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高二第二学期第一章线性回归方程同步练习题(文科)(2)(教师版)

高二第二学期第一章线性回归方程同步练习题(文科)(2)
一.选择题 1. 下列语句表示的事件中的因素不具有相关关系的是 A.瑞雪兆丰年 B.名师出高徒 C.吸烟有害健康 ( D )

D.喜鹊叫喜,乌鸦叫丧

2. 某化工厂为预测某产品的回收率 y,需要研究它和原料有效成份含量之间的相关关系,现取了 8 对观
8 8 8 8

测值,计算得:∑ xi=52,∑ yi=228,∑ x2i=478,∑ xiyi=1 849,则 y 与 x 的线性回归方程是( A ) i=1 i=1 i=1 i=1 A.y=11.47+2.62x B.y=-11.47+2.62x B ) C.y=2.62x+11.47x D.y=11.47-2.62x

3.下列属于相关现象的是(

A.利息与利率 B.居民收入与储蓄存款 C.电视机产量与苹果产量D.某种商品的销售额与销售价格 4. 一工人月工资 y(元)关于劳动生产率 x(千元)的回归方程为 y=650+0.008x, 下列说法中正确的个数是 ( C )

①劳动生产率为 1 000 元时,工资为 730 元;②劳动生产率提高 1 000 元,则工资提高 80 元; ③劳动生产率提高 1 000 元,则工资提高 730 元;④当月工资为 810 元时,劳动生产率约为 2 000 元. A.1 B.2 C.3 D.4

5. 在对两个变量 x,y 进行线性回归分析时有下列步骤: ①对所求出的回归方程作出解释; ②收集数据(xi,yi),i=1,2,…,n; ③求线性回归方程; ④求相关系数; ⑤根据所收集的数据绘制散点图. 若根据可靠性要求能够作出变量 x,y 具有线性相关结论,则在下列操作顺序中,正确的是( D ) A. ①②⑤③④ B. ③②④⑤① C. ②④③①⑤ D. ②⑤④③① 6. 给定 y 与 x 的一组样本数据,求得相关系数 r=-0.690,则( D ) A.y 与 x 的线性相关性很强 C. y 与 x 正线性相关 B. y 与 x 的相关性很强 D. y 与 x 负线性相关

7.一位母亲记录了儿子 3~9 岁的身高,由此建立的身高与年龄的回归方程为 y=7.19x+73.93,用这个模 型预测这个孩子 10 岁时的身高,则正确的叙述是( A ). A.身高在 145.83 cm 左右 C.身高在 145.83 cm 以下 B.身高在 145.83 cm 以上 D.身高一定是 145.83 cm

8.已知线性回归方程 y=1+bx,若 x =2, y =9,则 b 等于( A ). A.4 B.-4 C.18 D.0

9.已知 x 、 y 之间的数据如下表所示,则 y 与 x 之间的线性回归方程过点( D )

A . ? 0, 0 ?

B . x, 0

? ?

C . 0, y

? ?

D . x, y

? ?

( x2,y2 ), ?, ( xn,yn ) 得到的回归直线方程 ? 10. 由一组数据 ( x1,y1 ), 那么下面说法不正确的是 ( B) y ? bx ? a ,

1

( x2,y2 ), ?, ( xn,yn ) 中的一个点 A.直线 ? y ? bx ? a 必经过点 ( x, y) B.直线 ? y ? bx ? a 至少经过点 ( x1,y1 ),

C.直线 ? y ? bx ? a a 的斜率为

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y ? nx
2

?x
i ?1

( x2,y2 ), ?, ( xn,yn ) 的总 D.直线 ? y ? bx ? a 和各点 ( x1,y1 ),

2 i

离差平方和 ? [ yi ? (bxi ? a )]2 是该坐标平面上所有直线与这些点的离差平方和中最小的直线
i ?1

n

二、填空题 11. 给出下列说法:①线性回归分析就是由样本点去寻找一条直线,使之贴近这些样本点的数学方法; ②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示; ③通过回归方程 y=bx+a 及其回归系数 b 可估计和观测变量的取值和变化趋势; ④因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程,所以没有必要进行相关性检验. 其中正确的是_①②③___.(把正确的序号填上) 12.有下列关系: (1)人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系 (2)曲线上的点与该点的坐标之间的关系(3)苹果的产量与气候之间的关系 (4)森林中的同一种树木,其断面直径与高度之间的关系(5)学生与他(她)的学号之间的关系 其中,具有相关关系的是 .答案: (1) (3) (4)

13.下列说法:①线性回归方程适用于一切样本和总体;②线性回归方程一般都有局限性; ③样本取值的范围会影响线性回归方程的适用范围;④线性回归方程得到的预测值是预测变量的精确值. 正确的是________(将你认为正确的序号都填上).答案:②③ 14.下面四个散点图中点的分布状态,直观上判断两个变量之间具有线性 相关关系的是_③__.

15.(2011·高考山东卷改编)某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表:

广告费用 x(万元) 销售额 y(万元)

4 49

2 26

3 39

5 54

^ 根据上表可得回归方程y=bx+a 中的 b 为 9.4,据此模型预报广告费用为 6 万元销售额为________万元. - - ^ 解析:由题意可知 x =3.5, y =42,又y=bx+a,必过( x , y ),则 42=9.4×3.5+a,解得 a=9.1, ^ ^ 则线性回归方程为y=9.4x+9.1,所以广告费用为 6 万元时,y=9.4×6+9.1=65.5(万元).答案:65.5 16.在对两个变量 x,y 进行线性回归分析时,有下列步骤: ①对所求出的回归直线方程作出解释;②收集数据(xi,yi),i=1,2,…,n; ③求线性回归方程;④求相关系数; ⑤根据所搜集的数据绘制散点图.如果根据可行性要求能够得出变量 x,y 具有线性相关的结论,则正确
2

的操作顺序是________.答案:②⑤④③① 17.(2010·广东深圳模拟)已知关于某设备的使用年限 x 与所支出的维修费用 y(万元),有如下统计资料:

使用年限 x 维修费用 y

2 2.2

3 3.8

4 5.5

5 6.5

6 7.0

^=bx+a 表示的直线一定过定点________.答案:(4,5) 若 y 对 x 呈线性相关关系,则回归直线方程y 18. 正常情况下,年龄在 18 岁到 38 岁的人们,体重 y(kg)依身高 x(cm)的回归方程为 y=0.72x-58.5. 张红红同学不胖不瘦,身高 1 米 78,他的体重应在 69.66 kg 左右. 19.保险公司收集了 10 周中工作的加班时间 y 与签订新保单数目 x,用最小二乘法求出线性回归方程为 y=0.12+0.0036x 若公司预签订新保单 1000 张,估计需加班 _3.72 ___小时. 三、解答题 20.某公司利润 y(单位:千万元)与销售总额 x(单位:千万元)之间有如下对应数据:

x y

10 1

15 1.3

17 1.8

20 2

25 2.6

28 2.7

32 3.3

(1)画出散点图;(2)判断 y 与 x 是否具有线性相关关系,若有,求出其线性回归方程. 解析:(1)画散点图如图所示.

(2)从散点图可看出各样本点都在一直线附近摆动,所以 x,y 之间存在线性相关关系.由表格数据可得:

?xi2=3
i=1

7

447, ?xiyi=346.3, x =21,
i=1

7

?xiyi-7 x y
i=1

7

y =2.1,进而可求得 b=

?xi2-7 x
i=1

7

346.3-7×21×2.1 = ≈0.104, 2 3 447-7×21
2

a= y -b x =2.1-0.104×21=-0.084.∴x,y 之间的线性回归方程为 y=-0.084+0.104x.
21.某班 5 名学生的数学和物理成绩如表:

3

学生 学科 数学成绩 x(分) 物理成绩 y(分)

A
88 78

B
76 65

C
73 71

D
66 64

E
63 61

(1)画出散点图; (2)求物理成绩 y 对数学成绩 x 的线性回归方程. 解析(1)散点图:

1 (2) x = ×(88+76+73+66+63)=73.2, 5

y = ×(78+65+71+64+61)=67.8,
5

1 5

∑xiyi=88×78+76×65+73×71+66×64+63×61=25054, i=1
n

∑xi=88 +76 +73 +66 +63 =27174, i=1
5

2

2

2

2

2

2

∑xiyi-5 x i=1 (2)回归系数 b= 5 ∑ x2 i-5 x i=1 = ∴

y
2

25054-5×73.2×67.8 ≈0.625,a= y -b x =67.8-0.625×73.2=22.05, 2 27174-5×73.2

y 对 x 的线性回归方程是 y=0.625x+22.05.

22.某医院用光电比色计检验尿汞时,得尿汞含量(毫克/升)与消光系数如下表: 尿汞含量 x :2 消光系数 y : 64 4 6 8 285 10 360

134 205

(1)画出散点图; (2)如果 y 与 x 之间具有线性相关关系,求回归直线方程; (3)估计尿汞含量为 9 毫克/升时的消光系数. 解: (1)

4

(2)由散点图可知 y 与 x 线性相关,设回归直线方程为 ? y ? bx ? a .列表:

i
xi yi

1 2 64 4 12

2 4 13

3 6 205

4 8 285 228 0 0

5 10 360 360

53 6
x?6

123 0
y ? 209.6

xi yi

8

?x
i ?1

5

2 i

? 220

?x y
i ?1 i

5

i

? 7774

∴b ?

7774 ? 5 ? 6 ? 209.6 y ? 37.15x ? 13.3 . ? 37.15 ,∴ a ? 209.6 ? 37.15 ? 6 ? ?13.3 .∴回归直线方程为 ? 220 ? 5 ? 62

(3)当 x ? 9 时, ? y ? 37.15 ? 9 ? 13.3 ? 321.05 . 23. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨)与相应的生产 能 耗

y(吨)标准煤的几组对照数据. x y
3 2.5 4 3 5 4 6 4.5

^= (1)请画出上表数据的散点图; (2)请根据上表提供的数据, 用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程y

bx+a;
(3)已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤.试根据(2)求出的线性回归 产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? (参考数值:3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5) 方程,预测生

解:(1)由题设所给数据,可得散点图如上图:

5

(2)由对照数据,计算得:

=86,

x=

=4.5, y =

=3.5,已知

=66.5,所以,由最小二乘法确定的

回归方程的系数为:

b=

=

=0.7,a= y -b x =3.5-0.7×4.5=0.35.

因此,所求的线性回归方程为^ y=0.7x+0.35. (3)由(2)的回归方程及技改前生产 100 吨甲产品的生产能耗,得降低的生产能耗为: 90-(0.7×100+0.35)=19.65(吨)标准煤. 24.假设某设备的使用年限 x(年)和所支出的维修费用 y(万元)有如下统计资料: 使用年限 x 维修费用 y 2 2.2 3 3.8 4 5.5 5 6.5 6 7.0

若由资料知 y 对 x 呈线性关系,试求:(1)线性回归方程 y=a+bx 的回归系数 a,b; (2)估计使用年限为 10 年时,维修费用是多少? 解 (1)制表:

i xi yi xiyi x2 i

1 2 2.2 4.4 4

2 3 3.8 11.4 9

3 4 5.5 22.0 16

4 5 6.5 32.5 25

5 6 7.0 42.0 36

合计 20 25 112.3 90

112.3-5×4×5 12.3 于是有 b= = =1.23,a= y -b x =5-1.23×4=0.08. 2 90-5×4 10 (2)线性回归方程是 y=0.08+1.23x.当 x=10(年)时,y=0.08+1.23×10=12.38, 即估计使用 10 年时,维修费用是 12.38 万元. 25. 以下是某地搜集到的新房屋的销售价格 y 和房屋的面积 x 的数据: 房屋面积(m ) 销售价格(万元)
2

115 24.8

110 21.6

80 18.4

135 29.2

105 22

(1)画出数据对应的散点图;(2)求线性回归方程,并在散点图中加上回归直线; (3)根据(2)的结果估计当房屋面积为 150 m 时的销售价格. 解析:(1)散点图如图所示:
2

6

(第 8 题) (2) x =
5 15 xi=109, ? (xi- x )2=1 570, ? 5i=1 i=1

y =23.2, ? (xi- x )(yi- y )=308.
i=1

5

308 308 设所求回归直线方程为 y=bx+a,则 b= ≈0.196 2,a= y -b x =23.2-109× ≈1.816 6. 1 570 1 570 故所求回归直线方程为 y=0.196 2x+1.816 6. (3)据(2),当 x=150 m 时,销售价格的估计值为
2

y=0.196 2×150+1.816 6=31.246 6(万元).
26.在一段时间内,某种商品的价格 x(元)和需求量 y(件)之间的一组数据为: 价格 x 需求量 y 14 12 16 10 18 7 20 5 22 3

已知 x 与 y 具有线性相关性,求出 y 对 x 的线性回归方程. 解析:

x = ×(14+16+18+20+22)=18,
1 5

1 5

y = ×(12+10+7+5+3)=7.4,
5

∑xi=14 +16 +18 +20 +22 =1 660, i=1
5

2

2

2

2

2

2

∑yi=12 +10 +7 +5 +3 =327, i=1
5

2

2

2

2

2

2

∑xiyi=14×12+16×10+18×7+20×5+22×3=620, i=1
5

∑xiyi-5 x i=1 所以 b= 5 2 ∑xi-5 x i=1

y

2

620-5×18×7.4 -23 =-1.15, 2 = 1 660-5×18 20

所以 a= y -b x =7.4+1.15×18=28.1,所以线性回归方程为 y=-1.15x+28.1.

7


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