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甘肃省静宁一中2014届高三数学第三次模拟考试试题 文


静宁一中 2014 届高三第三次模拟考试题 文科数学
班级: 姓名: 一、选择题(本大题共 12 小题。每小题 5 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1.已知全集 U=Z,A={-2,-1,1,2},B={x|x -3x+2=0},则 A∩?UB 为( A.{-1,-2} B.{1,2} 1-i =( 2+i ) 1-3i C. 5 ) D.1-i C.{-2,1} D.{-1,2}
2

)

2.设 i 是虚数单位,则复数 A. 1+3i 5

1-3i B. 3

3.已知 a 是第二象限角, sin a ? A. ?

5 , 则cosa ? ( 13
C.

12 13

B. ?

5 13

5 13

D.

12 13

4.等差数列 ?a n ?中,如果 a1 ? a 4 ? a7 ? 39 , a3 ? a6 ? a9 ? 27 ,则数列 ?a n ?前 9 项的 和为( A. 297 ) B. 144 C. 99 D. 66 ( )

5.已知向量 m ? ? ? ? 1,1? , n ? ? ? ? 2, 2 ? , 若 ? m ? n ? ? ? m ? n ? , 则? = A. ?4 B. ?3 C. -2 D. -1

i 3 6. 在锐角 ?ABC 中, A, B 所对的边长分别为 a, b 。 2an B ? b , 角 若 s 则角 A 等于 (
A.



?
3

B.

?
4

C.

?
6

D.

?
12
)

7. a、 是两条不同的直线, 、 是两个不同的平面, 设 b α β 则下列四个命题中正确的是( A.若 a⊥b,a⊥α ,则 b∥α C.若 a⊥β ,α ⊥β ,则 a∥α 8.若 0 ? m ? 1 ,则 ( A. m ? m
1 3 1 2

B.若 a∥α ,α ⊥β ,则 a⊥β D.若 a⊥b,a⊥α ,b⊥β ,则 α ⊥β

) B. (1 ? m) ? (1 ? m)
1 2 1 2

C. log m (1 ? m) ? 0

D. log m (1 ? m) ? log m (1 ? m)

3 2 9. 设 a 为实数,函数 f ( x) ? x ? ax ? (a ? 3) x 的导函数为 f ?(x) ,且 f ?(x) 是偶函数,

则曲线: y ? f (x) 在点 (2 , f (2)) 处的切线方程为( A.



6 x ? y ? 12 ? 0

B. 9 x ? y ? 16 ? 0
1

C. 9 x ? y ? 16 ? 0

D. 6 x ? y ? 12 ? 0

1 10.某几何体的正视图与侧视图如图所示,若该几何体的体积为 ,则该几何体的俯视图可 3 以是( )

11. a n ? 设 A.50

1 n? ,S n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n , S1 , S 2 , ?, S10 中, 在 正数的个数是 ( sin 0 n 25
B.100 C.75 D.25



? 1? 当 12. 已知 y=f(x)是奇函数, x∈(0,2)时, (x)=lnx-ax?a> ?, x∈(-2,0)时, (x) 当 f f ? 2?
的最小值为 1,则 a 的值等于( A. )

1 4

B .

1 3

C.

1 2

D.1

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填写在题中横线上.) 13.如图,在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交于点 O , AB ? AD ? ? AO ,则

??? ???? ?

????

? ? _____________.
1 ? ,则 cos( ? 2? ) ? ______________ 3 4 3 15.已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点, AH : HB ? 1: 2 ,
14.若 sin(

?

?? ) ?

AB ? 平面 ? , H 为垂足, ? 截球 O 所得截面的面积为 ? ,则球 O 的表面积为_______.
16.已知数列 ? an ? 的前 n 项和为 Sn ? n2 ,某三角形三边之比为 a2 : a3 : a4 ,则该三角形最 大角为___. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分)
1 已知向量 a ? (cos x, ? ), b ? ( 3 sin x,cos 2 x), x ? R , 设函数 f ( x) ? a· . b 2

(Ⅰ) 求 f (x)的最小正周期. ? ?? (Ⅱ) 求 f (x) 在 ?0, ? 上的最大值和最小值. ? 2? 18.(本小题满分 12 分)

2

如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱与底面垂直,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=2,点 M、

N 分别为 A1B 和 B1C1 的中点.
(1)证明:A1M⊥平面 MAC; (2)求三棱锥 A-CMA1 的体积; (3)证明:MN∥平面 A1ACC1.

19.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的分别是 a, b, c .已知 a ? 2, c ? (I) 求 sin C 和 b 的值;

2, cos A ? ?

2 . 4

(II)求 cos(2 A ?

?
3

) 的值.

20.(本小题满分 12 分)
3

已知数列 {bn } 满足 b1 ? 1 ,且 bn ? 2bn ?1 ? 3 , (Ⅰ)证明数列 {bn ? 3} 是等比数列并求数列 {bn } 的通项公式; (Ⅱ) 设数列 {an } 是首项 a1 ? 1 , 公差 d ? 2 的等差数列, 若 cn ? , 的前 n 项和 Tn .

an , 求数列 {cn } bn ? 3

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ln x, g ( x) ? ax ? x(a ? R) ,
2

(1)求 f (x)的单调区间和极值点; (2)求使 f ( x) ? g ( x) 恒成立的实数 a 的取值范围;

22.(本小题满分 10 分) 选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) = | x ? a | ? | x ? 2 | . (Ⅰ)当 a ? ?3 时,求不等式 f ( x) ≥3 的解集; (Ⅱ) 若 f ( x) ≤ | x ? 4 | 的解集包含 [1, 2] ,求 a 的取值范围.

4

静宁一中 2014 届高三第三次模拟考试题 文科数学答案 一、选择题(本大题共 12 小题。每小题 5 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1.A 2.C 3.A 4.C 5. B 6.A 7.D 8.A 9.C 10.D 11.B 12.D 解析:由题意知,当 x∈(0,2)时,f(x)的最大值为-1. 1 1 令 f′(x)= -a=0,得 x= ,

x

a

1 1 当 0<x< 时,f′(x)>0,当 x> 时,f′(x)<0.

a

a

?1? ∴f(x)max=f? ?=-lna-1=-1. ?a?

∴a=1.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填写在题中横线上.) 13. 【答案】2 14. 【答案】 ? 15. 【答案】

9? ; 2 2? ? 16. 【答案】 (或填 120 ) 3
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ) f ( x) ? a· = cos x ? 3 sin x ? b ---4 分 最小正周期 T ?

7 8

1 3 1 ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) . 2 2 2 6

2? ?? . 2

所以 f ( x) ? sin(2 x ?

?
6

), 最小正周期为 ? .

-------------------------------------6 分 (Ⅱ)

? ? ? 5? ? 5? 当x ? [0, ]时, x ? ) ? [- , ],由标准函数y ? sin x在[- , ]上的图像知, (2 2 6 6 6 6 6
.

? ? ? 1 f ( x) ? sin(2 x ? ) ? [ f (- ), f ( )] ? [? ,1] . 6 6 2 2
1 ? ?? 所以,f (x) 在 ?0, ? 上的最大值和最小值分别为 1,? . ? 2? 2
5

--------------------------12 分 18.(本小题满分 12 分) 解: (1)在 Rt△BAC 中,BC= AB +AC = 2 +2 =2 2 在 Rt△A1AC 中,A1C= A1A +AC = 2 +2 =2 2. ∴BC=A1C,即△A1CB 为等腰三角形. 又点 M 为 A1B 的中点,∴A1M⊥MC. 又∵四边形 AA1B1B 为正方形,M 为 A1B 的中点, ∴A1M⊥MA,又 AC∩MA=A,AC? 平面 MAC,MA? 平面
2 2 2 2 2 2 2 2

MAC,
∴A1M⊥平面 MAC.----- -----------------4 分 (2)由(1)的证明可得: 1 三棱锥 A-CMA1 的体积 VA-CMA1=VC-AMA1= ×S△ 3

AMA1×CA= × ×2×1×2= .

1 1 3 2

2 3

----------------------------8 分

(3)取 A1B1 的中点 P,连 MP,NP, 而 M、P 分别为 AB1 与 A1B1 的中点, ∴MP∥AA1,MP?平面 A1ACC1,AA1? 平面 A1ACC1, ∴MP∥平面 A1ACC1,同理可证 NP∥平面 A1ACC1, 又 MP∩NP=P, ∴平面 MNP∥平面 A1ACC1. ∵MN? 平面 MNP,∴MN∥平面 A1ACC1. --------------------------------------12 分 (注:其他正确证法给相应的分) 19.(本小题满分 12 分) 解:(1)在 ?ABC 中,由 cos A ? ?

2 14 ,可得 sin A ? , 4 4

又由

7 a c 及 a ? 2 , c ? 2 ,可得 sin C ? ? 4 sin A sin C
2 2 2

由 a ? b ? c ? 2bc cos A ? b ? b ? 2 ? 0 ,因为 b ? 0 ,故解得 b ? 1.
2

所以 sin C ?

7 ,b ? 1 4

------------------------------------------6 分

(2)由 cos A ? ?

2 14 , sin A ? ,得 4 4

6

7 3 cos 2 A ? 2 cos 2 A ? 1 ? ? , sin A ? 2sin A cos A ? ? 4 4
所以 cos(2 A ?

?
3

) ? cos 2 A cos

?
3

? sin 2 A sin

?
3

?

?3 ? 21 ---------------------12 8

分 20.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由 bn ? 2bn ?1 ? 3 得 bn ? 3 ? 2(bn ?1 ? 3) ∴数列 {bn ? 3} 是以 2 为公比的等比数列 ∴ bn ? 3 ? (b1 ? 3)2 ∴ bn ? 2
n ?1
n ?1

? (a1 ? 3)2n?1 ? 2n?1
-------------------------------------6 分 ---------------------------------------8 分

?3

(Ⅱ)由已知的 a n ? 2n ? 1 所以 cn ? ∴ Tn ?

an 2n ? 1 ? n ?1 bn ? 3 2

1 3 5 2n ? 1 ① ? 3 ? 4 ? ? ? n?1 2 2 2 2 2 1 1 1 3 5 2n ? 1 两边同乘以 得 Tn ? 3 ? 4 ? 5 ? ? ? n ? 2 ② 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 n ?1 ①-②得 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? ? ? n ?1 ? n ?2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2n ? 1 3 2 n ? 3 ? Tn ? ? (1 ? n ?1 ) ? n ?1 ? ? n ?1 -------------------------------------12 2 2 2 2 2
分 21.(本小题满分 12 分) 解: (1)令 f ( x) ? 0 ,得 x ?
/

1 , e 1 e

当 x ? ? 0, ? 时, f ( x) ? 0 则 f (x) 在 (0, ) 递减,
/

? 1? ? e?

当 x ? ? ,?? ? 时, f ( x) ? 0 , f (x) 在 ? ,?? ? 递增
/

?1 ?e

? ?

?1 ?e

? ?

综上 f (x) 在 (0, ) 递减,在 ? ,?? ? 递增,

1 e

?1 ?e

? ?

f (x) 的极小值点为 x ?
(2)方法 1:

1 e

………………………6 分

7

问题转化为 ax ? ln x ? 1 , 令 h( x) ? ax ? ln x ? 1 ,则 h / ( x) ? a ? ? x

…………………………8 分

1

ax ? 1 x

ⅰ)当 a ? 0 时, h / ( x) ? 0 , h(x ) 在 x ? 0 单调递减, h(x ) 无最小值,舍去; ⅱ)当 a ? 0 时,令 h ( x) ? 0 ,得 x ?
/

1 , a

且0 ? x ? 故 h( x) min 方法 2:

1 1 / / 时, h ( x) ? 0 , h(x ) 递减; x ? 时, h ( x) ? 0 , h(x ) 递增, a a 1 只须 ln a ? 0 ,即 a ? 1 ………………………12 分 ? h( ) ? ln a a

ln x 1 ? 对 ?x ? 0 恒成立 x x ln x 1 ? ln x 令 h( x ) ? , ? ,则 h / ( x) ? x x x2
问题转化为 ax ? ln x ? 1 ,即 a ? 当 0 ? x ? 1 时, ln x ? 0 ,则 h / ( x) ? 0 ,故此时 h(x ) 单调递增 当 x ? 1 时, h / ( x) ? 0 ,故此时 h(x ) 单调递减 故 h( x) max ? h(1) ? 1 故只须 a ? 1 综上 a ? 1 22.选修 4-5:不等式选讲 (本小题满分 10 分) ………………………12 分

【解析】(1)当 a ? ?3 时, f ( x) ? 3 ? x ? 3 ? x ? 2 ? 3

x?2 x?3 ? ? 2? x?3 ? ?? 或? ? 或? ? ?3 ? x ? 2 ? x ? 3 ?3 ? x ? x ? 2 ? 3 ?x ? 3 ? x ? 2 ? 3

? x ? 1或 x ? 4 ---------------------------------------------------5 分
(2)原命题 ? f ( x) ? x ? 4 在 [1, 2] 上恒成立

? x ? a ? 2 ? x ? 4 ? x 在 [1, 2] 上恒成立

? ?2 ? x ? a ? 2 ? x 在 [1, 2] 上恒成立 ? ?3 ? a ? 0 ----------------------------------------------------10 分

8


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