(x2﹣8)ex,则 f(x)的单调递减区间为(﹣4,2) ; ③过点 A(a,a)可作圆 x2+y2﹣2ax+a2+2a﹣3=0 的两条切线,则实数 a 的取值范
3

围为 a<﹣3 或 a>1; ④双曲线 =1(a>0,b>0)的离心率为 e1,双曲线 . =1 的离心率

为 e2,则 e1+e2 的最小值为 2 其中为真命题的序号是 .

三、解答题(题型注释) 17.已知函数 f(x)=2sinx?cosx+2 cos2x﹣

(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调减区间; (2)已知△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,其中 a=7,若锐角 A 满足 f( ﹣ )= ,且 sinB+sinC= ,求 bc 的值. 的等差中项,

18.已知数列{an}是递增的等比数列,满足 a1=4,且 数列{bn}满足 bn+1=bn+1,其前 n 项和为 sn,且 S2+S6=a4 (1)求数列{an},{bn}的通项公式

(2)数列{an}的前 n 项和为 Tn,若不等式 nlog2(Tn+4)﹣λbn+7≥3n 对一切 n ∈N*恒成立,求实数 λ 的取值范围. 19.某市为增强市民的环境保护意识,面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合 25) 30) 条件的志愿者中随机抽取 100 名按年龄分组: 第 1 组[20, , 第 2 组[25, , 第 3 组[30,35) ,第 4 组[35,40) ,第 5 组[40,45],得到的频率分布直方图如 图所示. (1)若从第 3,4,5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参广场的宣传活动, 应从第 3,4,5 组各抽取多少名志愿者? (2)在(1)的条件下,该县决定在这 6 名志愿者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣 传经验,求第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率.

4

20. AB⊥AC, PA⊥平面 ABCD, 如图, 在底面为平行四边形的四棱锥 P﹣ABCD 中, 且 PA=AB,点 E 是 PD 的中点. (1)证明:AC⊥PB; (2)证明:PB∥平面 AEC; (3)求二面角 E﹣AC﹣B 的大小.

21.已知直线 l:y=x+1,圆 O:

,直线 l 被圆截得的弦长与椭圆 C: .

的短轴长相等,椭圆的离心率 e= (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 M(0,

)的动直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点,试问:在坐标平面

上是否存在一个定点 T,使得无论 l 如何转动,以 AB 为直径的圆恒过定点 T?若 存在,求出点 T 的坐标;若不存在,请说明理由. 22.已知函数 f(x)=ax+x2﹣xlna(a>0 且 a≠1) (1)求函数 f(x)在点(0,f(0) )处的切线方程; (2)求函数 f(x)单调区间; (3)若存在 x1,x2∈[﹣1,1],使得|f(x1)﹣f(x2)|≥e﹣1(e 是自然对数 的底数) ,求实数 a 的取值范围.

5

2016-2017 学年河南省顶级名校高三(上)10 月月考数 学试卷(文科)
参考答案与试题解+析

一、选择题(每题 5 分,共 60 分) 1.已知集合 A={x|y= },A∩B=?,则集合 B 不可能是( )

A.{x|4x<2x+1} B.{(x,y)|y=x﹣1} C.{y=x﹣1} D.{y|y=log2(﹣x2+2x+1)}

【考点】交集及其运算. 【分析】求出 A 中 x 的范围确定出 A,分别求出选项中集合 B,根据 A∩B=?,作 出判断即可. 【解答】解:由 A 中 y= ,得到 x﹣1≥0,

解得:x≥1,即 A={x|x≥1}, A、由集合中不等式变形得:22x=4x<2x+1,即 2x<x+1, 解得:x<1,即 B={x|x<1},满足 A∩B=?; B、B={(x,y)|y=x﹣1},满足 A∩B=?; C、B={y=x﹣1},满足 A∩B=?; D、由 y=log2(﹣x2+2x+1)=log2[﹣(x﹣1)2+2]≤1,即 B={y|y≤1}, 此时 A∩B={1},A∩B≠?, 故选:D.

2.i 是虚数单位,若 A.﹣1 B.1 C.0

=a+bi(a,b∈R) ,则 log2(a﹣b)的值是( D.



【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】把复数方程化简,利用复数相等的定义,求解方程组,可解得 a﹣b 的 值,再根据对数的性质即可求出. 【解答】解:因为
6



所以由复数相等的定义可知 所以 log2(a﹣b)=log22=1. 故选:B



3.曲线

和直线

在 y 轴右侧的交点按横坐标从小 )

到大依次记为 P1,P2,P3,…,则|P2P4|等于 ( A.π B.2π C.3π D.4π

【考点】二倍角的正弦;诱导公式的作用;余弦函数的对称性. 【分析】本题考查的知识点是诱导公式,二倍角公式及函数图象的交点,将 =sin2x+1 令 y= ,解得 x=k 入易得|P2P4|的值. 【解答】解:∵ =2sin(x﹣ =2cos(x﹣ =cos[2(x﹣ =sin2x+1 若 则 2x=2kπ+ x=k 故|P2P4|=π 故选:A = (k∈N) (k∈N) + )cos(x﹣ ) ) (k∈N) ,代

)cos(x﹣ )]+1

4.一个几何体的三视图及尺寸如图所示,则该几何体的外接球半径为(



7

A.

B.

C.

D.

【考点】球内接多面体;由三视图还原实物图. 【分析】由三视图可知:该几何体是一个如图所示的三棱锥(图中红色部分) , 它是一个正四棱锥的一半, 其中底面是一个两直角边都为 6 的直角三角形,高为 4.设其外接球的球心 O 必在高线 EF 上,利用外接球的半径建立方程,据此方 程可求出答案. 【解答】 解: 由三视图可知: 该几何体是一个如图所示的三棱锥 (图中红色部分) , 它是一个正四棱锥的一半, 其中底面是一个两直角边都为 6 的直角三角形,高 EF=4. 设其外接球的球心为 O,O 点必在高线 EF 上,外接球半径为 R, 则在直角三角形 AOF 中,AO2=OF2+AF2=(EF﹣EO)2+AF2, 即 R2=(4﹣R)2+(2 解得:R= 故选 C. )2,

8

5.某程序框图如图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数是(



A.f(x)=x2

B.f(x)=

C.f(x)=ex

D.f(x)=sinx

【考点】选择结构. 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知: 该程序的作用是输出满足条件①f(x)+f(﹣x)=0,即函数 f(x)为奇函数②f (x)存在零点,即函数图象与 x 轴有交点.逐一分析四个答案中给出的函数的 性质,不难得到正确答案. 【解答】解:∵A:f(x)=x2、C:f(x)=ex,不是奇函数,故不满足条件① 又∵B:f(x)= 的函数图象与 x 轴没有交点,故不满足条件② 而 D:f(x)=sinx 既是奇函数,而且函数图象与 x 也有交点, 故 D:f(x)=sinx 符合输出的条件 故选 D.

6. f 已知函数 f(x)=ax2﹣1 的图象在点 A(1, (1) )处的切线 l 与直线 8x﹣y+2=0 平行,若数列{ A. B. }的前 n 项和为 Sn,则 S2015 的值为( C. D. )

【考点】数列的求和;利用导数研究曲线上某点切线方程. =ax2﹣1 的图象在点 A f 【分析】 函数 f (x) (1, (1) ) 处的切线 l 与直线 8x﹣y+2=0

9

f x) =4x2﹣1, 平行, 可得 f′ (x) |x=1= (2ax) |x=1=2a=8, 解得 a. 可得 ( = .利用“裂项求和”即可得出.

=

【解答】解:∵函数 f(x)=ax2﹣1 的图象在点 A(1,f(1) )处的切线 l 与直线 8x﹣y+2=0 平行, ∴f′(x)|x=1=(2ax)|x=1=2a=8, 解得 a=4. ∴f(x)=4x2﹣1, f(n)=4n2﹣1. ∴ = = }的前 n 项和为 Sn= . +…+

∴数列{ = = .

则 S2015= 故选:C.



7.已知函数 f(x)=x2﹣2cosx,对于 ①x1>x2; ② ;

上的任意 x1,x2,有如下条件: 恒成

③|x1|>x2; ④x1>|x2|,其中能使 )

立的条件个数共有(

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【考点】函数的值. 【分析】利用导数可以判定其单调性,再判断出奇偶性,即可判断出结论. 【解答】解:∵f(x)=x2﹣2cosx,∴f′(x)=2x+2sinx, ∴当 x=0 时,f′(0)=0;当 x∈[﹣ 间上单调递减; ,0)时,f′(x)<0,函数 f(x)在此区

10

当 x∈(0,

]时,f′(x)>0,函数 f(x)在此区间上单调递增.

∴函数 f(x)在 x=0 时取得最小值,f(0)=0﹣1=﹣1. ∵x∈[﹣ , ],都有 f(﹣x)=f(x) ,∴f(x)是偶函数.

根据以上结论可得: ①当 x1>x2 时,则 f(x1)>f(x2)不成立; ②当 x12>x22 时,得|x1|>|x2|,则 f(|x1|)>f(|x2|) ,f(x1)>f(x2)恒成 立; ③当|x1|>x2 时,由函数 f(x)=x2﹣2cosx 是偶函数,知 f(x1)=f(|x1|)>f(x2) 不恒成立; ④x1>|x2|时,则 f(x1)>f(|x2|)=f(x2)恒成立. 综上可知:能使 f(x1)>f(x2)恒成立的有②④. 故选:B.

8.已知 O 为坐标原点,双曲线 C:



=1(a>0,b>0)的左焦点为 F(﹣

c,0) (c>0) ,以 OF 为直径的圆交双曲线 C 的渐近线于 A,B,O 三点,且( + ) =0, 若关于 x 的方程 ax2+bx﹣c=0 的两个实数根分别为 x1 和 x2, 则以|x1|, )

|x2|,2 为边长的三角形的形状是( A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等腰直角三角形 【考点】双曲线的简单性质.

【分析】运用向量的加减运算和数量积的性质可得|AF|=|AO|,△AOF 为等腰直 角三角形, 求得渐近线的斜率, 进而得到 c= a, 方程 ax2+bx﹣c=0 即为 x2+x﹣

=0,求得两根,求得平方,运用余弦定理,即可判断三角形的形状. 【解答】解:由( ( 即有 +
2

+



=0,可得

)?( ﹣
2



)=0,

=0,

即|AF|=|AO|,△AOF 为等腰直角三角形, 可得∠AOF=45°,
11

由渐近线方程 y=± x, 可得 =1,c= a, =0,

则关于 x 的方程 ax2+bx﹣c=0 即为 x2+x﹣ 即有 x1x2=﹣ ,x1+x2=﹣1, <4,

即有 x12+x22=1+2

可得以|x1|,|x2|,2 为边长的三角形的形状是钝角三角形. 故选:A.

9. F2 是双曲线 x2﹣ 设 F 1、 使( A.2 + B. )?

=1 的左、 右两个焦点, 若双曲线右支上存在一点 P, )

=0( O 为坐标原点)且且|PF1|=λ|PF2|,则 λ 的值为( C.3 D.

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】设点 P( ,m) ,由 =0 解出 m,根据双曲线

的第二定义得 e= 的值,即得 λ 值.

=

,求出|PF2|的值,再利用第一定义求出|PF1|

【解答】解:由题意得 e= . ,m) ,∵

a=1,b=2,∴c=

,F1(﹣

,0 ) , F2 (

,0 ) ,

设点 P( m) =1+

=(

+

,m)?(





﹣5+m2=0,m2=

,m=±



由双曲线的第二定义得 e=

=

,∴|PF2|=2,

12

∴|PF1|=2a+|PF2|=4,∴λ= 故选 A.

= =2,

10.已知函数

在其定义域内的一个子区间( a﹣1,a+1)内 )

不是单调函数,则实数 a 的取值范围是( A. B. C. D.

【考点】利用导数研究函数的单调性. 【分析】先求出函数的导数,令导函数为 0,求出 x 的值,得到不等式解出 k 的 值即可. 【解答】解:函数的定义域为(0,+∞) ,所以 a﹣1≥0 即 a≥1, f′(x)=2x﹣ = ,令 f′(x)=0,得 x= 或 x=﹣ (不在定义域内舍) ,

由于函数在区间(a﹣1,a+1)内不是单调函数,所以 ∈(a﹣1,a+1) , 即 a﹣1< <k+1,解得:﹣ <k< , 综上得 1≤k< , 故选:D

11.在平面直角坐标系中,点 P 是由不等式组 的动点,M,N 是圆 x2+y2=1 的一条直径的两端点,则 A.4 B. C. D.7

所确定的平面区域内

的最小值为(



【考点】简单线性规划;平面向量数量积的运算. 【分析】设出 M,N,P 的坐标,根据向量数量积的公式进行转化,利用数形结 合转化为线性规划进行求解即可. 【解答】解:∵M,N 是圆 x2+y2=1 的一条直径的两端点, ∴设 M(a,b) ,N(﹣a,﹣b) ,则满足 a2+b2=1,
13

设 P(x,y) , 则 =(a﹣x,b﹣y)?(﹣a﹣x,﹣b﹣y)=﹣(a﹣x) (a+x)﹣(b﹣y) (b+y)

=﹣a2+x2﹣b2+y2=x2+y2﹣(a2+b2)=x2+y2﹣1, 设 z=x2+y2,则 z 的几何意义是区域内的点到原点距离的平方, 作出不等式组对应的平面区域如图: 则原点到直线 x+y﹣4=0 的距离最小, 此时 d= 则 z=d2=(2 则 )2=8, =2 ,

=x2+y2﹣1=8﹣1=7,

故选:D.

12.已知定义在[1,+∞)上的函数

,当 x∈[2n﹣1,

2n](n∈N*)时,函数 f(x)的图象与 x 轴围成的图象面积为 Sn,则 S1+S2+…+Sn= ( A.2n ) B.2n C.2n+1﹣2 D.n2+n

【考点】分段函数的应用. 【分析】作出函数 f(x)的图象,求出三角形的高,结合三角形的面积公式进行 求解即可. 【解答】解:作出函数 f(x)在[1,+∞)上的图象如图:

14

当 n=1 时,x∈[1,2],此时三角形的高为 f( )=4,则 S1= ×1×4=2, 当 n=2 时,x∈[2,4],此时三角形的高为 f(3)= f( )= 2×2=2, 当 n=3 时,x∈[4,8],此时三角形的高为 f(6)= f(3)= 4×1=2, 综上当 x∈[2n﹣1,2n](n∈N*)时,函数 f(x)的最高点为 23﹣n,与 x 轴围成的 面积为 Sn= ×23﹣n×2n﹣1=2. 则 S1+S2+…+Sn=2+2+…+2=2n, 故选:B 2=1,则 S3= × 4=2,则 S2= ×

二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 13 .若数列 {an} 是正项数列,且 +…+ = 2n2+6n . + + …+ =n2+3n ( n ∈ N* ) ,则 +

【考点】数列的求和. 【分析】根据题意先可求的 a1 ,进而根据题设中的数列递推式求得 +…+ +

=(n﹣1)2+3(n﹣1)与已知式相减即可求得数列{an}的通项公式, }的通项公式,可知是等差数列,进而根据等差数列的求和公

进而求得数列{ 式求得答案.

【解答】解:令 n=1,得

=4,∴a1=16.

15

当 n≥2 时, + +…+ =(n﹣1)2+3(n﹣1) .

与已知式相减,得 =(n2+3n)﹣(n﹣1)2﹣3(n﹣1)=2n+2, ∴an=4(n+1)2,n=1 时,a1 适合 an. ∴an=4(n+1)2, ∴ ∴ =4n+4, + +…+ = =2n2+6n.

故答案为 2n2+6n

14.已知 P、A、B、C 是球 O 球面上的四点,△ABC 是正三角形,三棱锥 P﹣ABC 的体积为 ,且∠APO=∠BPO=∠CPO=30°,则球 O 的表面积为 16π .

【考点】球的体积和表面积. 【分析】设△ABC 的中心为 S,球 O 的半径为 R,△ABC 的边长为 2a,由已知条 件推导出 a= R,再由三棱锥 P﹣ABC 的体积为 的表面积. 【解答】解:如图,P,A,B,C 是球 O 球面上四点,△ABC 是正三角形, 设△ABC 的中心为 S,球 O 的半径为 R,△ABC 的边长为 2a, ∵∠APO=∠BPO=∠CPO=30°, OB=OP=R, ∴OS= ,BS= ∴ = , ,解得 a= R,2a= R, , = , ,求出 R=2,由此能求出球 O

∵三棱锥 P﹣ABC 的体积为 ∴ 解得 R=2, ∴球 O 的表面积 S=4πR2=16π.

16

故答案为:16π.

15.已知双曲线



=1(a>0,b>0)的一条渐近线与圆(x﹣3)2+y2=9 相 3 .

交于 A,B 两点,若|AB|=2,则该双曲线的离心率为 【考点】双曲线的简单性质.

【分析】双曲线的渐近线方程为:bx﹣ay=0,取 AB 中点为 M,圆心 C 到 M 的距 离丨 CM 丨=2 , =tan∠BAC=2 ,双曲线的离心率 e= = ,即可求得

双曲线的离心率. 【解答】解:由题意知,双曲线过第一、三象限的渐近线方程为 bx﹣ay=0,取 AB 中点为 M,如图所示,

由勾股定理,可知圆心 C(3,0) ,到 M 的距离丨 CM 丨=2 ∴ =tan∠BAC=2 , = =3,



双曲线的离心率 e= = 故答案为:3.

16.给出下列命题: ①函数 f(x)=x3+ax2+ax﹣a 既有极大值又有极小值,则 a<0 或 a>3;

17

②若 f(x)=(x2﹣8)ex,则 f(x)的单调递减区间为(﹣4,2) ; ③过点 A(a,a)可作圆 x2+y2﹣2ax+a2+2a﹣3=0 的两条切线,则实数 a 的取值范 围为 a<﹣3 或 a>1; ④双曲线 =1(a>0,b>0)的离心率为 e1,双曲线 . . =1 的离心率

为 e2,则 e1+e2 的最小值为 2 其中为真命题的序号是

①②④

【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】①根据函数极值和导数之间的关系进行判断. ②令 f′(x)=(x+4) (x﹣2)ex<0,解得即可得出 f(x)的单调递减区间; ③根据点与圆的位置关系进行判断. ④由于 e1+e2= + = ≥ 即可判断出.

【解答】解:①∵f(x)=x3+ax2+ax﹣a,∴f′(x)=3x2+2ax+a 若函数 f(x)=x3+ax2+ax﹣a 既有极大值又有极小值 ∴△=(2a)2﹣4×3×a>0,∴a>3 或 a<0,故①正确, ②若 f(x)=(x2﹣8)ex,则 f′(x)=(x2+2x﹣8)ex,由 f′(x)<0, 得 x2+2x﹣8<0.即﹣4<x<2,即 f(x)的单调递减区间为(﹣4,2) ;故②正 确, ③过点 A(a,a)可作圆 x2+y2﹣2ax+a2+2a﹣3=0 的两条切线, 则点 A 在圆的外部,圆的标准方程为(x﹣a)2+y2=3﹣2a, 可得圆心 P 坐标为(a,0) ,半径 r= ∵点 A 在圆外,是|AP|= ,且 3﹣2a>0,即 a< , >r= ,

即有 a2>3﹣2a,整理得:a2+2a﹣3>0,即(a+3) (a﹣1)>0, 解得:a<﹣3 或 a>1,又 a< , 可得 a<﹣3 或 1<a< ,故③错误; ④双曲线 =1 的离心率为 e1,双曲线 =1 的离心率为 e2,

18

则 e1+e2= 最小值为 2

+ ,正确.

=



=2

, 当且仅当 a=b 时取等号. 其

故答案为:①②④.

三、解答题(题型注释) 17.已知函数 f(x)=2sinx?cosx+2 cos2x﹣

(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调减区间; (2)已知△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,其中 a=7,若锐角 A 满足 f( ﹣ )= ,且 sinB+sinC= ,求 bc 的值.

【考点】余弦定理;三角函数中的恒等变换应用;正弦定理. 【分析】 (1)f(x)解+析式利用二倍角正弦、余弦函数公式化简,再利用两角 和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,找出 ω 的值,代入周期公式求 出最小正周期,由正弦函数的单调性确定出 f(x)的单调递减区间即可; (2) 由f (x) 解+析式, 以及 f ( ﹣ = ) , 求出 A 的度数, 将 sinB+sinC= ,

利用正弦定理化简,求出 bc 的值即可. 【解答】解: (1)f(x)=2sinx?cosx+2 ∵ω=2,∴f(x)的最小正周期 T=π, ∵2kπ+ ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z, ,kπ+ )+ ],k∈Z; ]=2sinA= ,即 sinA= , cos2x﹣ =sin2x+ cos2x=2sin(2x+ ) ,

∴f(x)的单调减区间为[kπ+ (2)由 f( ﹣ ∵A 为锐角,∴A= 由正弦定理可得 2R= ∴b+c= × =13,

)=2sin[2( ﹣ , = =

,sinB+sinC=

=



由余弦定理可知:cosA=

=

= ,

19

整理得:bc=40.

18.已知数列{an}是递增的等比数列,满足 a1=4,且 数列{bn}满足 bn+1=bn+1,其前 n 项和为 sn,且 S2+S6=a4 (1)求数列{an},{bn}的通项公式

的等差中项,

(2)数列{an}的前 n 项和为 Tn,若不等式 nlog2(Tn+4)﹣λbn+7≥3n 对一切 n ∈N*恒成立,求实数 λ 的取值范围. 【考点】数列与不等式的综合. 【分析】 (1)利用 的等差中项,求出公比,可求数列{an}的通项

公式;数列{bn}为等差数列,公差 d=1,可求数列{bn}的通项公式; (2) 不等式 nlog( ﹣λbn+7≥3n 化为 n2﹣n+7≥λ (n+1) , 可得 2 Tn+4) 对一切 n∈N*恒成立,利用不等式,即可得出结论. 【解答】解: (1)设等比数列{an}的公比为 q,则 ∵ ∴ ∵q>1,∴q=2,∴ 依题意,数列{bn}为等差数列,公差 d=1 又 ∴b1=2,∴bn=n+1… (2)∵ . , 是 a2 和 a4 的等差中项, ,

不等式 nlog2(Tn+4)﹣λbn+7≥3n 化为 n2﹣n+7≥λ(n+1) ∵n∈N*… ∴ 对一切 n∈N*恒成立.

20

而 当且仅当 ,

即 n=2 时等式成立, ∴λ≤3…

19.某市为增强市民的环境保护意识,面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合 25) 30) 条件的志愿者中随机抽取 100 名按年龄分组: 第 1 组[20, , 第 2 组[25, , 第 3 组[30,35) ,第 4 组[35,40) ,第 5 组[40,45],得到的频率分布直方图如 图所示. (1)若从第 3,4,5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参广场的宣传活动, 应从第 3,4,5 组各抽取多少名志愿者? (2)在(1)的条件下,该县决定在这 6 名志愿者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣 传经验,求第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率.

【考点】频率分布直方图;古典概型及其概率计算公式. 【分析】 (1)先分别求出这 3 组的人数,再利用分层抽样的方法即可得出答案; (2)利用古典概型的概率计算公式、互斥事件及相互独立事件的概率计算公式 即可得出. 4, 5 组中的人数分别为 0.06×5×100=30, 0.04×5×100=20, 【解答】 解: (1) 第 3, 0.02×5×100=10. 从第 3,4,5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者,应从第 3,4,5 组各抽取 人数为 , , =1;

21

(2)设“第 4 组至少有一名志愿者被抽中”为事件 A,则 P(A)=

= .

20. AB⊥AC, PA⊥平面 ABCD, 如图, 在底面为平行四边形的四棱锥 P﹣ABCD 中, 且 PA=AB,点 E 是 PD 的中点. (1)证明:AC⊥PB; (2)证明:PB∥平面 AEC; (3)求二面角 E﹣AC﹣B 的大小.

【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的性 质. 【分析】 (1)利用线面垂直的性质及判定定理,即可证明 AC⊥平面 PAB,从而 可得 AC⊥PB; (2) 连结 BD, 与 AC 相交于 O, 连结 EO, 证明 PB∥EO, 即可证明 PB∥平面 AEC; (3)过 O 作 FG∥AB,交 AD 于 F,交 BC 于 G,则∴∠EOG 是二面角 E﹣AC﹣B 的平面角,连结 EF,即可求二面角 E﹣AC﹣B 的大小. 【解答】 (1)证明:∵PA⊥平面 ABCD,AC 在平面 ABCD 内,∴AC⊥PA 又 AC⊥AB,PA∩AB=A,∴AC⊥平面 PAB 又 PB 在平面 PAB 内,∴AC⊥PB (2)证明:连结 BD,与 AC 相交于 O,连结 EO ∵ABCD 是平行四边形,∴O 是 BD 的中点 又 E 为 PD 中点,∴PB∥EO 又 PB 在平面 AEC 外,EO 在 AEC 平面内,∴PB∥平面 AEC (3)解:过 O 作 FG∥AB,交 AD 于 F,交 BC 于 G,则 F 为 AD 中点 ∵AB⊥AC,∴OG⊥AC 又由 (1) (2)知,AC⊥PB,EO∥PB,
22

∴AC⊥EO ∴∠EOG 是二面角 E﹣AC﹣B 的平面角 连结 EF,在△EFO 中, 又 PA=AB,EF⊥FO,∴∠EOF=45° ∴∠EOG=135°,即二面角 E﹣AC﹣B 的大小为 135°.

21.已知直线 l:y=x+1,圆 O:

,直线 l 被圆截得的弦长与椭圆 C: .

的短轴长相等,椭圆的离心率 e= (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 M(0,

)的动直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点,试问:在坐标平面

上是否存在一个定点 T,使得无论 l 如何转动,以 AB 为直径的圆恒过定点 T?若 存在,求出点 T 的坐标;若不存在,请说明理由. 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;直线与圆相交的性质. 【分析】 (Ⅰ)由题设可知 b=1,利用 ,即可求得椭圆 C 的方程;

(Ⅱ)先猜测 T 的坐标,再进行验证.若直线 l 的斜率存在,设其方程代入椭圆 的方程,消去 y 得到关于 x 的一元二次方程,再结合根系数的关系利用向量的坐 标运算公式即可证得. 【解答】解: (Ⅰ)则由题设可知 b=1, 又 e= ,∴ = ,∴a2=2 +y2=1.…

所以椭圆 C 的方程是

(Ⅱ)若直线 l 与 y 轴重合,则以 AB 为直径的圆是 x2+y2=1①

23

若直线 l 垂直于 y 轴,则以 AB 为直径的圆是 由①②解得 .

②…

由此可知所求点 T 如果存在,只能是(0,1) .… 事实上点 T(0,1)就是所求的点.证明如下: 当直线 l 的斜率不存在,即直线 l 与 y 轴重合时,以 AB 为直径的圆为 x2+y2=1, 过点 T(0,1) ; 当直线 l 的斜率存在, 设直线方程为 x2﹣12kx﹣16=0 设点 A、B 的坐标分别为 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 x1+x2= ∵ ∴ = ∴ ,即以 AB 为直径的圆恒过定点 T(0,1) .… =(x1,y1﹣1) , =(x2,y2﹣1) ( x1+x2 ) + ,x1x2= , 代入椭圆方程, 并整理, 得 (18k2+9)

=x1x2+ ( y1 ﹣ 1 ) ( y2 ﹣ 1 ) = ( k2+1 ) x1x2 ﹣

综上可知,在坐标平面上存在一个定点 T(0,1)满足条件.…

22.已知函数 f(x)=ax+x2﹣xlna(a>0 且 a≠1) (1)求函数 f(x)在点(0,f(0) )处的切线方程; (2)求函数 f(x)单调区间; (3)若存在 x1,x2∈[﹣1,1],使得|f(x1)﹣f(x2)|≥e﹣1(e 是自然对数 的底数) ,求实数 a 的取值范围. 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】 (1)先求 f′(x) ,再计算 f′(0) ,和 f(0) ,即可得到切线方程; (2)先求函数的导数 f′(x)=axlna+2x﹣lna=2x+(ax﹣1)lna,并且 f′(0)=0, 判断零点两侧的正负,得到单调区间; (3)将存在性问题转化为|f(x1)﹣f(x2)|max≥e﹣1,即 f(x)max﹣f(x)min ≥e﹣1,
24

根据上一问的单调性得到最小值 f(0) ,再计算端点值 f(﹣1)和 f(1)比较大 小.因为 , 求其导数,分情况比较大小,计算 a 的取值范围. 【解答】解: (1)因为函数 f(x)=ax+x2﹣xlna(a>0,a≠1) , 所以 f′(x)=axlna+2x﹣lna,f′(0)=0, 又因为 f(0)=1,所以函数 f(x)在点(0,f(0) )处的切线方程为 y=1; (2)由(1) ,f′(x)=axlna+2x﹣lna=2x+(ax﹣1)lna. 当 a>1 时,lna>0, (ax﹣1)lna 在 R 上递增; 当 0<a<1 时,lna<0, (ax﹣1)lna 在 R 上递增; 故当 a>0,a≠1 时,总有 f′(x)在 R 上是增函数, 又 f′(0)=0,所以不等式 f′(x)>0 的解集为(0,+∞) , 故函数 f(x)的单调增区间为(0,+∞) ,递减区间为 (﹣∞,0) ; (3)因为存在 x1,x2∈[﹣1,1],使得|f(x1)﹣f(x2)|≥e﹣1 成立, 而当 x∈[﹣1,1]时,|f(x1)﹣f(x2)|≤f(x)max﹣f(x)min, 所以只要 f(x)max﹣f(x)min≥e﹣1 即可. 又因为 x,f'(x) ,f(x)的变化情况如下表所示: x (﹣∞, 0) f′(x) f(x) ﹣ 减函数 0 极小值 + 增函数 0 (0,+∞) ,再令令

可得 f(x)在[﹣1,0]上是减函数,在[0,1]上是增函数, 所以当 x∈[﹣1,1]时,f(x)的最小值 f(x)min=f(0)=1, f(x)的最大值 f(x)max 为 f(﹣1)和 f(1)中的最大值. 因为 令 所以 ,因为 在 a∈(0,1) 、 (1,+∞)上是增函数. , ,

而 g(1)=0,故当 a>1 时,g(a)>0,即 f(1)>f(﹣1) ;
25

当 0<a<1 时,g(a)<0,即 f(1)<f(﹣1) . 所以,当 a>1 时,f(1)﹣f(0)≥e﹣1,即 a﹣lna≥e﹣1, 函数 y=a﹣lna 在 a∈(1,+∞)上是增函数,解得 a≥e; 当 0<a<1 时,f(﹣1)﹣f(0)≥e﹣1,即 函数 在 a∈(0,1)上是减函数,解得 , . .

综上可知,所求 a 的取值范围为

2017 年 2 月 14 日

26


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