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2016届高三文科数学试题(14)

2016 届高三文科数学试题(14)
本试卷共 4 页,24 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己 的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1.若 a 为实数,且

A . ?2 A . ?1,, 5 6?

1 ? ai ? i ,则 a ? 2?i B .1

C . ?1

D .2

2.集合 U ? ?1 ,, 2 3,,, 4 5 6? , A ? ?2, 3? , B ? x ? Z x 2 ? 6 x ? 5 ? 0 ,则 CU ? A? B? ?

?

?

B . ?1,,, D . ?1, C . ?2,, 4 5 6? 3 4? 6? uuu r uuu r 3.已知点 A ? 0,1? , B ? 2,1? ,向量 AC ? ? ?3, ?2 ? ,则向量 BC ? A . ? 5, 2 ? B . ? ?5, ?2?

C . ? ?1, 2?
B .充分不必要条件

D . ?1, 2 ?

4.设 p : x ? 4 , q : 0 ? x ? 4 ,则 p 是 q 成立的

A .充分必要条件

C .必要不充分条件
2

D .既不充分也不必要条件
B . (1, 0)

5.已知抛物线 x ? 2ay ( a 为常数)的准线经过点 (1, ? 1) ,则抛物线的焦点坐标为

A . (?1, 0)

C . (0, ? 1)

D . (0, 1)

6.已知等比数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? a ? 2n ?1 ?

A .?

1 3

B.

1 3

1 ,则 a 的值为 6 1 1 D. C .? 2 2

7.某单位为了了解办公楼用电量 y (度)与气温 x (oC)之间的关系,随机统计了四个工作日的 用电量与当天平均气温,并制作了对照表: 气温(oC) 用电量(度)

18
24

13 34

10 38

?1

64
0

由表中数据得到线性回归方程 $ y ? ?2x ? a ,当气温为 ?4 C 时,预测用电量约为

A . 68 度

B . 52 度

C . 12 度

D . 28 度

8.下列程序框图中,输出的 A 的值

1

1 34 ? 9.已知 ?ABC 中,内角 A , B , C 所对的边长分别为 a , b , c ,若 A ? ,且 b ? 2a cos B , 3 c ? 1 ,则 ?ABC 的面积等于 3 3 A. B. 4 2 3 3 D. C. 6 8 10.某几何体的三视图如图所示,图中的四边形都是边长为 2 的
A. B.

1 28

1 29

C.

1 31

D.

正方形,两条虚线互相垂直,则该几何体的体积是

A.

16 3

B.

C .8 ?

? 6

20 3

D .8 ?

? 3

11.已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ( ? ? 0, ? ? 图象可由 y ? cos 2 x 的图象

?
2

)的部分图像如图所示,则 y ? f ( x) 的

? 个长度单位 3 ? B .向左平移 个长度单位 3 ? C .向右平移 个长度单位 6 ? D .向左平移 个长度单位 第 11 题图 6 ?? x 2 ? 3x ? 2, ?3 ? x ? 1, ? 12.已知函数 f ( x) ? ? ,若 g ( x) ? ax ? | f ( x) | 的图像与 x 轴有 3 1 ln , 1? x ? 3 ? x ? 个不同的交点,则实数 a 的取值范围是 ln 3 1 1 1 ln 3 1 A .[ B . (0, ) D .[ C . (0, ) , ) , ) 3 e 2e e 3 2e
A .向右平移

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13--21 题为必考题,每个试题考生都必须作答。 第 22--24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题(本大概题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.函数 f ? x ? ? sin 2 x ? 2 3 sin x 的最大值为
2



2

?x ? y ? 1 ? 14.若变量 x,y 满足约束条件 ? y ? x ? 1 ,则 z ? 2 x ? y 的最小值为 ? x ?1 ?
15.已知直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, ?BAC ? 90 ,侧面
0



BCC1B1 的面积为 2 ,则直三棱柱 ABC ? A1B1C1 外接球表
面积的最小值为 16.如图, F1 、 F2 是双曲线 .

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的 a2 b2 左、右焦点,过 F1 的直线 l 与双曲线的左右两支分别交 于点 A 、 B .若 ?ABF2 为等边三角形,则双曲线的离心
率为 . 第 16 题图

三、解答题(本大题共 6 个小题, 共 70 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步 骤.) 17.(本小题满分 12 分) 已知 ?an ? 是公差不为零的等差数列,且 a1 ? 2 , a1 , a5 , a17 成等比数列.
a

(1)求数列 ?an ? 的通项公式;

(2)设 bn ? 2 n ? an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . 18.(本小题满分 12 分) 为备战某次运动会,某市体育局组建了一个由 4 个男运动员和 2 个女运动员组成的 6 人代表队并进行备战训练. (1)经过备战训练,从 6 人中随机选出 2 人进行成果检验,求选出的 2 人中至少有 1 个女运动员的概率; 乙 (2) 检验结束后, 甲、 乙两名运动员的成绩如下: 甲 甲: 70 , 68 , 74 , 71 , 72 6 乙: 70 , 69 , 70 , 74 , 72 根据两组数据完成图示的茎叶图, 并通过计 7 算说明哪位运动员的成绩更稳定. 第 18 题图 19.(本小题满分 12 分) 已 知 四 边 形 A B C D为 平 行 四 边 形 , BD ? AD ,

BD ? AD , AB ? 2 ,四边形 ABEF 为正方形,且平面
ABEF ? 平面 ABCD .
(1)求证: BD ? 平面 ADF ; (2)若 M 为 CD 中点,证明:在线段 EF 上存在点 N , 使 得 MN ∥ 平 面 A D F, 并 求 出 此 时 三 棱 锥

N ? ADF 的体积.

3

20.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ? ax ? b? e ( e 为自然对数的底数) , 曲线 y ? f ? x ? 在点 0, f ? 0? 处
x

?

?

的切线方程为 y ? ? x ? 2 . (1)求 a , b 的值; (2)任意 x1 , x2 ??0, 2? 时,证明: | f ? x1 ? ? f ? x2 ? |? e . 21.(本小题满分 12 分) 已 知 圆 C 的 圆 心 为 C ? m,0? , m ? 3 , 半 径 为 圆 E:

5,圆 C 与离心率 e ?

1 的椭 2

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的其中一个公共点为 A ? 3,1? , F1 、 F2 分别是椭圆的左、 a 2 b2

右焦点. (1)求圆 C 的标准方程;

(2)若点 P 的坐标为 ? 4, 4 ? ,试探究直线 PF1 与圆 C 能否相切,若能,求出椭圆 E 和直 线 PF1 的方程;若不能,请说明理由.

请考生从第 22、23、24 三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做, 则按所做的第一个题目计分.做答时请写请题号。 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, AB 是⊙ O 的直径, C 是弧 BD 的中点, CE ? AB , 垂足为 E , BD 交 CE 于点 F . (1)求证: CF ? BF ; (2)若 AD ? 4 ,⊙ O 的半径为 6,求 BC 的长. 第 22 题图 23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中, 曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 3 cos ? ? , ( ? 为参数) , 以原点 O 为 ? ? y ? sin ?

极 点 , x 轴 正 半 轴 为 极 轴 , 建 立 极 坐 标 系 , 曲 线 C2 的 极 坐 标 方 程 为

) ? 4 2. 4 (1) 求曲线 C1 的普通方程与曲线 C 2 的直角坐标方程; (2) 设 P 为曲线 C1 上的动点,求点 P 到 C 2 上点的距离的最小值 .
24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? 2 x ? 1 ? x ? 4 . (1)解不等式: f ( x) ? 0 ; (2)若

? sin(? ?

?

f ( x) ? 3 x ? 4 ? m 对一切实数 x 均成立,求 m 的取值范围.

4

数学(文科)参考答案
说明:1.参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与参考答案 不同,可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答 未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不 得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误, 就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 题号 答案 1 D 2 B 3 B 4 C 5 D 6 A 7 A 8 C 9 A 10 B 11 A 12 A

三、填空题(本大概题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 2 ? 3 14. ?1 15. 4? 16.

7

三、解答题:本大题共 5 小题,满分 60 分.解答应写出文字说明过程或演算步骤。 17. (本小题满分12分) 解:(1)设等差数列 ?an ? 的公差为 d , ………………1 分 ………………2 分 ………………3 分 ………………4 分 ………………5 分 ………………6 分

由 a1 , a5 , a17 成等比数列得: a52 ? a1 ? a17 , 即 ? 2 ? 4d ? ? 2 ? ? 2 ? 16d ? ,
2

整理得 d ? d ?1? ? 0 ,

Q d ? 0 ,? d ? 1
∴ an ? 2 ? ? n ?1? ?1 ? n ?1 . (2)由(1)可得 bn ? 2n +1 ? n +1 . 所以 Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ??? ? bn

= ? 22 +1+1? + ? 23 + 2+1? + ? 24 + 3+1? + L + ? 2n ?1 ? n ? 1?

………………7 分 ………………9 分 ………………11 分 ………………12 分

? ? 22 ? 23 ? 24 ? ??? ? 2n ?1 ? ? ?1 ? 2 ? 3 ? ??? ? n ? ? n

?

22 ? 2n ?1 ? 2 n ? ?1 ? n ? ? ?n 1? 2 2
n ?1 ? n ? ?n?4 2

? 2n ? 2 ?

18. (本小题满分 12 分) 解: (1)把 4 个男运动员和 2 个女运动员分别记为 a1 , a2 , a3 , a4 和 b1 , b2 .………………1 分

5

则基本事件包括 ? a1, a2 ? , ? a1 , a3 ? , ? a1, a4 ? , ? a1 , b2 ? , ? a2 , a3 ? , ? a2 , b1 ? , ? a1, b1 ? , ? a2 , a4 ? ,

? a2 , b2 ? , ? a3 , a4 ? , ? a3 , b1 ? , ? a3 , b2 ? , ? a4 , b1 ? , ? a4 , b2 ? , ?b1, b2 ? ,共 15 种.
………………3 分 其中至少有 1 个女运动员的情况有 9 种, 故至少有 1 个女运动员的概率 P ? (2)茎叶图如图所示. ………………4 分 ………………5 分

9 3 ? . 15 5

………………7 分 设甲运动员的平均成绩为 x甲 ,方差为 s甲2 ,乙运动员的平均成绩为 y乙 ,方差为 s乙2 , 可得 x甲 ?

68 ? 70 ? 71 ? 72 ? 74 ? 71 , ………………8 分 5 69 ? 70 ? 70 ? 72 ? 74 y乙 ? ? 71 , ………………9 分 5 1 2 2 2 2 2 s甲2 = ?? 68 ? 71? ? ? 70 ? 71? ? ? 71 ? 71? ? ? 72 ? 71? ? ? 74 ? 71? ? ? 4 ,…………10 分 ? ? 5 1 2 2 2 2 2 s乙2 = ?? 69 ? 71? ? ? 70 ? 71? ? ? 70 ? 71? ? ? 72 ? 71? ? ? 74 ? 71? ? ? 3.2 .………11 分 ? ? 5
………………12 分

Q x甲 = y乙 , s甲2 ? s乙2 ,故乙运动员的成绩更稳定.
19. (本小题满分 12 分) 解:(1)证:正方形 ABEF 中,AF⊥AB, ∵平面 ABEF⊥平面 ABCD,又 AF ? 平面 ABEF, 平面 ABEF ? 平面 ABCD=AB, ∴AF⊥平面 ABCD. 又∵BD ? 平面 ABCD, ∴AF⊥BD. ……………… 3 分 ………………4 分 ∴ BD ? 平面 ADF. ………………5 分 (Ⅱ)解:当 N 为线段 EF 中点时,MN∥平面 ADF.………………6 分 证明如下:正方形 ABEF 中,NF // 又 BD ? AD ,AF ? AD=A,AF、AD ? 平面 ADF, ………………1 分 ………………2 分

1 1 BA,平行四边形形 ABCD 中,MD // BA, 2 2
………………7 分

? NF // MD,? 四边形 NFDM 为平行四边形, ? MN//DF. 又 DF ? 平面 ADF,MN ? 平面 ADF,
6

∴MN//平面 ADF, 过 D 作 DH ? AB 于 H,

………………8 分

∵平面 ABEF⊥平面 ABCD, 又 DH ? 平面 ABCD, 平面 ABEF ? 平面 ABCD=AB, ∴DH⊥ 平面 ABEF. 在 Rt?ABD 中,AB=2,BD=AD,∴DH=1, 所以 VN ? ADF ? VD ? ANF ? ………………9 分 ………………10 分

1 1 1 1 DH ? S ?ANF ? ? 1? ? 1? 2 ? .………………12 分 3 3 2 3
x

20. (本小题满分 12 分) 解: (1) Q f ? x ? ? ? ax ? b? e

? f ? 0? ? b

………………1 分 ………………2 分 ………………3 分 ………………4 分 ………………5 分

f ' ? x ? ? aex ? ? ax ? b? ex , ? f ' ? 0? ? a ? b ,
? a ? b ? ?1

又切线 y ? ? x ? 2 过切点 ? 0, b ? , ? b ? ?2 , 代入 a ? b ? ?1 得 a ? 1 . (2)证明:由(1)知, f ( x) ? ( x ? 2)e x , f '( x) ? ( x ? 1)e x .

当 x ? ?0,1? 时, f ' ( x) ? ( x ? 1)e x ? 0 , f ( x) 在区间 ?0,1? 单调递减; ………………6 分 当 x ? ?1, 2? 时, f '( x) ? ( x ?1)e x ? 0 , f ( x) 在区间 ?1, 2? 单调递增. ………………7 分 所以在区间 ? 0, 2? 上, f ( x ) 的最小值为 f (1) ? ?e . 又 f (0) ? ?2 , f (2) ? 0 , 所以在区间 ? 0, 2? 上, f ( x ) 的最大值为 f (2) ? 0 . 对于 x1 , x2 ??0, 2? ,有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f max ( x) ? f min ( x) . 所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? (?e) ? e . 21. (本小题满分 12 分)
2 解(1)由已知可设圆 C 的方程为 ? x ? m ? ? y ? 5 ? m ? 3? , 2

………………8 分

………………10 分

………………12 分

………………1 分

将点 A 的坐标代入圆 C 的方程,得 ? 3 ? m ? ? 1 ? 5 ,
2

即 ? 3 ? m ? ? 4 ,解得 m ? 1 或 m ? 5 ,
2

Q m ? 3 ,? m ? 1 .

………………2 分
2

? 圆 C 的方程为 ? x ? 1? ? y 2 ? 5 .

………………3 分

(2)直线 PF1 与圆 C 相切,依题意设直线 PF1 的方程为 y ? k ? x ? 4? ? 4 ,
7

即 kx ? y ? 4k ? 4 ? 0 , 若直线 PF1 与圆 C 相切,则

………………4 分

k ? 0 ? 4k ? 4 k 2 ?1

? 5.

………………5 分

? 4k 2 ? 24k ? 11 ? 0 ,解得 k ?
当k ? 当k ?

11 1 或k ? . 2 2

………………6 分

11 36 时,直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为 ,不合题意,舍去.………………7 分 2 11 1 时,直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为 ?4 , 2
………………8 分 ………………9 分

? c ? 4 , F1 ? ?4,0? , F2 ? 4,0? . ? 由椭圆的定义得 2a ? AF1 ? AF2 ? ? a ? 3 2 ,? e ?
4 3 2 ?

? 3 ? 4?

2

? 12 ?

?3 ? 4?

2

? 12 ? 6 2 ,……10 分

2 2 1 ? ,故直线 PF1 能与圆 C 相切.………………11 分 3 2
x2 y 2 ? ? 1 .………………12 分 18 2

? 直线 PF1 的方程为 x ? 2 y ? 4 ? 0 ,椭圆 E 的方程为

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时 请写清题号。 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 (1)证法一:连接CO交BD于点M,如图1 ∵C为弧BD的中点,∴OC⊥BD 又∵OC=OB,∴RtΔCEO≌RtΔBMO ∴∠OCE=∠OBM 又∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC ∴∠FBC=∠FCB,∴CF=BF 证法二:延长CE 交圆O于点N,连接BN,如图2 ∵AB是直径且CN⊥AB于点E. ∴∠NCB=∠CNB 又∵C为弧BD的中点 ∴∠CBD=∠CNB ∴∠NCB=∠CBD 即∠FCB=∠CBF ∴CF=BF ∴OM=2OE
8

………………1分 ………………2分 ………………3分 ………………4分 ………………5分 ……………1分

……………2分 ………………3分 ………………4分 ………………5分

(2)∵O,M分别为AB,BD的中点

∴EB=4

………………7分 ………………9分 ………………10分

在Rt△COE中, CE ? OC 2 ? OE 2 ? 4 2 ∴在Rt△CEB中, BC ? CE 2 ? BD2 ? 4 3 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

? x ? 3 cos? 解: (1)由曲线 C1 : ? ? y ? sin ?
即:曲线 C1 的普通方程为: 由曲线 C 2 : ? sin(? ?

? x ? cos? ? 得? 3 ? ? y ? sin ?
………………2分 ………………4分 ………………5分

x2 ? y2 ? 1 3

) ? 4 2 得: 2 ? (sin ? ? cos? ) ? 4 2 4 2 即:曲线 C 2 的直角坐标方程为: x ? y ? 8 ? 0
(2) 由(1)知椭圆 C1 与直线 C 2 无公共点, 椭圆上的点 P( 3 cos? , sin ? ) 到直线 x ? y ? 8 ? 0 的距离为

?

d?

3 cos? ? sin ? ? 8 2

2 sin(? ? ? 2

?
3

) ?8

………………8分

所以当 sin(? ?

?
3

) ? 1 时, d 的最小值为 3 2

………………10分

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 解:(1)当 x ? 4 时, f ? x ? ? 2x ?1 ? ? x ? 4? ? x ? 5 ? 0 ,得 x ? ?5 , 所以 x ? 4 成立. ………………2 分

1 ? x ? 4 时, f ? x ? ? 2x ?1? x ? 4 ? 3x ? 3 ? 0 ,得 x ? 1 , 2 所以 1 ? x ? 4 成立.
当?

………………4 分

1 时, f ? x ? ? ? x ? 5 ? 0 ,得 x ? ?5 , 2 所以 x ? ?5 成立.
当x ? ? 综上,原不等式的解集为 x x ? 1, 或x ? ?5

………………6 分 ………………7分 ………………9分

?

?

(2) f ? x ? ? 3 x ? 4 ? 2x ?1 ? 2 x ? 4 ?| 2 x ? 1 ? (2 x ? 8) |? 9

1 ? x ? 4时等号成立 2 当 ?

所以 m ? 9

………………10 分

9


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